Aufgabe H2.1: Der Tunneleffekt

Einf¨ uhrung in die Quantenmechanik und Statistik

SoSe 17 Prof. Dr. Julia Tjus

Mehmet G¨und¨uz (mehmet.guenduez@rub.de) Mi. 8:15-9:45 Uhr in NB6/73 Mario H¨orbe (mario@tp4.rub.de) Di. 12:15-13:45 Uhr in NB6/73 Frederik Tenholt (ftenholt@tp4.rub.de) Di. 12:15-13:45 Uhr in NB6/173

Ubungsblatt H2 ¨

Abgabe: 23.05. im Zettelkasten, NB7 Nord Wichtig: Bitte gebt jede Aufgabe auf einem separaten Zettel ab und tackert ggf. jene Bl¨atter zusammen, welche zur selben Aufgabe geh¨oren. Sorgt auch daf¨ur, dass Eure Zettel eindeutig einer Ubungsgruppe zugeordnet werden k¨¨ onnen!

Aufgabe H2.1: Der Tunneleffekt

Ein Teilchen der Masse m und EnergieE laufe gegen eine Potentialbarriere der Form V (x) =V0Θ

a 2 − |x|

, V0 >0 . (1)

(a) Skizziere die obige Situation und setzte eine angemessene Wellenfunktion Ψ f¨ur alle sich ergebenen Teilbereiche an.

(b) Zeige, dass das Teilchen f¨urE < V₀ eine von 0 verschiedene Aufenthaltswahrscheinlichkeit jenseits der Potentialbarriere besitzt.

Eine l¨angere Rechnung zeigt, dass die Transmissionswahrscheinlichkeit der o. g. Situation im Allge- meinen

T = 4E(E−V0)

4E(E−V₀)−V₀²sinh (aq) (2)

ergibt, wobeiq den Wellenvektor des Teilchens innerhalb der Potentialbarriere darstellt.

(c) Zeige, dassT f¨urE < V₀ uber¨

T ' 8E(V₀−E) V₀² expn

−a

~

p2m(V₀−E)o

(3) abgesch¨atzt werden kann. Mit welcher Wahrscheinlichkeit durchtunnelt je ein Elektron der En- ergie 1 eV und 0.1 eV eine Barriere von 2 eV H¨ohe und 1 nm Breite? Was ergeben die selben Parameter im Falle eines Protons?

Hinweis: Wolfram|Alpha eignet sich gut zur Berechnung dieser Werte.

(d) Beschreibe auf welche Weise die Begriffe Raster-Tunnelmikroskop, α-Zerfall und Kernfusion mit dem Tunneleffekt in Verbindung stehen.

bitte wenden!

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Aufgabe H2.2: Periodische Potentiale

Das Potential eines eindimensionalen, homogenen Kristalls der Gitterzahl akann durch V (x) =V₀

∞

X

n=−∞

δ(x−an) , V₀>0 (4)

gen¨ahert werden.

(a) Skizziere die obige Situation und setzte eine angemessene Wellenfunktion Ψnf¨ur alle sich ergebenen Teilbereiche nan.

(b) Formuliere die Bedingungen, welchen Ψn an den Grenzen der sich ergebenen Teilbereiche gen¨ugen muss. Verwende dazu das Bloch-Theorem welches besagt, dass sich Wellenfunktionen in Teilbere- ichen von periodischen Potentialen lediglich um eine Phase qnaunterscheiden, also

Ψn(x+na) =e^iqnaΨn(x) . (5)

(c) Zeige, dass die Bedingungen aus (b) ein Gleichungssystem ergeben, welches der Beziehung cos (qa) = cos (ka) +mV₀

~²k sin (ka) (6)

gen¨ugt.

Hinweis: Stichwort: Koeffizientenmatrix

(d) Zeige, warum dieses Ergebnis die Energieb¨ander in einem Festk¨orper repr¨asentiert.

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