Aufgabe H4.2: Erwartungswerte (10 Punkte)

Grundlagen der Quantenmechanik und Statsitik

Ubungen: Dr. Bj¨¨ orn Eichmann

Hausaufgaben¨ ubung H4

Organisatorisches:

Die Hausaufgaben werden jeden Dienstag in der Vorlesung und auf der Homepage

www.pat.rub.de/lectures/ss19 qm stat herausgegeben. Die Abgabe erfolgt bis 12:00 und ist auch zu Zweit m¨oglich. Die L¨osungen m¨ussen mit dem Namen, Matrikelnummer und der zugeh¨origen Ubungsgruppe identifiziert werden. Jeder Aufgabenteil soll separat und jeweils in gebundener Form¨ abgegeben werden.

Aufgabe H4.1: Schr¨ odingergleichung (10 Punkte)

(a) Welche Form hat das PotentialV(~r), wenn die Wellenfunktion eines sich darin befindlichen (nicht-relativistischen) Teilchens mit der Massem

ψ(~r, t) = 1

(πb²)^1/4 exp

−r²

2b² −i ~ 2mb² t

lautet? Hier istbeine Konstante, und es gilt nat¨urlich r=|~r|.

(b) Gegeben sei die Kugelwellenfunktion ψ(~r, t) = r₀

r exp{i(kr−ωt)}

mitr =|~r|und r0 =const.

(i) Leiten Sie aus der Bedingung, dass ψ(~r, t) die Schr¨odingergleichung f¨ur ein kr¨aftefreies Teilchen erf¨ullt, die Dispersionsrelation ω(k) her.

(ii) Bestimmen Sie die zugeh¨orige Stromdichte.

Erwin Schr¨odinger (1887 – 1961) hat sich auch mit Bi- ologie befasst und im Jahre 1948 das Buch “What is Life? The Physical As- pect of the Living Cell” pub- liziert.

Aufgabe H4.2: Erwartungswerte (10 Punkte)

Das (wahrscheinliche) Verhalten eines Quants werde durch die Wellenfunktion ψ(x) = N

x²+b², b=const >0 beschrieben.

(a) Bestimmen Sie die Konstante N durch Normierung von ψ(x).

(b) Berechnen Sie die Erwartungswerte hxⁿi mit dieser Wellenfunktion. Beachten Sie, dass nicht alle Werte vonnzu konvergenten Integralen f¨uhren, so dass sich schließlich drei unterschiedliche F¨alle ergeben.

(c) Berechnen Sie hpi und hp²i.

Hinweis: Ben¨otigte Stammfunktionen lassen sich in entsprechenden Nachschlagewerken (z.B.

Bronstein, Gradshteyn & Rhyzhik) oder auch per Computer (z.B. Wolfram Alpha) beschaffen.

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