Aufgabe H6.2: Tunneleffekt (10 Punkte)

Grundlagen der Quantenmechanik und Statsitik

Ubungen: Dr. Bj¨¨ orn Eichmann

Hausaufgaben¨ ubung H6

Aufgabe H6.1: Der Potentialtopf (10 Punkte)

Aus der Vorlesung ist bekannt, dass f¨ur ein Kastenpotential V(x) =

(−V₀, f¨ur|x| ≤a,

0, f¨ur|x|> a, (1)

sich die Wellenfunktion in einen raum- und einen zeitabh¨angigen Anteil separieren l¨asst, d.h. Ψ(x, t) = Y(x)T(t), wobei

f¨urk² >0 : Y(x) =A exp(ikx) +B exp(−ikx), und f¨urk² <0 : Y(x) =

(C exp(|k|x) f¨urx <−a Dexp(−|k|x) f¨urx > a .

(2)

Die Bestimmung der KonstantenA,B,C undDerfolgt aus der Anwendung der Stetigkeitsbedingung f¨ur Ψ(x, t) und Ψ⁰(x, t). Dabei vereinfacht sich das Gleichungssystem wenn Symmetrien ausgenutzt werden. So l¨asst sich jede beliebige Wellenfunktion immer in einen symmetrischen und einen antisym- metrischen Anteil zerlegen, d.h. Y(x) =Ysym(x) +Yasym(x).

(a) Verwenden Sie Y(x) = Y(−x), und zeigen Sie, dass f¨ur −V₀ < E < 0 sich die symmetrische L¨osung

Ysym(x) =α







exp(κx) f¨urx <−a

exp(−κa)

cos(ka) cos(kx) f¨ur −a≤x≤a exp(−κx) f¨urx > a

(3)

mitk=p

2m(E+V0)/~ undκ=√

2mE/~ergibt.

(b) Bestimmen Sie die Normierungskonstante α der zuvor hergeleiteten L¨osung.

Aufgabe H6.2: Tunneleffekt (10 Punkte)

Unter Verwendung der aus der Vorlesung bekannten WKB-N¨aherung soll die Durchtunnelungswahrschein- lichkeit eines Quants der EnergieE durch eine PotentialstufeV bestimmt werden. Dabei ist

V(x) =

(V₀> E, f¨ur 0≤x≤a,

0, sonst (4)

(a) Die allgemeine Form der Wellenfunktion l¨asst sich f¨ur die verschiedenen Bereiche beschreiben durch

Ψ(x) =Aexp(ikx) +B exp(−ikx), Ψ(x) =F exp(ikx),

Ψ(x) = C

√κ exp(κx) + D

√κ exp(−κx).

(5)

Erkl¨aren Sie f¨ur welche Bereich die angegebenen Wellenfunktionen jeweils gelten und bestimmen Siek und κ.

Hinweis: Verwenden Sie die WKB-N¨aherung.

1

(b) Nutzen Sie die Stetigkeitsbedingungen der Wellenfunktion aus um zu zeigen, dass A= 1

2√ κ

h C

1−iκ k

+D 1 +iκ

k i

, C=

√κ

2 F exp(−κa) exp(ika) 1 +iκ

k

, D=

√κ

2 F exp(κa) exp(ika) 1−iκ

k

.

(6)

(c) Nutzen Sie aus, dass cosh(x) = 1

2(exp(x) + exp(−x)) und sinh(x) = 1

2(exp(x)−exp(−x)) und bestimmen Sie ausgehend von den Erkenntnissen aus Aufgabenteil (b), dass

A=F exp(ika)

cosh(κa) + i 2

κ k −k

κ

sinh(κa)

. (7)

(d) Zeigen Sie anschließend, dass die Durchtunnelungswahrscheinlichkeit durch

T =

"

1 +

"

1 +(^κ_k −^k_κ)² 4

#

sinh²(κa)

#−1

(8) gegeben ist.

(e) N¨ahern Sie T f¨ur den Grenzfall hoher Potentialbarrieren (V0 E) mit einer gewissen Breite, so dass die Durchtunnelungswahrscheinlichkeit im Wesentlichen durch den aus der Vorlesung bekan- nten Gamow-Faktor beschrieben wird.

2