Logik, Mengen, Relationen und Abbildungen ein Skript für ma `
von
Olaf Schimmel
1 Grundlagen der Logik 3
1.1 Aussagen und Aussageformen . . . 3
1.2 Verknüpfungen von Aussagen . . . 5
1.2.1 Äquivalenz . . . 5
1.2.2 Die Konjunktion (UND-Verknüpfung) . . . 6
1.2.3 Die Disjunktion (ODER-Verknüpfung) . . . 7
1.2.4 Verknüpfungen aus Negation, Konjunktion und Disjunktion . . . 9
1.2.5 Alternative . . . 10
1.2.6 Implikation . . . 11
1.3 Logische Regeln und Beweistechniken . . . 12
1.4 Quantoren . . . 17
2 Mengen 21 2.1 Grundlegende Begriffe . . . 21
2.1.1 Eine naive Mengendefinition . . . 21
2.1.2 Schreibweisen und Darstellungen für Mengen . . . 22
2.1.3 Die leere Menge . . . 23
2.2 Teilmengen . . . 24
2.3 Axiome der Mengenlehre . . . 26
2.4 Verknüpfungen von Mengen . . . 27
2.4.1 Durchschnitt von Mengen . . . 27
2.4.2 Vereinigung von Mengen . . . 29
2.4.3 Komplementärmengen und de Morganschen Regeln . . . 32
2.4.4 Differenzmenge . . . 34
2.4.5 Produktmenge . . . 36
2.4.6 Potenzmenge . . . 39
3 Relationen 42 3.1 Was sind Relationen? . . . 42
3.2 Eigenschaften von Relationen . . . 43
3.3 Zusammenhänge zwischen den Eigenschaften . . . 46
3.4 Äquivalenzrelationen . . . 48
3.5 Ordnungsrelationen . . . 50
4 Abbildungen 53 4.1 Der Abbildungsbegriff . . . 53
4.2 Injektive Abbildungen . . . 54
4.3 Surjektive Abbildungen . . . 55
4.4 Bijektive Abbildungen . . . 56
4.5 Komposition von Abbildungen . . . 57
4.6 Invertierbare Abbildungen . . . 58
5 Lösungen zu den Aufgaben 61
1.1 Aussagen und Aussageformen
Die Wissenschaften bedienen sich zu ihrer Weiterentwicklung nicht nur dem Erkenntnisgewinn aus praktischen Untersuchungen, sondern auch einer ständigen Ausweitung und Vertiefung ihrer theo- retischen Grundlagen. So können aus Ergebnissen heraus Vermutungen als wahre Aussagen erstellt werden, aus denen durch logische Schlüsse (Beweise) weitere wahre Aussagen hervorgehen. Jede Theorie baut sich auf wenigen als wahr angenommenen, grundlegenden und nicht zu beweisenden Aussagen, die Axiome genannt werden, auf. Aus diesen heraus wird die komplette Theorie auf- gebaut. Die Logik ist nun die Wissenschaft, die sich mit den Aussagen selbst und dem logischen Schließen (Aussageverknüpfungen) beschäftigt. Sie ist damit Grundlage jeder anderen Wissenschaft und das wichtigste Teilgebiet, das Fundament der Mathematik.
Def 1.1
Jedes sprachlich sinnvolle Gebilde, das entweder den Wahrheitswert „wahr“ oder „falsch“ hat, heißt Aussage p.
Def 1.2
Jedes sprachlich sinnvolle Gebilde, das Variable enthält und durch Belegung dieser Variablen zu einer Aussage wird, heißt Aussageform.
Beispiel 1.1
(1) „101 ist eine Primzahl“ (wahre Aussage) (2) „12 ist Teiler von 150“ (falsche Aussage)
(3) „Emil isst gern Nudeln.“ (Aussageform, Emil nicht belegt) (4) a2`b2 “c2 (Aussageform, a,b,c nicht belegt)
(5) p14`27q ´3 (keine Aussage, weder wahr noch falsch) (6) x2´4x`5“0 (falsche Aussage fürxPRq
(7) „Es regnet.“ (Aussageform, Ort und Zeit unbestimmt.) Bemerkungen:
3. Im Sprachgebrauch wird der Begriff der Aussage weniger streng verwendet. Für verbale Aussa- gen müsste man Orte, Zeiten jeweils genau angeben, um über den Wahrheitswert entscheiden zu können.
Def 1.3
Gegeben sei eine beliebige Aussage p. Die Aussage p bzw. p, die genau dann wahr ist, wenn p falsch ist und umgekehrt, heißt Negationvon p.
Wahrheitswertetabelle Negation:
p p,p
w f
f w
Beispiel 1.2
(1) p: „101 ist eine Primzahl“
p: „101 ist keine Primzahl“
(2) p: 5 < 11 p: 5ě11
(3) p: x >7 p: xď7
(4) p: Für alle x aus M gilt:xą7
p: Es gibt (mindestens) ein x aus M mit xď7 Bemerkungen:
1. Auch Aussageformen kann man formal negieren. Bis zur Belegung der Variablen mit konkreten entsteht die negierte Aussageform.
2. Aussagen, die alle Elemente einer Menge betreffen, heißen Allaussagen. Die Negation einer Allaussage ist eine Existenzaussage.
Wir führen nun den ersten, noch sehr einfachen Beweis.
Satz 1.1
Sei p eine beliebige Aussage. Dann gilt: p pq “p Beweis:
p p p pq
w f w
f w f
Dapund p pqfür jede mögliche Belegung denselben Wahrheitswert haben, sind sie identisch.
l
1.2 Verknüpfungen von Aussagen
1.2.1 Äquivalenz
Def 1.4
Gegeben seien zwei beliebige Aussagen p und q. Die Aussage pôq, die genau dann wahr ist, wenn beide Aussagen dieselben Wahrheitswerte haben, heißt Äquivalenzaus p und q.
Wahrheitswertetabelle Äquivalenz:
p q pôq
w w w
w f f
f w f
f f w
Andere Sprechweisen: „p gilt genau dann, wenn q gilt.“
„Aus p folgt q und umgekehrt.“
„p gilt dann und nur dann, wenn auch q gilt.“
„p und q sind äquivalent.“
Beispiel 1.3
(1) p: 3|x^xPN
q: 3|Qpxq
pôq: Eine natürliche Zahl ist genau dann durch 3 teilbar, wenn ihre Quersumme durch 3 teilbar ist. (w) (2) p: x2 ą16
q: xą4
pôq: x2 ą16ôxą4 (f ) (3) p: x2 ą16
q: |x| ą4
pôq: x2 ą16ô |x| ą4 (w)
Bemerkungen:
1. Man kann also logische Regeln beweisen, indem man vollständige Wahrheitswerteverläufe untersucht und die Äquivalenz der Aussagen nachweist. Dazu müssen zwei Spalten der voll-
1.2.2 Die Konjunktion (UND-Verknüpfung) Def 1.5
Gegeben seien zwei beliebige Aussagen p und q. Die Aussage p^q, die genau dann wahr ist, wenn sowohl p als auch q wahr ist, heißt Konjunktionaus p und q.
Wahrheitswertetabelle Konjunktion:
p q p^q
w w w
w f f
f w f
f f f
Beispiel 1.4
(1) p: 4|12 (w) q: 6|12 (w) p^q: 4|12^6|12 (w) (2) p: „V ist ein Rechteck.“
q: „V ist ein Dreieck“
p^q: „V ist ein Rechteck und ein Dreieck.“ (f ) (3) p: xă4
q: xą0 p^q: 0ăxă4
(4) p: x`yă8 q: x´yą2 p^q: xă5^yă3 Bemerkungen:
1. Auch Aussageformen kann man formal logisch verknüpfen. Welcher Wahrheitswert entsteht, entscheidet die Belegung der Variablen oder die Art der Aussageformen.
2. Im Beispiel 4 (2) ist die Verknüpfung stets falsch, da die Aussagen nicht beide wahr sein können. Die Konjunktion kann also eine falsche Aussage werden, obwohl beide Teile nur Aus- sageformen sind.
3. In den Beispielen 4 (3) und 4 (4) ist die Verknüpfung für jeweils bestimmte Belegungen der Variablen erfüllt. In diese Kategorie von Aussageverknüpfungen fallen Systeme von Gleichun- gen oder Ungleichungen. Hier sucht man beim Lösen der Systeme nach den Belegungen für die Variablen, für die alle Teile der Verknüpfung wahr sind.
Satz 1.2 Eigenschaften der Konjunktion
Seien p, q und r beliebige Aussagen. Dann gilt:
(1) p^q “q^p (Kommutativgesetz)
(2) p^ pq^rq “ pp^qq ^r (Assoziativgesetz)
Beweis:
Wir legen eine vollständige Wahrheitswertetabelle an.
p q r p^q q^p pp^qq ^r q^r p^ pq^rq
w w w w w w w w
w w f w w f f f
w f w f f f f f
w f f f f f f f
f w w f f f w f
f w f f f f f f
f f w f f f f f
f f f f f f f f
Die Übereinstimmung der Spalten 4 und 5 zeigt das Kommutativgesetz. Die Spalten 6 und 8 haben ebenfalls für alle möglichen Belegungen der Teilaussagen denselben Wahrheitswerteverlauf. Damit ist auch das Assoziativgesetz nachgewiesen.
l
1.2.3 Die Disjunktion (ODER-Verknüpfung) Def 1.6
Gegeben seien zwei beliebige Aussagen p und q. Die Aussage p_q, die genau dann falsch ist, wenn beide Teilaussagen p und q falsch sind, heißt Disjunktion aus p und q.
Wahrheitswertetabelle Disjunktion:
p q p_q
w w w
w f w
f w w
f f f
Beispiel 1.5
(1) p: 101 ist Primzahl. (w)
(2) p: x`7ą11 q: |x| ą3
p_q: xą4_ |x| ą3
wahr für x = -5; falsch für x = 1 (3) p: xă11
q: |x| ą3
p_q: wahr für alle xPR (4) p: L1 “ tx|xPR^xă2u
q: L2 “ tx|xPR^xą ´3u p_q: L“ tx|xPR^ ´3ăxă2u
Bemerkungen:
1. Bei der Verknüpfung von Aussageformen durch ODER kann es dazu kommen, dass wahre Aussagen entstehen, egal wie die Variablen belegt werden.
2. Die Verknüpfung durch ODER verwendet man beispielsweise, wenn man bei Fallunterschei- dungen die Lösungsmengen der einzelnen Fälle zu einer Lösungsmenge zusammenfasst.
Satz 1.3 Eigenschaften der Disjunktion Seien p, q und r beliebige Aussagen. Dann gilt:
(1) p^q “q_p (Kommutativgesetz)
(2) p_ pq_rq “ pp_qq _r (Assoziativgesetz)
Beweis:
Wir legen erneut eine vollständige Wahrheitswertetabelle an.
p q r p_q q_p pp_qq _r q_r p_ pq_rq
w w w w w w w w
w w f w w w w w
w f w w w w w w
w f f w w w f w
f w w w w w w w
f w f w w w w w
f f w f f w w w
f f f f f f f f
Die Übereinstimmung der Spalten 4 und 5 zeigt das Kommutativgesetz. Die Spalten 6 und 8 haben ebenfalls für alle möglichen Belegungen der Teilaussagen denselben Wahrheitswerteverlauf. Damit ist auch das Assoziativgesetz nachgewiesen.
l
1.2.4 Verknüpfungen aus Negation, Konjunktion und Disjunktion
Nicht nur in der Mathematik, sondern auch in der Alltagssprache verwendet man die bereits behan- delten Aussageverknüpfungen und verbindet diese. Leider gibt es immer wieder Menschen , die die Verknüpfungen nicht richtig einsetzen oder verstehen. Das führt dann zu Fehlinterpretationen. Was aber entsteht, wenn man eine Konjunktion negiert oder wenn man eine Kombination aus Disjunktion und Konjunktion herstellt. Zur Untersuchung dieser Verbindungen kann man ebenfalls Wahrheits- wertetabellen anlegen. Zeigen sich in zwei Spalten dieselben Verläufe, egal wie die Wahrheitswerte der Aussagen belegt werden, so sind die Verknüpfungen logisch gleichwertig. Einige wichtige Gesetze fasst der folgende Satz zusammen:
Satz 1.4
Gegeben seien beliebige Aussagen p, q und r. Dann gilt:
1. pp^qq “ p_ q (dé Morgan) 2. pp_qq “ p^ q (dé Morgan)
3. pp^qq _r “ pp_rq ^ pq_rq (Distributivgesetz 1) 4. pp_qq ^r “ pp^rq _ pq^rq (Distributivgesetz 2)
Beweis:
Wir beweisen zunächst die ersten beiden Teile des Satzes.
p q p^q pp^qq p q p_ q p_q pp_qq p^ q
w w w f f f f w f f
w f f w f w w w f f
f w f w w f w w f f
f f f w w w w f w w
In den Spalten (4) und (7) sowie (9) und (10) ergeben sich dieselben Verläufe.
p q r p^q pq^pq _r p_r q_r pp_rq ^ pq_rq
w w w w w w w w
w w f w w w w w
w f w f w w w w
w f f f f w f f
f w w f w w w w
f w f f f f w f
f f w f w w w w
1.2.5 Alternative
Neben der Disjunktion gibt es eine weitere Verknüpfung durch ODER. Dabei handelt es sich um das „ausschließende“ ODER. In der Logik nennt man diese Verknüpfung Alternative. Sie ist auch dann falsch, wenn beide Teilaussagen wahr sind. Wir definieren sie wie folgt.
Def 1.7
Gegeben seien zwei beliebige Aussagen p und q. Die Aussage p_q9 („entweder p oder q“), die genau dann wahr ist, wenn p genau eine der Aussagen p oder q wahr ist, heißt Alternativeaus p und q.
Wahrheitswertetabelle Alternative:
p q p_q9
w w f
w f w
f w w
f f f
Beispiel 1.6
(1) p: 101 ist Primzahl. (w) q: 101ą23 (w)
p_q:9 Entweder 101 ist eine Primzahl oder 101ą23. (f ) (2) p: x`7ą11
q: |x| ą3
p_q:9 entweder xą4 oder |x| ą3 falsch für x = 5; wahr für x = -4 Satz 1.5
Seien p und q zwei beliebige Aussagen. Dann ist:
p_q9 “ p p^qq _ pp^ qq Beweis:
Wir legen erneut eine vollständige Wahrheitswertetabelle an.
p q p^q p^ q p p^qq _ pp^ qq p_q9
w w f f f f
w f f w w w
f w w f w w
f f f f f f
Die Übereinstimmung der Spalten 5 und 6 zeigt die Äquivalenz der Aussagen.
l Die Alternative kann also auch als Verknüpfung von Konjunktion, Disjunktion und Negation geschrieben werden.
1.2.6 Implikation Def 1.8
Gegeben seien zwei beliebige Aussagen p und q. Die Aussage pñq, die genau dann falsch ist, wenn p wahr und q falsch ist, heißt Implikation aus p und q.
Wahrheitswertetabelle Implikation:
p q pñq
w w w
w f f
f w w
f f w
Andere Sprechweisen: „Wenn p gilt, so gilt auch q“
„Aus p folgt q“
„p impliziert q“
„p ist hinreichend für q“
„q ergibt sich aus p“
Beispiel 1.7
(1) p: 101 ist gerade. (f )
q: 101 ist eine Primzahl. (w)
pñq: Wenn 101 gerade ist, dann ist 101 eine Primzahl. (w) (2) p: x`1“ ´4 (wahr nur für x“ ´5)
q: x“ ´3 (falsch fürx“ ´5) pñq: x`1“ ´4ñx“ ´3 falsch Bemerkungen:
1. Jeder einfache mathematische Satz hat die logische Struktur einer Implikation. Wenn man einen direkten Beweisführt, geht man von derVoraussetzung paus und führt eine logi- sche Schlusskette, bis man dieBehauptung qdes Satzes daraus erhält.
pñS1 ñS2ñ...ñSnñq
Man geht davon aus, dass die Voraussetzung p wahr ist. Nur dann, wenn alle Schlussfol- gerungen Si wahr sind, ist auch jede einzelne Implikation wahr und damit die Behauptung q.
1.3 Logische Regeln und Beweistechniken
Satz 1.6 Ersetzung durch Konjunktion und Disjunktion
Gegeben seien beliebige Aussagen p, q. Dann gilt:
(1) pñq “ p_q
(2) pôq “ p p_qq ^ pp_ qq Beweis:
p q p q p_q pñq p_q pp_qq ^ pp_qq pôq
w w f f w w w w w
w f f w f f w f f
f w w f w w f f f
f f w w w w w w w
Die jeweils identischen Verläufe bestätigen die logische Äquivalenz.
l Betrachten wir einige Beispiele.
Beispiel 1.8 Formulieren Sie mit ^und _:
(1) „Wenn der Apfel reif ist, dann fällt er vom Baum.“
“Der Apfel ist reif oder er fällt nicht vom Baum.“
(2) „Der Apfel fällt genau dann vom Baum, wenn er reif ist.“
„Der Apfel ist nicht reif oder er fällt vom Baum und der Apfel ist reif oder er fällt nicht vom Baum.“
(3) xă2ñx2ă4.
xă2_x2 ě4
Satz 1.7
Gegeben seien beliebige Aussagen p und q. Dann gilt:
(1) ppñqq “ p^ q Negation der Implikation (2) pñq “ qñ p Kontraposition der Implikation
Beweis:
p q p q pñq ppñqq p^ q q ñ p
w w f f w f f w
w f f w f w w f
f w w f w f f w
f f w w w f f w
l
Bemerkungen:
1. Neben dem oben angesprochenen direkten Beweis gibt es weitere indirekte Formen. Wenn man einenBeweis durch Kontrapositionführt, geht man von derNegation der Behauptung aus und führt eine logische Schlusskette, bis man die Negation der Voraussetzung des Satzes daraus erhält.
qñS1 ñS2 ñ...ñSnñ p
2. Eine dazu ähnliche Beweisform ist der Beweis durch Widerspruch. Unter der Annahme, dass die Voraussetzung p gilt und die Behauptung q nicht wahr ist, erzeugt man einen Wi- derspruch zur Annahme.
pp^ qq ñS1 ñS2ñ...ñSnñ p p_qq
Beispiel 1.9 Beweisen Sie: Für positive Zahlen a und b gilt: a2 ăb2 ñ aăb (1) Beweis durch Kontraposition:
Wir negieren die Behauptung: aěb
Nach Multiplikation mit a haben wir:a2 ěab Nach Multiplikation mit b haben wir:aběb2 Somit folgt:a2 ěaběb2, alsoa2 ěb2
Aus der Negation der Behauptung ergab sich die Negation der Vor- aussetzung.
l
(2) Beweis durch Widerspruch:
Annahme:a2ăb2 ^ aěb
Wir multiplizieren die zweite Ungleichung wieder jeweils mit a und mit b und erhalten:
a2ěab ^aběb2
Nun bringen wird diese beiden Ungleichungen mit dem ersten Teil der Annahme in Verbindung und erhalten:
abďa2 ăb2ďab
Dies ist ein Widerspruch. Folglich war die Annahme falsch.
l In der höheren Mathematik muss man oftmals auch Äquivalenzen mehrerer Aussagen beweisen.
Hier nutzt man sehr häufig sogenannte Ringschlüsse. Ihre logische Struktur ist folgende:
Beispiel 1.10 Ringschluss
Beweisen Sie dass die folgenden Aussagen für positive ganze Zahlen einander äquivalent sind:
A: x ist gerade.
B: Die zugehörige Quadratzahl ist durch 4 teilbar.
C: Die zugehörige Kubikzahl ist durch 8 teilbar.
(1) AñB:
SeinPN: Dann ist: x“2n Folglich gilt:x2“ p2nq2 “4¨n2
Wegenn2 PNhat4n2 den Teiler 4. Es ist also 4|x2.
(2) BñC
Es ist:x3 “x2¨x“4n2¨2n“8¨n3
Wegenn3 PNhat8n3 den Teiler 8. Es ist also 8|x3.
(3) CñA
Es ist:x3 “8¨n3 “23¨n3“ p2nq3 ñ x“2n Damit ist x also gerade.
l Eine große Rolle spielt eine weitere Beweistechnik, die man heranzieht, um Aussagen zu beweisen, die für eine abzählbare unendliche Menge gelten. Hier handelt es sich um einen induktiven Beweis.
Es stützt sich auf das folgende Prinzip, das mit einer Kette von Dominosteinen vergleichbar ist.
Zeigt man, dass der erste Stein umfällt und dass mit jedem Stein Nummer k auch der Stein Num- mer k+1 umfällt, dann fällt die ganze Kette um. Etwas mathematischer ausgedrückt:
Beweisprinzip der vollständigen Induktion:
Gegeben sei eine Aussage H. Wenn die Aussage H für eine natürliche Zahln0 gilt und wenn aus ihrer Gültigkeit für eine beliebige Zahl k mit k ěn0 ihre Gültigkeit für den Nachfolger k`1 gefolgert werden kann, dann gilt die Aussage für alle natürlichen Zahlen n mitněn0.
symbolisch:
Hpn0q ^Hpkq ñHpk`1q ñ Hpnq|něn0;nPN
Daraus ergibt sich auch der typische Aufbau eines Induktionsbeweises.
Teil 1: Induktionsanfang
Zeigen Sie, dass die zu beweisende Aussage für eine (möglichst kleine) Startzahl n0 gilt.
Teil 2: Induktionsschritt
Beweisen Sie, dass sich aus der Gültigkeit der Aussage für k allgemein ihre Gültigkeit für den Nachfolger k+1 ergibt.
Dieser Beweis kann direkt oder indirekt erfolgen.
Beispiel 1.11 Induktionsbeweise
(1) Beweisen Sie: Die Summe der ersten n ungeraden natürlichen Zahlen beträgtn2
Induktionsanfang:
Sein0“1.
Es ist:1“12.
Fürn0 “1ist die Behauptung wahr.
Induktionsschritt:
Voraussetzung: Für k mitpkPNq gilt:
řk
i“1
p2k´1q “k2 Behauptung: dann gilt für den Nachfolger k+1:
k`1
ř
i“1
p2k´1q “ pk`1q2 Beweis:
k`1
ÿ
i“1
p2k´1q “ řk
i“1
p2k´1q ` r2pk`1q ´1s
“ k2`2k`1
“ pk`1q2
l (2) Beweisen Sie die Bernoullische Ungleichung: p1`xqn ě 1`nx für
xě ´1und nPN. Induktionsanfang:
Sein0“0.
Es ist:p1`xq0 “1ě1`0¨x“1.
Fürn0 “0ist die Ungleichung wahr.
Induktionsschritt:
Voraussetzung: Für k mitpkPNq gilt:p1`xqkě1`kx Behauptung: Dann gilt für k+1:p1`xqk`1 ě1` pk`1qx Beweis:
p1`xqk`1 “ p1`xq ¨ p1`xqk |Voraussetzung ě p1`xq ¨ p1`kxq |Ausmultiplizieren
“ 1`kx`x`kx2 |Ausklammern x
“ 1` pk`1q ¨x`kx2 |kx2 ě0
untersuchen lässt.
Abschließend sei hier noch eine Beweistechnik vorgestellt, die nach dem französischen Mathematiker Dirichlet (1805 - 1859) benannt ist und als Schubfachschluss bekannt ist. Obwohl das Prinzip sehr einfach erscheint, erkennt man in konkreten Aufgaben nicht immer so einfach, dass man dieses Prinzip anwenden kann. Es lautet:
Satz 1.9
Wenn man n Objekte in k Schubfächer beliebig aufteilt und wenn n > k ist, dann gibt es stets mindestens ein Schubfach, in dem sich mindestens zwei der Objekte befinden.
Beweis:
Zunächst legt man in jedes Schubfach genau ein Element. Auf diese Weise kann man genau k Elemente verteilen.
Da n > k gilt, ist jedoch mindestens ein Element übrig, das noch nicht verteilt wurde.
Dieses muss dann in irgendeinem Schubfach das zweite Element sein.
l
Bemerkungen:
1. Natürlich kann man in günstigen Fällen auch schon Schubfächer mit zwei Elementen finden, bevor mehr als k Elemente verteilt wurden, doch ab n = k+1 findet man eben garantiert eine solche.
2. Das Prinzip lässt sich leicht verallgemeinern:
Ab n“a¨k`1 findet sich garantiert eine Schublade, in der (mindestens) a+1 Elemente zu finden sind.
3. Der Vergleich mit dem Zuordnen von Objekten in Schubfächer macht das Prinzip sehr anschau- lich. An Stelle von Schubfächern könnte man auch eines der Worte Klassen oder Kategorien verwenden.
Beispiel 1.12 Schubfachschluss
In einem Dorf leben 4000 Menschen. Beweisen Sie, dass es mindestens elf Menschen in dem Dorf gibt, die am selben Tag ihren Geburtstag feiern.
Es gibt (mit dem 29.2.) 366 mögliche Geburtstage.
Wir verteilen die Dorfbevölkerung so, dass zunächst an jedem Tag genau zehn Menschen Geburtstag haben. Das ist der ungünstigste Fall, um nicht vorher schon einen Tag mit elf Leuten zu finden. Auf diese Weise lassen sich 3660 Menschen verteilen.
Bereits der 3661. Bewohner der verteilt wird ist spätestens der erste, der an einem Tag Geburtstag hat, an dem es schon zehn weitere gibt.
l
1.4 Quantoren
Quantoren verwendet man zur besseren Darstellung von Aussagen, die sich auf Elemente einer betrachteten Menge beziehen. Durch sie werden grundsätzlich zwei Formen von Aussagen unter- schieden, die für Elemente einer zugrundeliegenden Menge M gelten sollen.
Def 1.9
Der Quantor @x:Ppxq heißt Allquantor und bedeutet, dass die Eigenschaft P(x) für alle x gilt.
Man sagt: „Für alle x gilt P(x)“.
Def 1.10
Der Quantor Dx:Ppxq heißt Existenzquantor und bedeutet, dass die nachfolgende Eigenschaft P(x) nur für mindestens ein x gilt.
Man sagt: „Es gibt (mindestens) ein x, für das P(x) gilt.“
Bemerkungen:
1. Meistens bezieht man sich auf eine bestimmte Menge in der x Element ist. Man schreibt dann
@xPM :Ppxq oder DxPM :Ppxq.
2. Quantoren können auch verknüpft werden. Dabei ist die verwendete Reihenfolge wichtig.
Beispiel 1.13 Quantorennutzung
(1) Für alle reellen Zahlen a, b gilt: a + b = b + a.
@a, bPR:a`b“b`a
(2) Existenz des inversen Elements bezüglich der Addition
Zu jeder ganzen Zahl a existiert eine ganze Zahl b so, dass gilt:a`b“0
@aPZ:DbPZ:a`b“0
Satz 1.10 Negation der Quantoren
(1) pDxPM :Ppxqq ô @xPM : pPpxqq (2) p@xPM :Ppxqq ô DxPM : pPpxqq
Aufgaben
1. Entscheiden und begründen Sie, ob Aussagen, Aussageformen oder nichts von beiden vorliegt.
a) Es regnet.
b) 4x´7ă11
c) 4´2 sinpxq ą0 d) fpxq “x2`4
e) t3u Ă t3; 4; 5u
f) paăb^băcq ñaăc 2. Emil macht über sich und seine Freunde folgende Aussagen:
(1) Ich bin größer als Anton.
(2) Anton ist größer als Ben.
(3) Ben ist größer als Christian.
(4) Wir sind alle verschieden groß.
a) Geben Sie die Reihenfolge an, wenn alle Aussagen wahr sind.
b) Untersuchen Sie, ob sich eine eindeutige Reihenfolge ergibt, wenn nur die Aussage (4) wahr ist.
c) Welche Reihenfolgen sind möglich, wenn nur (2) falsch ist?
3. Beweisen Sie das zweite Distributivgesetz zwischen Konjunktion und Disjunktion.
4. Welche der folgenden logischen Schlüsse sind richtig?
a) Es gelte:
Wenn das Auto weit gefahren ist, dann ist der Tank leer. Der Tank ist nicht leer.
Schluss: Das Auto ist nicht weit gefahren.
b) Es gelte:
Wenn Emil den Kaffee kocht, dann schmeckt er bitter. Der Kaffee schmeckt bitter.
Schluss: Emil hat den Kaffee gekocht.
c) Es gelte:
Wenn Mittwoch ist und Tee gekocht wurde, dann ist die Sekretärin gut gelaunt. Es ist Mittwoch und die Sekretärin hat schlechte Laune
Schluss: Es wurde kein Tee gekocht.
d) Es gelte:
Wenn kein Tee gekocht wurde und die Sekretärin gut gelaunt ist, dann ist Freitag. Es ist nicht Freitag und die Sekretärin ist gut gelaunt.
Schluss: Es wurde Tee gekocht.
5. Beweisen Sie folgende Aussagen.
a) Das Quadrat einer ungeraden ganzen Zahl ist stets ungerade.
b) Gegeben sei eine positive Quadratzahl qn mit qn ě 4. Ihre Quadratwurzel sei n. Dann gilt stets: Der Vorgänger von qn ist durch den Nachfolger von n teilbar.
c) ?
5ist keine rationale Zahl.
d) Es gibt keine Quadratzahl, die Vorgänger einer durch 3 teilbaren Zahl ist.
6. Ein System von Aussagen, die man als gültig voraussetzt, also nicht beweist, nennt man in der Mathematik eine Axiomensystem. Stellen wir uns folgende Situation vor. Anton, Berta und Cäsar sitzen auf einer Bank nebeneinander. Jeweils genau eine dieser drei Personen fährt in der Freizeit Rad, geht schwimmen oder joggen. Wir betrachten nun folgende Aussagen als Axiome:
A1 :Cäsar sitzt nicht links.
A2 :Anton fährt in der Freizeit Rad.
A3 :Die Person, die gern schwimmt, sitzt nicht in der Mitte.
A4 :Berta sitzt rechts.
A5 :Berta sitzt in der Mitte.
A6 :Die Person, die gern joggt, sitzt rechts.
A7 :Cäsar schwimmt nicht gern.
a) Untersuchen Sie, ob sich nur durch A1, A2, A3 und A4 die Zuordnungen der Sitzplätze und Sportarten auf die Personen realisieren lässt.
b) Zeigen Sie, dass das System aus den AussagenA1, A2, A3, A5, A6 nicht widerspruchsfrei ist.
c) Zeigen Sie, dass das System tA2, A6, A7uunvollständig ist. Geben Sie zwei verschiedene Anordnungen an, bei denen diese Aussagen wahr sind.
d) Untersuchen Sie, ob das SystemtA1, A2, A6, A7uvollständig benötigt wird, um eine ein- deutige Reihenfolge zu treffen. Auf welche Aussage könnte man verzichten?
7. Hintereinander (von links nach rechts) sind fünf Gefangene A, B, C, D und E auf Stühle gesetzt worden. Jeder sieht immer nur die Personen, die vor ihm sitzen. E sieht A, B, C und D. D sieht A, B und C, usw.. Alle haben eine Mütze auf, die entweder weiß oder rot ist.
Bekannt ist noch, dass es von einer Farbe drei und von der anderen zwei Mützen gibt, aber nicht von welcher. Jeder, der die Farbe seiner Mütze erraten kann, kommt frei. Sie werden jeweils von hinten nach vorn befragt. Begonnen wird bei E.
a) Welche Gefangenen können die Farbe ihrer Mütze erraten, wenn die Reihenfolge: r-w-r- r-w ist? Begründen Sie!
b) Welche Gefangenen können die Farbe ihrer Mütze erraten, wenn die Reihenfolge: r-w-r- w-w ist? Begründen Sie!
c) Gibt es eine Reihenfolge, bei der keiner seine Farbe durch logisches Schließen herausfinden kann? Begründen Sie!
8. In Logizien, einem Landesteil des Dusterwaldes, leben nur zwei Stämme von Mathegnomen, die Wahrhaftigen und die Lügner. Die Wahrhaftigen sagen immer die Wahrheit und die Lügner immer die Unwahrheit. Äußerlich sind sie nicht zu unterscheiden. Auf einer Bank sitzen ein
9. Zacharias Zoddel befindet sich auf einer Wanderung durch den Dusterwald und trifft dort auf drei Mathegnome Alberich, Babelich und Coderich.
Zacharias wendet sich an Alberich: „Sind Babelich und Coderich beide Wahrhaftige?“
Alberich antwortet mit „Ja.“.
Zacharias fragt dann: „Ist Babelich ein Wahrhaftiger?“
Die Antwort von Alberich ist diesmal: „Nein.“
Untersuchen Sie, ob es dadurch möglich ist, herauszufinden, zu welchem Stamm die drei gehören.
10. Zacharias ist nun auf dem Weg zu einem Zauberer. Als er zur Hütte des Zauberers kommt, begegnet er dort drei Gnomen mit spitzen Hüten. Jeder von ihnen könnte der Zauberer sein.
Er tritt zu ihnen und fragt: „Wer von euch ist der Zauberer?“
„Ich bin der Zauberer“ ruft der Erste.
„Nein, ich bin der Zauberer.“, sagt der Zweite.
Der Dritte schweigt. Deshalb wendet sich Zacharias direkt an ihn: „Kannst du mir sagen, wer der Zauberer ist?“
„Ich kann dir nur sagen, dass genau einer von uns dreien immer die Wahrheit spricht“, lautet die Antwort.
Finden Sie heraus, wer der Zauberer ist. Begründen Sie Ihr Ergebnis.
11. Beweisen Sie die Gültigkeit der folgenden Ungleichungen für beliebige reelle Zahlen a, b.
a) 0ďaďb ñ a
1`a ď b 1`b b) 0ăa^0ăb ñ ?
abď a`b 2 c) @ε|εą0 ñ 2abďε2a2` 1
ε2b2
12. Beweisen Sie mit vollständiger Induktion die folgenden Aussagen für alle nPN. a)
n
ř
i“1
1
i¨ pi`1q “1´ 1 n`1 b) 133|p11n`2`122n´1q
c)
n
ř
i“1
pi3q “ 1
4n2pn`1q2 d) @nPN^ně4| n2ď2n
13. Formulieren Sie die folgenden Aussagen unter Nutzung von Quantoren und geeigneter Ver- knüpfungen. Bilden Sie jeweils die Negation.
a) Für jede ganze Zahl z gilt: Das Quadrat aus dem Nachfolger von z ist positiv.
b) Für jede ganze Zahl z gilt: Der Nachfolger des Quadrates von z ist positiv.
c) Zu jedem Paar natürlicher Zahlen a und b, gibt es eine natürliche Zahl c, für die gilt:
a2`b2 “c2. 14. Beweisen Sie:
1 2 ď
2n
ÿ
i“n`1
1 i ď1 15. Beweisen Sie:
@pnPN ^ną7q Da, bPN|n“3a`5b
2.1 Grundlegende Begriffe
2.1.1 Eine naive Mengendefinition
Wir beginnen mit der Definition von Georg Cantor (1845 - 1918), der als Begründer der Mengenlehre gilt. Er beschäftigte sich mit dem Unendlichkeitsbegriff.
Def 2.1
Eine Menge ist die Zusammenfassung wohlunterschiedener Objekte unserer Anschauung oder unseres Denkens zu einem Ganzen.
Def 2.2
Die Objekte einer Menge heißen Elemente der Menge.
Schreibweisen: xPM - „x ist Element der Menge M.“
xRM - „x ist kein Element der Menge M.“
Bemerkungen:
1. Mengen werden häufig mit großen Buchstaben bezeichnet. Die Zahlenmengen haben die Sym- bole: N,Z,Q`,Q,Rund C.
2. Diese Definition wird auch als Mengendefinition der naiven bzw. der einfachen Mengenlehre bezeichnet. Sie lässt eine Mengenbildung zu, die zu Widersprüchen führt, die man Antinomien nennt.
3. Ein solcher Widerspruch ist die folgende Frage:
M sei genau die Menge aller der Mengen, die sich nicht selbst enthalten. Ist M Element von sich selbst?
1. Fall: M PM ñ M RM. 2. Fall: M RM ñ M PM.
Die Beschreibung von M ist nach Cantors Definition nicht verboten.
4. Ein weiteres berühmtes Beispiel ist das Paradoxon des Barbiers.
In einem Dorf lebt ein Barbier, der genau alle die Bewohner des Dorfes rasiert, die sich nicht selbst rasieren. Rasiert er sich selbst?
2.1.2 Schreibweisen und Darstellungen für Mengen Mengen kann man auf verschiedene Art darstellen.
Folgende häufig auftretende Formen werden unterschieden:
• beschreibende Form
Beschreibung der Menge in Worten oder in mathematischer Zeichensprache
• aufzählende Form
Aufzählung der Elemente in den geschweiften Mengenklammern
• Darstellung in Venn-Diagrammen
Veranschaulichung kleiner Mengen mit nur wenigen Elementen
• Darstellung als Intervall
Darstellung zusammenhängender Bereiche reeller Zahlen
• geometrische Darstellung als Menge von Punkten
Veranschaulichungen auf Zahlenstrahlen, Zahlengeraden oder in der Ebene Beispiel 2.1
(1) Die Menge A der geraden Ziffern.
A“ t0; 2; 4; 6; 8u
0 2 6 4
8
(2) Die Menge B der reellen Zahlen, deren Quadrat höchstens 4 beträgt.
B“ tx|xPR^ ´2ďxď2u
Intervallschreibweise:B “ r´2; 2s
(3) C“ tx|xPR^ ´1ăxă4u
Intervallschreibweise:C “ p´1; 4q
Übersicht Intervallschreibweisen
Beschreibung Menge Intervall
(beidseitig) abgeschlossenes Intervall tx|xPR^aďxďbu ra, bs linksoffenes Intervall tx|xPR^aăxďbu pa, bs rechtsoffenes Intervall tx|xPR^aďxăbu ra, bq (beidseitig) offenes Intervall tx|xPR^aăxăbu pa, bq Bemerkungen:
1. Bei der Darstellung von Intervallen auf einer Zahlengeraden verwendet man häufig an den Rändern dieselben Klammern, die auch in der Intervallschreibweise benutzt werden.
2. Im Bereich der rationalen Zahlen darf die Intervallschreibweise nicht verwendet werden. Das liegt daran, dass die rationalen Zahlen die Zahlengerade nicht vollständig ausfüllen.
3. Bei der Verwendung der Symbole für die Zahlenmenge der natürlichen Zahlen verwendet man häufig die Bezeichnungen: N“ t1; 2; 3; 4;...u undN0 “ t0; 1; 2; 3;...u
2.1.3 Die leere Menge
Genauso, wie man beim Rechnen mit Zahlen eine Zahl 0 braucht, ist es in der Mengenlehre sinnvoll, eine Menge zu definieren, die keine Elemente enthält. Man nennt sie die leere Menge.
Def 2.3
Die Menge ∅mit der Eigenschaft: ∅“ tx|x‰xu heißt leere Menge.
Bemerkungen:
1. Ein anderes Symbol für die leere Menge ist: tu.
2. Falsch ist die Symbolik:t∅u, die manchmal verwendet wird. Sie bezeichnet eine Menge zweiter Stufe, die als Element die leere Menge hat.
3. Der leeren Menge begegnet man beim Lösen von Gleichungen und Gleichungssystemen, die keine Lösung besitzen. Solche Gleichungen heißen auch unerfüllbar.
4. In der Stochastik wird mit ihr das „unmögliche Ereignis“ bezeichnet, das Ereignis, für dessen Eintreten die Wahrscheinlichkeit 0 ist.
5. Alle Mengen, die kein Element enthalten, sind identisch. Deshalb spricht man auch von „der“
leeren Menge.
2.2 Teilmengen
Def 2.4
Eine Menge B heißt Teilmenge einer Menge A genau dann, wenn für alle x mit xPB folgt, dass xPA.
Schreibweise: B ĎA Bemerkungen:
1. Mit den Symbolen der Aussagenlogik geschrieben sieht die Definition so aus:
B ĎA ô @x|xPB ñ xPA
2. Für die Zahlenbereiche gilt: NĎN0 ĎZĎQĎRĎC 3. Veranschaulichung:
Beispiel 2.2 Man gebe alle dreielementigen Teilmengen von ta;b;c;d;eu an.
Sie lauten:
ta;b;cu,ta;b;du,ta;b;eu,ta;c;du,ta;c;eu,ta;d;eu tb;c;du,tb;c;eu,tb;d, eu,tc;d;eu
Ist die leere Menge Teilmenge anderer Mengen? Hat eine Menge sich selbst zur Teilmenge? Das sind Fragen, auf die man mit Hilfe der Definition leicht Antworten finden kann.
Satz 2.1
Gegeben sei eine beliebige Menge M. Dann gilt stets: ∅ĎM.
Beweis:
Nach Definition ist∅“ tx|x‰xu, also enthält die leere Menge kein Element x.
ñ Die Implikation @x|xP∅ ñ x PA ist immer wahr, denn ihre Voraussetzung ist immer falsch.
Somit ist die Defnition für die Teilmenge durch die leere Menge stets erfüllt.
l
Def 2.5
Zwei Mengen A und B heißen einander gleich genau dann, wenn gilt:AĎB ^ B ĎA.
Schreibweise: A“B Def 2.6
Eine Menge B heißt echte Teilmenge einer Menge A genau dann, wenn für alle x mit xPB folgt, dass xPA und zudem B ‰A gilt.
Schreibweise: B ĂA
Bemerkungen:
1. Die BeziehungĎnennt man in der Mathematik auch eine Relation. Zwei Objekte - hier zwei Mengen - stehen zueinander in einer Beziehung (Relation).
2. Eine Menge hat sich selbst stets als Teilmenge d.h. @M : M Ď M. Man sagt dann in der Mathematik: Ďist reflexiv.
3. Die Eigenschaft pAĎB ^ B ĎAq ñ A“B heißt Antisymmetrie.
Ďist also antisymmetrisch.
4. Eine dritte wichtige Eigenschaft nennt man Transitivität. Sie lautet hier:
pAĎB ^ B ĎCq ñ AĎC.
Sie ist wahr.
Wir wollen dies begründen.
Sei x ein beliebiges Element aus A.
Wegen AĎB ist dieses Element x auch in B zu finden.
Wegen BĎC ist dieses Element x auch in C enthalten.
Damit ist jedes Element x aus A auch in C und somit folgt nach Definition: AĎC.
Auch im Mengendiagramm ist die Transitivität leicht nachvollziehbar.
Veranschaulichung:
Satz 2.2
Die leere Menge ∅ ist eindeutig bestimmt.
Beweis: (indirekt)
Annahme: Es gibt zwei verschiedene leere Mengen ∅und ∅1. ñ Nach Satz 2.1 gilt dann:∅Ď∅1^∅1 Ď∅
ñ ∅“∅1.
Das steht im Widerspruch zur Annahme. Somit ist diese offenbar falsch.
l
2.3 Axiome der Mengenlehre
Wenn man den Mengenbegriff exakter definieren will, geht man von Axiomen aus. Axiome sind grundlegende Aussagen, die nicht bewiesen werden, sondern als stets wahr angenommen werden.
Sie stehen am Anfang einer Theorie und auf ihnen baut sich dann alles weitere auf. Es gibt mehre- re Axiomensysteme der Mengenlehre, die durch verschiedene Mathematiker entwickelt wurden. In ihnen wird die Bildung von Mengen und die Existenz bestimmter Mengen festgelegt. Ein Beispiel für solche Axiome ist hier angegeben:
Axiome der Mengenlehre
1. Mengenbildungsaxiom 1
Es gibt eine Menge M, so dass für jedes Individuum x gilt: x ist Element von M genau dann, wenn x die Aussage p(x) für x wahr ist.
2. Mengenbildungsaxiom 2 - Mengen zweiter Stufe
Es gibt eine Menge M, so dass für jede Menge X gilt: X ist Element von M genau dann, wenn die Aussage P(X) für die Menge X wahr ist.
3. Extensionalitätsaxiom für Mengen erster Stufe
Wenn für jedes Individuum x und die Mengen M und N gilt:xPM ô xPN, so ist M = N.
4. Unendlichkeitsaxiom
Es gibt eine unendliche Menge.
5. Auswahlaxiom
Eine Menge M, welche in eine Menge paarweiser zueinander elementfremder Teilmengen A, B, C, ... zerlegt ist, von denen jede mindestens ein Element besitzt, enthält mindestens eine TeilmengeT, die mit jeder der Teilmengen A, B, C, ... genau ein Element gemeinsam hat.
Bemerkungen:
1. Eine Menge zweiter Stufe ist eine Menge, deren Elemente selbst Mengen sind.
Beispiel:tt3; 5u,t4; 5u,t3; 4uu
2. Wir haben oben die Gleichheit zweier Mengen mit Hilfe des Begriffes der Teilmenge definiert.
3. Es gibt nicht nur eine Unendlichkeit, sondern viele Kategorien davon. Die einfachsten unend- lichen Mengen sind jene, die mit der Menge der natürlichen Zahlen gleichmächtig sind. Da man ihre Elemente „durchnummerieren“, also abzählen kann, spricht man von der abzählbar unendlichen Mengen. Nicht mehr abzählbar ist beispielsweise die Menge der reellen Zahlen.
4. Das Auswahlaxiom ist zunächst nicht leicht zu verstehen. Wir benötigen Mengenverknüpfun- gen, um es deutlicher zu machen.
5. Ein Axiomensystem sollte aus wenigen einfachen Axiomen bestehen, die jedoch ausreichen, um darauf eine Theorie vollständig aufzubauen. Oft gibt es mehrere Möglichkeiten, Axiome für eine Theorie zusammenzustellen.
2.4 Verknüpfungen von Mengen
2.4.1 Durchschnitt von Mengen Def 2.7
Gegeben seien zwei Mengen A und B.
Die Durchschnittsmenge AXB enthält genau die Elemente, die sowohl Element in A, als auch Element in B sind.
AXB –tx|xPA^xPBu Veranschaulichung:
Beispiel 2.3 Bestimmen von Durchschnittmengen
(1) gegeben:A“ t1; 2; 3; 4; 5; 6u undB “ t2; 3; 5; 7u. gesucht:AXB.
AXB “ t2; 3; 5u
(2) gegeben:A“ t1; 2; 3uund B “ ta;ab;abcu gesucht:AXB.
AXB “∅
(3) gegeben:A“ ta;b;cu undB “ ta;b;c;d;eu gesucht:AXB.
AXB “A“ ta;b;cu
Satz 2.3 Eigenschaften von X
Gegeben sind die Mengen A, B und C sowie die leere Menge ∅. Dann gilt:
1. Durchschnitt mit ∅: AX∅“∅ 2. Durchschnitt mit sich selbst: AXA“A
3. Assoziativgesetz: AX pBXCq “ pAXBq XC
Beweis:
Wir beweisen alle Eigenschaften direkt unter Verwendung der mathematischen Fachsprache. Dabei nutzen wir die Definitionen der Mengen und verwenden die Gesetze für die Verknüpfungen der Aussagenlogik.
(1)
Ex|xP∅ ñ Ex|pxP∅ ^ xPAq ñ Ex|xP∅XA
ñ AX∅“∅
(2)
@x|xPA ñ @x|pxPA ^ xPAq ñ @x|xP pAXAq
ñ AXA“A
(3)
AX pBXCq “ AX tx|pxPB^xPCqu
“ tx|pxPA^ pxPB^xPCqqu
“ tx|pxPA^xPBq ^xPCu
“ tx|pxPA^xPBqu XC
“ pAXBq XC (4)
AXB“ tx|pxPA^xPBqu
“ tx|pxPB^xPAqu
“ BXA
(5)
AĎB ñ @x|pxPAñxPBq ñ @x|pxPAñ pxPA^xPBqq ñ @x|pxPAñxP pAXBqq
ñ AXB “A
Damit sind alle Eigenschaften durch Zurückführung auf die entsprechenden logischen Verknüpfungen gezeigt.
l Def 2.8
Zwei Mengen A und B heißen disjunkt genau dann, wenn AXB“∅
Beispiel 2.4 Verdeutlichung des Auswahlaxioms
gegeben: M “ t1; 2; 3; 4; 5; 6; 7; 8; 9; 10; 11; 12u
Wir zerlegen M irgendwie in paarweise disjunkte Teilmengen von M:
A“ t2; 4; 6; 8; 10; 12u, B“ t1; 3; 11u, C “ t5; 9u, D“ t7u
Es gibt viele solche Zerlegungen, doch für jede von ihnen sollte es nach dem Auswahlaxiom immer (mindestens) eine Teilmenge T von M geben, die mit allen Teilmengen der Zerlegung jeweils genau ein Element gemeinsam hat.
Eine solche Menge ist zum Beispiel: T “ t1; 2; 5; 7u Welche Eigenschaften hat die Menge T?
Sie hat genau so viele Elemente, wie die Zerlegung Teilmengen besitzt, da ja aus jeder von ihnen genau ein Element für T kommt.
Wie viele solche Mengen T sind möglich?
Man kann bei dieser Zerlegung insgesamt n“6¨3¨2¨1“36 Teilmengen T bilden. Das liegt an den jeweiligen Auswahlmöglichkeiten für das eine Element aus den Mengen A, B, C und D.
2.4.2 Vereinigung von Mengen Def 2.9
Gegeben seien zwei Mengen A und B.
Die Vereinigungsmenge AYB enthält genau die Elemente, die Element in A oder Element in B sind.
AYB –tx|xPA_xPBu Veranschaulichung:
Bemerkungen:
(1) gegeben:A“ t1; 2; 3; 4; 5; 6u undB “ t0; 2; 3; 5; 7u. gesucht:AYB.
AYB “ t0; 1; 2; 3; 4; 5; 6; 7u
(2) gegeben:A“ t1; 2; 3uund B “ ta;ab;abcu gesucht:AYB.
AYB “ t1; 2; 3;a;ab;abcu
(3) gegeben:A“ ta;b;cu undB “ ta;b;c;d;eu gesucht:AYB.
AYB “B “ ta;b;c;d;eu
(4) gegeben:A“ r´2; 5sund B “ r3,7s gesucht:AYB.
AYB “ r´2,7s
Satz 2.4 Eigenschaften von Y
Gegeben sind die Mengen A, B und C sowie die leere Menge ∅. Dann gilt:
1. Vereinigung mit∅: AY∅“A 2. Vereinigung mit sich selbst: AYA“A
3. Assoziativgesetz: AY pBYCq “ pAYBq YC 4. Kommutativgesetz: AYB“BYA
5. Vereinigung bei Teilmenge: AĎB ñ AYB “B Beweis:
Wir nutzen auch hier die Definitionen der Mengen und verwenden die Gesetze für die Verknüpfungen der Aussagenlogik. Der Leser möge Schritt für Schritt nachvollziehen, welche Definition bzw. welcher Satz verwendet wurde.
(1)
@x|xP pAY∅q ñ pxP∅ _ xPAq
ñ xPA
ñ AY∅“A (2)
@x|xPA ñ @x|pxPA _ xPAq ñ @x|xP pAYAq
ñ AYA“A
(3)
AY pBYCq “ AY tx|pxPB_xPCqu
“ tx|pxPA_ pxPB_xPCqqu
“ tx|pxPA_xPBq _xPCu
“ tx|pxPA_xPBqu YC
“ pAYBq YC (4)
AXB“ tx|pxPA_xPBqu
“ tx|pxPB_xPAqu
“ BYA
(5)
AĎB ñ @x|pxPAñxPBq ñ Ex|pxPA^xRBqq ñ @x|pxPB ñ pxPAq _ pxPBqq ñ @x|pxPB ñxP pAYBqq
ñ AYB “B
Damit sind alle Eigenschaften durch Zurückführung auf die entsprechenden logischen Verknüpfungen gezeigt.
l Was geschieht aber, wenn manXund Ykombiniert? Betrachten wir zunächst ein Beispiel.
Beispiel 2.6 Verknüpfungen von X und Y.
gegeben: A“ t2; 3; 4; 5u;B “ t0; 2; 4; 6; 8u;C “ t4; 5; 6; 7; 8u .
gesucht: AX pBYCq,pAXBq Y pAXCq,AY pBXCq,pAYBq X pAYCq AX pBYCq “ t2; 3; 4; 5u X t0; 2; 4; 5; 6; 7; 8u “ t2; 4u
pAXBq Y pAXCq “ t2; 4u Y t4u “ t2; 4u
AY pBXCq “ t2; 3; 4; 5u Y t4; 6; 8u “ t2; 3; 4; 5; 6; 8u
pAYBq X pAYCq “ t0; 2; 3; 4; 5; 6; 8u X t2; 3; 4; 5; 6; 7; 8u “ t2; 3; 4; 5; 6; 8u
In beiden Fällen erhalten wir übereinstimmende Mengen nach den Verknüpfungen. Wir vermuten:
Beweis:
Wir nutzen auch hier die Definitionen der Mengen und verwenden die Gesetze für die Verknüpfungen der Aussagenlogik. Insbesondere die Distributivgesetze der Konjunktion und der Disjunktion werden im Beweis verwendet.
(1)
AX pBYCq “ AX tx|pxPB_xPCqu
“ tx|pxPA^ pxPB_xPCqqu
“ tpx|ppxPA^xPBq _ pxPA^xPCqqu
“ tpx|pxPA^xPBqu Y tx|pxPA^xPCqu
“ pAXBq Y pAXCq (2)
AY pBXCq “ AY tx|pxPB^xPCqu
“ tx|pxPA_ pxPB^xPCqqu
“ tpx|ppxPA_xPBq ^ pxPA_xPCqqu
“ tpx|pxPA_xPBqu X tx|pxPA_xPCqu
“ pAYBq X pAYCq
Die Distributivgesetze sind damit nachgewiesen. Anders als bei den Rechenoperationen Addition und Multiplikation gibt es hier zwei Distributivgesetze.
l
2.4.3 Komplementärmengen und de Morganschen Regeln
In der Praxis kommt es häufig vor, dass man als möglichen Grundbereich von einer Menge ausgeht über die man nicht hinausgeht und nur Teilmengen von ihr betrachtet. Solche Grundbereiche sind beispielsweise die Ergebnismenge eines Zufallsexperimentes in der Stochastik oder die Menge auf der eine Funktion definiert wird.
Def 2.10
Gegeben sei eine Menge M und eine Menge A mit AĎM.
Die Menge A mitAXA“∅und AYA“M heißt Komplementärmenge zu A bezüglich M Veranschaulichung:
Beispiel 2.7 Geben Sie jeweils die Menge und die Komplementärmenge an.
(1) M: Die Menge der natürlichen Zahlen.
G = Die Menge der geraden natürlichen Zahlen.
G“ t2; 4; 6; 8; 10;...u “ tx|x“2¨k^kPNu G“ t1; 3; 5; 7; 9;...u “ tx|x“2¨k´1^kPNu
(2) E: Beim einmaligen Würfeln mit einem Würfel fällt eine Primzahl.
Ergebnismenge:Ω“ t1; 2; 3; 4; 5; 6u E“ t2; 3; 5u ;E“ t1; 4; 6u
(3) Lösungsmenge der Ungleichung|2x´5| ă11 inR 1. Fall:xě2,5: L1 “ tx|2,5ďxă8u
2. Fall:xă2,5: L2 “ tx| ´3ăxă2,5u Lösungsmenge:
L“L1YL2 “ tx|xPR^ ´3ăxă8u “ p´3; 8q Komplementärmenge:
L“ tx|xPR^ pxď ´3 _ xě8qu “ p´8;´3s Y r8;8q Bemerkungen:
1. Es gilt sicher bezüglich einer beliebigen Menge M: M “∅und∅“M
2. Eine Menge und ihre Komplementärmenge bilden stets eine Zerlegung von M entsprechend des Auswahlaxioms, solange keine von ihnen die leere Menge ist. Damit ist es also immer möglich, eine zweielementige Menge anzugeben, in der genau ein Element aus A und genau ein Element ausA ist.
3. Entsprechend der doppelten Negation kann man schreiben: A“A
Das Komplement aus dem Komplement von A ist also wieder die Menge A selbst.
Begründung:
Nach Definition gilt: AYA“M ^ AXA“∅. Ebenso gilt:AYA“M ^ AXA“∅.
Beides ist nur fürA“Aerfüllbar.
4. In der Stochastik ist die Komplementärmenge E das Gegenereignis zum Ereignis E. Die zu- gehörige Grundmenge ist die Ergebnismenge Ω.
Satz 2.6 de Morgansche Regeln
Seien A und B beliebige Teilmengen bezüglich einer Menge M so gilt:
(1) AXB “AYB
(1)
AXB “ tx|pxPM ^xR pAXBq
“ tx|pxPM^ pxRA_xRBqqu
“ tpx|pxPM^xRAq _ pxPM ^xRBqqu
“ tpx|pxPM^xRAqu Y tx|pxPM^xRBqu
“ AYB
(2)
AYB “ tx|pxPM ^xR pAYBq
“ tx|pxPM^ pxRA^xRBqqu
“ tpx|pxPM^xRAq ^ pxPM ^xRBqqu
“ tpx|pxPM^xRAqu X tx|pxPM^xRBqu
“ AXB
Damit ist der Beweis erbracht.
l
2.4.4 Differenzmenge
Man hat in der Mengenlehre auch noch eine Differenz von Mengen definiert. Dennoch sei bemerkt, dass man allein mit Durchschnitt und Vereinigung als Verknüpfungen auskommen kann. Die folgende Differenz ist also nur eine „kosmetische“ Definition, um an vielen Stellen kürzere Schreibweisen verwenden zu können.
Def 2.11
Gegeben seien zwei beliebige Mengen A und B.
Dann ist AzB –tx|xPA^xRBu dieDifferenzmenge „A ohne B“.
Veranschaulichung:
Beispiel 2.8 Geben Sie jeweils die Mengen AzB und BzA an.
(1) A“ t0; 1; 2; 3; 4; 5; 6u;B“ t0; 1; 6; 10; 16; 60u AzB “ t2; 3; 4; 5u
BzA“ t10; 16; 60u
(2) A“ tx|xPR^4ăxď6u “ p4,6s;B “ tx|xPR^5ďxď9u “ r5,9s AzB “ tx|xPR^4ăxă5u “ p4,5q
BzA“ tx|xPR^6ăxď9u “ p6,9s
(3) A“ t0; 1; 2u;B“ t0; 1; 2; 3; 4u AzB “∅
BzA“ t3; 4u Bemerkungen:
1. Direkt aus der Definition ergeben sich folgende gleichwertige Schreibweisen: AzB “ AXB und BzA“AXB.
2. Natürlich gelten folgende einfache Beziehungen:AzA“∅,∅zA“∅undAz∅“A. Der Leser möge sich selbst davon überzeugen.
3. Wenn A eine Teilmenge einer Grundmenge M ist, so gilt: MzA“A, denn alle Elemente, die in M aber nicht in A liegen, bilden zusammen die Komplementärmenge von A.
4. Wenn A eine Teilmenge von B ist gilt sicher: BzA“∅, denn es gibt kein Element das nur in B, also in B und nicht in A liegt.
5. Wenn A und B zwei disjunkte Mengen sind, also keine gemeinsamen Elemente besitzen, so gilt:AzB “Aund ebenso BzA“B, denn es gibt jeweils keine Elemente, die man aus A oder aus B herausnehmen müsste.
6. Gegeben seien eine Grundmenge M und zwei Teilmengen A und B.
Dann bilden die vier Verknüpfungen AXB,AzB“AXB,BzA“AXB und AXB eine Zerlegung von M in vier disjunkte Teilmengen, die vereinigt M ergeben. Dies ist beispiels- weise die Grundlage der in der Stochastik und Statistik verwendeten Vierfeldertafel.
Veranschaulichung:
2.4.5 Produktmenge
In der Mathematik spielen Abbildungen eine große Rolle, in denen Elemente einer Menge nach einer Vorschrift Elemente derselben oder einer anderen Menge zugeordnet werden. Solche Abbildungen werden später behandelt. Im Zusammenhang damit haben aber geordnete Paare eine sehr wichtige Bedeutung.
Def 2.12
Gegeben seien die Mengen X und Y. Dann heißt die Menge XˆY –tpx, yq|xPX^yPYu Produktmenge oder auchkartesisches Produkt aus X und Y.
Beispiel 2.9 Geben Sie jeweils die Mengen AˆB und BˆA an.
(1) A“ t0; 1; 2u;B“ ta;bu
AˆB “ tp1, aq,p1, bq,p2, aq,p2, bq,p3, aq,p3, bqu BˆA“ tpa,1q,pa,2q, a,3q,pb,1q,pb,2q,pb,3qu
(2) A“ tx|xPRu;B “ t4u AˆB “ tpx,4q|xPRu BˆA“ tp4, xq|xPRu
(3) A“ tx|xPRu
AˆA“RˆR“R2 “ tpx, yq|xPR^yPRu
(4) A“ r3; 5s,B“ r0; 1s
AˆB “ tpx, yq|x;y PR^3ďxď5^0ďyď1u
geometrisch interpretiert ist dieses kartesische Produkt gleich einer Punktemenge, die im Koordinatensystem ein Rechteck bilden.
Veranschaulichung:
Bemerkungen:
1. Wie in den Beispielen gesehen, gilt im AllgemeinenAˆB ‰BˆA. Anders ausgedrückt: Für das Mengenprodukt gilt kein Kommutativgesetz.
2. Wenn die beiden Mengen A und B endlich sind, dann gilt:|AˆB| “ |A| ¨ |B|.
Begründung: Zu jedem Element der ersten Menge kann man jedes Element der zweiten Menge zuordnen, um jeweils genau ein geordnetes Paar der Produktmenge zu erhalten.
3. Um Verwechslungen zu vermeiden, steht zwischen den Elementen eines geordneten Paares aus Zahlenmengen an Stelle des Kommas häufig ein Semikolon.
4. Die Menge R2 ist die Menge aller möglichen geordneten Paare reeller Zahlen. Man kann sie geometrisch als die Menge aller Punkte der Ebene deuten, wobei x und y die kartesischen Koordinaten der Punkte sind. Auch hier sieht man leicht ein, dass man nicht einfach die Koordinaten eines Punktes tauschen darf, da dabei ein anderer Punkt Punkt entsteht. (z.B.:
Ap2; 4q ‰Bp4; 2q)
5. Kartesische Produkte von Intervallen kann man als Rechteckflächen interpretieren. Je nach- dem, ob es sich um abgeschlossene oder offene Intervalle handelt, gehören die Punkte auf den Rechteckseiten dazu oder nicht.
6. Es gilt: AˆB “∅ ô A“∅_B “∅
Wenn es in mindestens einer der Ausgangsmengen keine Elemente gibt, lassen sich keine geordneten Paare bilden.
Wir wollen nun die Definition verallgemeinern, d.h. mehr als zwei Mengen miteinander multiplizie- ren.
Def 2.13
Seien M1, M2, ..., Mn beliebige Mengen. Dann heißt die Menge
M1ˆM2ˆ...ˆMn–tpx1, x2, ..., xnq|xi PMi^iP t1; 2;..., nuu kartesisches Produkt der Mengen M1, M2, ..., Mn.
Beispiel 2.10 Geben Sie jeweils die MengenAˆBˆC an.
(1) A“ t1; 2u; B “ ta;bu; C “ tx, yu
AˆBˆC “ tp1, a, xq,p1, a, yq,p1, b, xq,p1, b, yq,p2, a, xq,p2, a, yq,p2, b, xq,p2, b, yqu
(2) A“ r1; 3s; B “ r0; 4s; C“ r´2,1s
AˆBˆC“ tpx, y, zq|x, y, zPR^1ďxď3^0ďy ď4^ ´2ďzď1u
Bemerkungen:
1. Die Elemente px1, x2, ..., xnq eines kartesischen Produktes aus n Mengen, heißen geordnete
3. Damit kann man kartesische Produkte aus drei Intervallen als quaderförmige Punktmengen imR3interpretieren. Wenn es sich aucsschließlich um Abgeschlossene Intervalle handelt, dann 4. Ein Assoziativgesetz für das kartesische Produkt gilt dennoch nicht, denn es ist für a P A,
bPB undcPC:
AˆBˆC“ tpa, b, cqu
pAˆBq ˆC “ tppa, bq, cqu ‰AˆBˆC Aˆ pBˆCq “ tpa,pb, cqqu ‰ pAˆBq ˆC
In einem Satz wollen wir nun wichtige Eigenschaften des kartesischen Produktes zusammenfassen.
Wir beschränken uns dabei auf die Produkte aus jeweils zwei Mengen. Außerdem führen wir den Beweis lediglich für eine Auswahl der Gesetze, da alle weiteren Beweise analog ablaufen und dann auch leicht selbst geführt werden können.
Satz 2.7
Seien A, B, C und D beliebige Mengen. Dann gelten die folgenden Distributivgesetze.
(1) pAXBq ˆC “ pAˆCq X pBˆCq (2) Aˆ pBXCq “ pAˆBq X pAˆCq (3) pAYBq ˆC “ pAˆCq Y pBˆCq (4) Aˆ pBYCq “ pAˆBq Y pAˆCq (5) pAzBq ˆC “ pAˆCqzpBˆCq (6) Aˆ pBzCq “ pAˆBqzpAˆCq Beweis:
Wir führen auf die bereits bekannten Gesetze und Definitionen zurück und finden:
(1)
pAXBq ˆC “ tx|pxPA^xPBqu ˆ ty|yPCu
“ tpx, yq|pxPA^xPB^yPCqu
“ tpx, yq|pxPA^yPCqu X tpx, yq|pxPB^yPCqu
“ pAˆCq X pBˆCq
(3)
pAYBq ˆC “ tx|pxPA_xPBqu ˆ ty|yPCu
“ tpx, yq|ppxPA_xPBq ^yPCqu
“ tpx, yq|ppxPA^y PCq _ pxPB^yPCqqu
“ tpx, yq|pxPA^yPCqu Y tpx, yq|pxPB^yPCqu
“ pAˆCq Y pBˆCq
(5)
pAzBq ˆC“ tx|pxPA^xRBqu ˆ ty|yPCu
“ tpx, yq|pxPA^xRB^yPCqu
“ tpx, yq|ppxPA^yPCq ^ pxRB^yPCqqu
“ pAˆCqzpBˆCq
Damit ist der Beweis erbracht.
l
2.4.6 Potenzmenge Def 2.14
Sei M eine beliebige Menge. Dann heißt die Menge PpMq Potenzmenge von M wenn sie genau alle Teilmengen von M enthält.
Beispiel 2.11 Geben Sie jeweils die Potenzmenge zu A an.
(1) A“∅
PpAq “ t∅u
(2) A“ t∅u
PpAq “ t∅,t∅uu
(3) A“ t1; 2; 3u
PpAq “ t∅,t1u,t2u,t3u,t1; 2u,t1; 3u,t2; 3u,t1; 2; 3uu
Bemerkungen:
1. Die Potenzmenge aus der leeren Menge ist eine Menge die als einziges Element die leere Menge besitzt. Sie ist also nicht leer.
2. Die Potenzmenge ist eine Menge mindestens zweiter Stufe, da sie selbst Mengen enthält.
3. Eine wichtige Anwendung der Potenzmenge findet sich in der Stochastik. Ein Zufallsexpe- riment lässt Ergebnisse zu. Diese bilden die Ergebnismenge Ω. Jedes Ereignis E zu diesem Zufallsexperiment ist in dieser Ergebnismenge enthalten. Damit ist die Menge aller Ereignis- se gleich der Menge aller Teilmengen von Ω, also der Potenzmenge von Ω. Man nennt diese Menge in der Stochastik dann auch den Ereignisraum zu diesem Zufallsexperiment.
Ausgehend von unseren Beispielen könnten wir verallgemeinert behaupten:
Satz 2.8
Für endliche Mengen gilt:
|A| “n ñ |PpAq| “2n Beweis:
Wir nutzen das Beweisverfahren der vollständigen Induktion.
Induktionsanfang:
n0 “0 : ñ M “∅
ñ PpMq “ t∅u ñ |PpMq| “1“20.
Induktionsschritt: Für festeskPN gilt: |PpMkq| “2k ñ |PpMk`1q| “2k`1 Voraussetzung: |Mk| “k ñ |PpMkq| “2k
Behauptung: |Mk`1| “k`1 ñ |PpMk`1q| “2k`1
Beweis: SeiMk eine beliebige k-elementige Menge:Mk“ tx1;x2;...;xku Dann gilt nach Voraussetzung |PpMkq| “2k.
Wir erhalten eine beliebige k+1-elementige Menge, indem wir ein belie- biges Element xk`1, das jedoch nicht in Mk ist, hinzufügen. Dann gilt:
1.
Jede Teilmenge von Mk ist auch Teilmenge von Mk`1. Das sind laut Voraussetzung 2k.
2.
Zu jeder Teilmenge von Mk erhält man genau eine neue Teilmenge von Mk`1 wenn man das neue Elementxk`1 hinzufügt.
Wir erhalten auf diese Weise genau 2k neue Teilmengen.
Zusammenfassung:
Es gibt also insgesamt:
|PpMk`1q| “2k`2k“2k¨2“2k`1 Teilmengen von Mk`1.
Da die Formel für die Anzahl für die Startzahln0 “0gilt und aus ihrer Gültigkeit für eine natürliche Zah k die Gültigkeit für deren Nachfolger k+1 geschlossen werden konnte, gilt sie nach dem Prinzip der vollstän- digen Induktion für alle natürlichen Zahlen n.
l
Aufgaben
1. Gegeben sind die folgenden Mengen: A–t2; 4; 7; 8u,B–t1; 2; 3; 4; 5; 6u,C –t7; 8; 9u. a) Geben Sie alle dreielementigen Teilmengen von A an.
b) Bestimmen Sie alle Schnittmengen aus jeweils zwei der Mengen A, B, C.
c) Bestimmen Sie alle Vereinigungsmengen aus jeweils zwei der Mengen A, B, C.
d) Bestimmen Sie die DifferenzmengenAzB,BzA,AzC,CzA und CzB e) Bestimmen Sie AˆC undCˆB und veranschaulichen Sie diese.
f) Untersuchen Sie den Wahrheitswert folgender Aussage: „Die Potenzmenge von B hat mehr als doppelt so viele Elemente wie die Potenzmengen von A und C zusammen.“
2. Gegeben sind die folgenden Mengen reeller Zahlen:
A–txPR|2ăxď4u,B –txPR|x2´4x`3ą0u,C –txPR|2x`1x´1 ďx´1u D–txPR|px`1qpx´1qpx´3q ě0u
a) Stellen Sie die Mengen A, B, C und D in Intervallschreibweise dar und veranschaulichen Sie diese Mengen auf je einer Zahlengeraden.
b) Bestimmen Sie paarweise die Durchschnittsmengen aus jeweils zwei der Mengen.
c) Bestimmen Sie paarweise die Vereinigung aus jeweils zwei der Mengen.
d) Geben Sie die Schnittmenge und die Vereinigungsmenge aller vier Mengen an.
e) Bestimmen Sie alle Differenzmengen.
f) Geben Sie die ProduktmengenAˆB,BˆD undAˆD. Stellen Sie diese grafisch dar.
3. Beweisen Sie die Eigenschaften (2), (4) und (6) aus Satz 2.7.
4. Bestimmen Sie die Potenzmengen Pptx, y, zuqund PpAˆAq mit A“ t0; 1u. 5. Gegeben sei die Menge A–tt2; 4; 7u,t2; 3; 4u,t3; 4; 7u,t1; 2; 7uu
Erläutern Sie die Symbolik und bestimmen Sie: Ş
XPA
X und Ť
XPA
X.
6. Gegeben seien die Mengen X1 – t1; 2; 3u, X2 – t1; 2; 3; 4u, X3 – t2; 4u und X4 – t1; 3; 4u Bestimmen Sie und erläutern Sie die Symbolik:
a) Ş
iPX1
Xi, Ş
iPX2
Xi, Ş
iPX3
Xi und Ş
iPX4
Xi
b) Ť
iPX1
Xi, Ť
iPX2
Xi, Ť
iPX3
Xi und Ť
iPX4
Xi
7. Beweisen oder widerlegen Sie für zwei endliche Mengen A, B:
a) XzY “∅ ô X“Y
3.1 Was sind Relationen?
Nicht nur in der Mathematik, sondern auch im Alltag „vergleicht“ man Objekte oft hinsichtlich bestimmter Merkmale miteinander. Man stelle sich die Schüler einer Klasse vor und betrachte die Eigenschaft „ist befreundet mit“. Nun könnte man zwei Schüler aus der Klasse betrachten und prüfen, ob diese beiden Eigenschaft erfüllen oder nicht. Alle Paare solcher Schüler, die die Eigenschaft „ist befreundet mit“ erfüllen, könnte man nun zu einer Menge zusammenfassen. Angenommen, Anne ist mit Bert befreundet, aber nicht mit Claudia. Dann würde das Paar (Anne, Bert) zur Relation gehören, das Paar (Anne, Claudia) jedoch nicht. In ähnlicher Weise kann man Relationen in der Mathematik verstehen. Wir legen fest:
Def 3.1
Es seien A und B beliebige nichtleere Mengen. Jede Teilmenge R ihres kartesischen ProduktesAˆB heißt (zweistellige) Relation. ( R ĎAˆB)
Bemerkungen:
1. Damit ist jede zweistellige Relation nichts weiter als eine Menge geordneter Paare (a, b) mit aPAund bPB.
2. Sehr häufig kommt nur eine Menge A vor, aus der beide Elemente des geordneten Paares gewählt werden. Man sagt dann: R ist eine Relation über der Menge A und es gilt somit in diesen Fällen: RĎAˆA.
3. Gehört ein geordnetes Paar (a,b) zur Relation R, gilt also pa, bq PR schreibt man auch:aRb, manchmal auch:a„b.
4. Wenn aRb gilt, sagt man: a steht in Relation zu b.
5. Für viele zweistellige Relationen gibt es feste Symbole und Bezeichungen. Solche sind bei- spielsweise: “,ă,ą,k,K.
6. Wir betrachten hier nur zweistellige Relationen. Dennoch kann man verallgemeinert definieren:
Jede Teilmenge des kartesischen Produktes A1ˆA2ˆ...ˆAn heißt n-stellige Relation Rn. Folglich könne man die in Beispiel 2.10 (2) festgelegte Punktmenge als dreistellige Relation auffassen.
Beispiel 3.1 Geben Sie jeweils die folgende Relationen an.
(1) A“ t0; 1; 2u RĎAˆA:ă
Ră“ tp0; 1q,p0; 2q,p1; 2qu tpx, yq|x, yPA^xăyu
(2) A“ t0; 1; 2; 3; 4; 5; 6; 7u, R: gleiche Reste bei Division durch 5.
R“ tp0; 5q,p5; 0q,p1; 6q,p6; 1q,p2; 7q,p7; 2q,p0; 0q,p1; 1q, ...p7; 7qu R“ tpx, yq|x, yPA^x”yp5qu
3.2 Eigenschaften von Relationen
Def 3.2
Eine Relation R über einer Menge M heißt reflexiv genau dann, wenn für alle Elemente a der Menge M gilt: aRa.
Mit Quantoren geschrieben:
R heißt reflexiv ô @aPA|aRa
Beispiel 3.2 Sind folgende Relationen reflexiv?
(1) A“ t0; 1; 2u RĎAˆA:ě
R“ tp0; 0q,p1; 0q,p2; 0q,p1; 1q,p2; 1q,p2; 2qu
p0; 0q,p1; 1q ^ p2; 2q PR, denn 0ě0; 1ě1 ^ 2ě2 R ist reflexiv.
(2) Die Relation < überN
< ist nicht reflexiv, denn1ă1 ist falsch.
Bemerkungen:
1. Wichtig ist, dass die Relation ausnahmslos für alle Elemente aus A gelten muss.
2. Sobald man nur ein einziges Element aus A finden kann, für dass R nicht gilt, ist R auch nicht reflexiv.
3. Einige reflexive Relationen sind:“,ě,ď,k, die TeilmengenrelationĎ, die Teilerrelation oder auch die Modulorelation ”bezüglich jeder positiven natürlichen Zahl m.
4. Von den nicht reflexiven Relationen gibt es welche, bei denen für einige Elemente a aus A gilt:
aRa, aber eben nicht für alle, und es gibt solche, in denen kein einziges Element in Relation zu sich selbst steht. Zu ihnen gehören die Relationen: <; >.
Def 3.3
Im Allgemeinen setzt man aber auch verschiedene Elemente der Menge A in Relation. Dann kann auch folgende Eigenschaften auftreten, die man Symmetrie nennt.
Def 3.4
Eine Relation R über einer Menge M heißt symmetrisch genau dann, wenn gilt:
@a, bPM |aRb ñ bRa .
Beispiel 3.3 Sind folgende Relationen symmetrisch?
(1) A“ t0; 1; 2u RĎAˆA:ě
R“ tp0; 0q,p1; 0q,p2; 0q,p1; 1q,p2; 1q,p2; 2qu Es gilt:p1; 0q PR ^ p0; 1q RR,
R ist nicht symmetrisch.
(2) Die Relation „ist befreundet mit“ sei betrachtet über der Menge M der Schüler einer Schule.
Wenn man davon ausgeht, dass Freundschaft auf Gegenseitigkeit be- ruht, gilt sicher:
Wenn a mit b befreundet ist, dann ist auch b mit a befreundet. Es liegt also eine symmetrische Relation vor.
Bemerkungen:
1. Die logische Struktur der Symmetrieeigenschaft im Satz ist eine Implikation. In ihr steckt jedoch sogar eine Äquivalenz. Denn für jede symmetrische Relation folgt aus bRa umgekehrt auch wieder aRb.
2. Während die Reflexivität für alle Elemente der Menge A gelten muss, ist es hier nicht erfor- derlich, dass immer aRb für alle a und b aus A erfüllt sein muss. Nur dann, wenn aRb gilt, muss zwingend auch bRa gelten.
3. Anders ausgedrückt könnte man sagen:
Für jede symmetrische Relation R gilt: Wennpa;bq PR, dann pb;aq PR.
4. Bei den nicht symmetrischen Relationen ist es wiederum möglich, dass es solche gibt, bei de- nen für einige, aber nicht alle Elemente a, b aus A beide geordneten Paare (a; b) und (b; a) zu R gehören, aber auch solche, wo es kein einziges Paar (a; b) in R gibt, so dass auch das Paar (b; a) in R liegt.
Def 3.5
Eine Relation R über einer Menge M heißt asymmetrisch genau dann, wenn gilt:
Ea, bPM |aRb ñ bRa
Beispiel 3.4 Untersuchen Sie „<“ und „ď“ auf Symmetrie und Asymmetrie.
(1) „<“
Es gilt:2ă3 ^ 3ć2
Damit ist „<“ nicht symmetrisch.
Gibt es überhaupt ein Paar (x; y) mit:xăy ñ y ăx?
Offenbar nicht, denn aus x < y folgt y > x und somityćx
„<“ ist also eine asymmetrische Relation.
(2) „ď“
Es gilt:1ď2;^2ę1
Damit ist „ď“ nicht symmetrisch.
Verallgemeinert kann man sogar sagen, wenn die Zahlen verschieden sind, ist die Symmetrieeigenschaft nicht erfüllbar.
Weiterhin gilt aber für jede Zahl a:aďa. Jedes geordnete Paar (a; a) erfüllt die Symmetrieeigenschaft.
Damit ist „ď“ auch nicht asymmetrisch. Sie ist antisymmetrisch.
Def 3.6
Eine Relation R über einer Menge M heißt antisymmetrisch genau dann, wenn gilt:
@a, bPM |aRb ^ bRa ñ a“b .
Beispiel 3.5 Sind folgende Relationen antisymmetrisch?
(1) Wir betrachten Ďüber allen Mengen.
Wir erinnern uns. Wir haben sogar definiert:AĎB ^B ĎA ñ A“ B
Ďist also antisymmetrisch.
(2) Die Modulo-Relation nicht antisymmetrisch.
Wir zeigen es mit einem Gegenbeispiel:
Sicher gilt
5”8p3q und auch8”5p3q.
Dennoch ist5‰8
(3) Die Relation „ist Teiler von“ ist antisymmetrisch über der Menge der positiven ganzen Zahlen.
Def 3.7
Eine Relation R über einer Menge M heißt transitivgenau dann, wenn gilt:
@a, b, cPM |aRb ^ bRc ñ aRc .
Beispiel 3.6 Sind folgende Relationen transitiv?
(1) Die Relation „kennt“ sei betrachtet über der Menge M der Schüler einer Schule.
Anton kennt Berta und Berta kennt Claudia. Folgt daraus sicher, dass Anton auch Claudia kennen muss? Sicher muss das im Allgemeinen nicht erfüllt sein.
Also ist die Relation nicht transitiv.
(2) Die Modulo-Relation ist transitiv.
Wir setzen voraus, dass gilt:
a”b pmq und auchb”cpmq.
Dann gilt: a “ k1 ¨m`r ^ b “ k2 ¨m`r ^ c “ k3¨m`r mit k1;k2;k3 PZ
Dann ist aber aucha”cpmq
3.3 Zusammenhänge zwischen den Eigenschaften
In diesem Punkt wollen wir untersuchen, ob und wie die oben definierten Eigenschaften von Rela- tionen miteinander zusammenhängen. Wir formulieren diese Zusammenhänge in einem Satz.
Satz 3.1
Gegeben sei eine Relation R über einer beliebigen Menge M. Dann gilt:
1. Wenn R asymmetrisch ist, dann ist R antireflexiv.
2. Wenn R antireflexiv und transitiv ist, dann ist R asymmetrisch.
3. Wenn R symmetrisch und transitiv ist, dann gilt: @a, b, cPM|aRc ^ bRc ñ aRb Beweis:
1. Wir zeigen es direkt.
R ist asymmetrisch. Also gibt es keine zwei Paare der Form: (a; b) und (b; a), die in R enthalten sind.
Folglich gibt es auch kein Paar (a; a) in R.
Dann aber ist R antireflexiv.
