Es gibt Mengen, die sich nach bestimmten Kriterien ordnen lassen. Das heißt, dass es eine Eigen-schaft gibt, nach der man die Elemente in eine bestimmte Reihenfolge bringen kann. Für diese Mengen kann man Ordnungsrelationen bilden.
Def 3.9
Gegeben sei eine Relation R über einer Menge M.
1. R heißt Ordnungsrelation genau dann, wenn R reflexiv, antisymmetrisch und transitiv ist.
2. R heißt strenge Ordnungsrelation genau dann, wenn R antireflexiv, asymmetrisch und transitiv ist.
Beispiel 3.9 Die Relation < über der Menge M “ t0; 1; 2; 3u (1) Es ist:
0ă1; 0ă2; 0ă3; 1ă2; 1ă3; 2ă3
(2) < ist antireflexiv, denn es gibt kein Element x mit x < x.
(3) < ist transitiv denn:
0ă1^1ă2 ñ 0ă2 0ă1^1ă3 ñ 0ă3 0ă2^2ă3 ñ 0ă3 1ă2^2ă3 ñ 1ă3
(4) < ist asymmetrisch, denn es gibt kein Paar (x; y) mit x < y und y < x.
< ist eine strenge Ordnungsrelation.
Beispiel 3.10 Die Relation |„ist Teiler von“ über der Menge M “ t1; 2; 3; 4; 5; 6u (1) Es ist:
1|1; 1|2; 1|3; 1|4; 1|5; 1|6; 2|2; 2|4; 2|6; 3|3; 3|6; 4|4; 5|5; 6|6 (2) Die Teilerrelation ist reflexiv, denn: 1|1; 2|2; 3|3; 4|4; 5|5; 6|6.
(3) Die Teilerrelation ist antisymmetrisch, denn es gilt genau dann x|y und y|x, wenn x = y.
(4) Die Teilerrelation ist transitiv, denn:
1|2^2|4 ñ 1|4 1|2^2|6 ñ 1|6 1|3^3|6 ñ 1|6
Die Teilerrelation ist also eine Ordnungsrelation.
Bemerkungen:
1. Wichtige Ordnungsrelationen sind: Ď,ď;ě.
2. Wichtige strenge Ordnungrelationen sind Ă;ă;ąoder die echte Teilerbeziehung.
3. Wenn man in einer Ordnungsrelation die Gleichheit von Elementen nicht mehr zulässt, entsteht eine strenge Ordnungrelation
Begründung:
Aus der Relation entfallen alle Paare mit xRx. Damit wird R antireflexiv.
Die Transitivität wird von der Herausnahme aller Elemente (x; x) nicht beeinträchtigt.
Da es nun kein Paar x = y mehr gibt, ist auch die Antisymmetrie nicht mehr erfüllbar.
Es gibt also dann kein Paar (x;y) mehr, für das auch (y;x) in R liegt.
Folglich ist R asymmetrisch.
4. Die Forderung der Asymmetrie in der Definition ist streng genommen unnötig, denn nach Satz 3.1.2 ist R ohnehin asymmetrisch, wenn R antireflexiv und transitiv ist.
5. Ordnungsrelationen kann man in Pfeildiagrammen (Hasse-Diagrammen) veranschaulichen.
Diese Diagramme sind Graphen, deren Knoten die Elemente von M sind und deren Kantenzüge Elemente verbinden, die zueinander in Relation stehen. Sie ähneln Baumdiagrammen.
6. Das lexikographische Ordnen von Worten, also die Relation „steht vor“ in der Menge der Wörter einer Sprache kann man ebenfalls als eine (strenge) Ordnungsrelation auffassen.
Beispiel 3.11 Hasse-Diagramm
Veranschaulichen Sie die Teilerrelation über der Menge M “ t1; 2; 3; 4; 5; 6; 7; 8; 9; 10u
Aufgaben
1. Gegeben sei die MengeM “ t1; 2; 4; 8u. Eine RelationR ĎMˆM sei dadurch definiert, dass zwei Zahlen aus M genau dann in Relation zueinander stehen, wenn beide Zahlen gerade sind.
a) Geben Sie R als Menge geordneter Paare an.
b) Entscheiden und begründen Sie, welche der folgenden Eigenschaften die Relation R be-sitzt: reflexiv, antireflexiv symmetrisch, antisymmetrisch, asymmetrisch, transitiv.
2. Gegeben sei die Menge M –ta, b, c, du. Geben Sie jeweils ein Beispiel für eine Relation über der Menge M an, die...
3. Es sei M die Menge aller derzeit lebenden Menschen. Auf M seien die folgenden Relationen definiert:
A–tpx, yq PMˆM|x ist verwandt mityu B –tpx, yq PMˆM|x magyu
C –tpx, yq PMˆM|x ist mindestens so alt wieyu D–tpx, yq PMˆM|xist mehr als 4 Jahre jünger als yu.
a) Ermitteln Sie die Eigenschaften der Relationen A, B, C und D.
b) Bei welchen der Relationen A, B, C, D handelt es sich um Äquivalenzrelationen? Be-gründen Sie.
c) Bei welchen der Relationen A, B, C, D handelt es sich um Ordnungsrelationen? Begrün-den Sie.
4. Veranschaulichen Sie jeweils die Teilerrelationen über der gegebenen Menge.
a) A–t1; 2; 3; 4; 6; 8;u b) B –t1; 2; 3; 4; 6; 12u
c) C–t1; 4; 9; 16; 25; 36u d) D–t1; 2; 3; 4; 9; 12; 27; 144u 5. Gegeben sei über der Menge der natürlichen Zahlen die Relation R mit:
R“ tpa, bq|a;bPN^ pb´aq “7¨k^kPZu a) Zeigen Sie, dass dann gilt: 23R37; 4R788 und 127R1.
b) Beschreiben Sie die Relation mit anderen Worten.
c) Zeigen Sie, dass R eine Äquivalenzrelation ist und geben Sie die Äquivalenzklassen von R an.
6. Gegeben sei die Menge M –tpx, yq|x;yP t0; 1; 2; 3; 4; 5; 6; 7; 8; 9; 10uu Über M sei die Relation R folgendermaßen definiert.
px1, y1qRpx2, y2q:ôx1¨y1 “x2¨y2
a) Beschreiben Sie M und R verbal.
b) Untersuchen Sie, ob R eine Äquivalenzrelation ist und geben Sie in diesem Falle die Äquivalenzklassen an.
c) Zeigen Sie, dass R keine Ordnungsrelation ist.
7. Gegeben sei die Menge D der Dreiecke ABC mit dem Umfang 18 LE und ganzzahligen Seiten-längen. Ein solches Dreieck ist beispielsweise durch die Menge ta;b;cu “ t5; 6; 7u festgelegt.
Dabei sind a, b und c die Seitenlängen des Dreiecks. Zwei Dreiecke aus D sollen genau dann in Relation zueinander stehen, wenn der größte Winkel des ersten Dreiecks größer als der größte Winkel des zweiten Dreiecks ist. Geben Sie R an und untersuchen Sie, ob es sich um eine Ordnungsrelation handelt.
4.1 Der Abbildungsbegriff
Def 4.1
Gegeben seien zwei Mengen X und Y.
Eine Vorschrift f, nach der jedem Element x der Menge X genau ein Element y der Menge Y zugeordnet wird, heißt Abbildung von X in Y.
Die Elemente von X heißen Urbilder von f, X heißt Definitionsbereich von f.
Die Elemente von Y, für die es ein x mit y = f(x) gibt, heißen Bilder von f, Y heißt Bildbereich von f.
Bemerkungen:
1. Schreibweisen für eine Abbildung:
• Als Funktionsgleichung y = f(x) mit Angabe von X und Y. f :X ÑY :y“fpxq
• Verbale Beschreibung der Abbildung.
• Als Graph im Koordinatensystem (meist unvollständig).
• Als Menge von geordneten Paaren, z.B. tabellarisch (meist unvollständig)
2. Abbildungen ordnen Elementen einer Menge Elemente einer weiteren Menge zu. Damit lassen sie sie als Menge geordneter Paare beschreiben und sind somit auch Teilmenge der Produkt-menge XˆY. Damit ist jede Abbildung auch eine Relation.
3. Die RelationRf ĎXˆY, die eine Abbildung f beschreibt, hat die besondere Eigenschaft, dass sie für jedes x PX genau ein Paar px;yq enthalten muss. Dieselbe Zahl y PY darf dagegen auch mehrfach vorkommen.
4. Der Bildbereich wird in der Schulmathematik meist als Wertebereich bezeichnet.
Beispiel 4.1 Jeder Zahl der Menge X“ t´3;´2;´1; 0; 1; 2u wird ihr Quadrat zugeordnet.
Es seiY “ t0; 1; 2; 3; 4; 5; 6; 7; 8; 9u
(1) Die Paare der Abbildung sind:p´3; 9q,p´2; 4q,p´1; 1q,p0; 0q,p1; 1q,p2; 4q (2) Wir könnten schreiben:f :XÑY|xÑx2
Def 4.2
Seif :X ÑY eine Abbildung. Wir bezeichnen mit Bild(f )die Menge aller y, die tatsächlich Bild von einem Element x sind.
Bildpfq “ tyPY|DxPX:y“fpxqu Betrachten wir nun eine besonders einfache Abbildung:
Def 4.3
Sei X eine beliebige Menge. Dann heißt die Abbildung idx “ idpxq identische Abbildung bzw.
Identität auf X genau dann wenn gilt: @xPX|idpxq “x Bemerkungen
1. Die identische Abbildung bildet also jedes Element der Menge X auf sich selbst ab.
2. Als Relation aufgefasst ist die identische Abbildung genau die Menge aller geordneten Paare px;xqmit x PX. Damit erfüllt die identische Abbildung die Eigenschaften einer Äquivalenz-relation. Allerdings gibt es dann in jeder Äquivalenzklasse immer nur ein einziges Paar.
3. Die aus dem Schulunterricht bekannte lineare Funktion y = f(x) ist die identische Abbildung auf R.