Hans Walser, [20201209]
F a l s c h e s D o d e k a e d e r Anregung: Walter Arn, Flawil 1 Worum geht es?
Approximationsmodelle für das reguläre Dodekaeder 2 Standardbeispiel
Die Abbildung 1 zeigt ein Kantenmodell eines regulären Dodekaeders.
Abb. 1: Dodekaeder
Die Abbildung 2 zeigt ein Modell, das wie ein Dodekaeder aussieht.
Abb. 21: Dodekaeder?
Das Modell der Abbildung 2 ist aus einem Baukasten für Chemie-Studierende gebaut.
Die Knotenelemente (Abb. 3a) haben eine Tetraedersymmetrie mit vier Andockbolzen, um welche Röhrchen als Verbindungsstücke aufgesteckt werden können (Abb. 3b).
Abb. 3: Eckverbindungen
Die Endpunkte der vier gleich langen Röhrchen bilden ein reguläres Tetraeder. Das heißt aber, dass zwei Röhrchen paarweise einen Winkel von arccos
( )
−13 ≈109.47° ein- schließen. Dies ist der berühmte kristallografische Winkel. Er ist auch der stumpfe Schnittwinkel zweier Raumdiagonalen im Würfel. Weiter ist er der Diederwinkel (Flä- chenwinkel) im regulären Oktaeder. Er kommt also bei den drei platonischen Körpern Tetraeder, Würfel und Oktaeder vor, nicht aber beim regulären Dodekaeder oder Ikosa- eder. Daher zeigt die Abbildung 2 eine „Fälschung“.Die Seitenflächen des regulären Dodekaeders sind reguläre Fünfecke. Diese haben In- nenwinkel von 108°. Der Fehler beträgt also etwa anderthalb Grad. Dieser Fehler wird durch die Elastizität des Materials aufgefangen. Von Auge ist er nicht wahrnehmbar.
Alle folgenden Modelle weisen im Prinzip denselben Fehler auf.
Bemerkung: der kristallografische Winkel ist auch der stumpfe Schnittwinkel der Dia- gonalen in einem Rechteck im DIN-Format, also zum Beispiel bei einem DIN A4 Pa- pier (Abb. 4, Walser 2013).
a) b)
Abb. 4: Kristallografischer W inkel
3 Abgestumpfte Tetraeder
Die Abbildung 5 zeigt eine Dodekaeder-Approximation aus abgestumpften Tetraedern.
Das Modell wurde von Rahel Baumann, Flawil, gebaut. Jede Ecke des Dodekaeders besteht aus einem abgestumpften Tetraeder.
Abb. 5: Dodekaeder-Approxim ation (Foto W alter Arn) DIN A4
ca. 109.47°
Die Abbildungen 6 und 7 zeigen die Herstellung eines abgestumpften Tetraeders. An den Ecken des Tetraeders werden kleine Tetraeder abgeschnitten, deren Kantenlänge ein Drittel der Kantenlänge des Starttetraeders beträgt.
Abb. 6: Tetraeder im W ürfel
Durch das Abschneiden entsteht ein Körper, dessen Oberfläche aus vier regulären Drei- ecken und aus vier regulären Sechsecken besteht.
Abb. 7: Abgestum pftes Tetraeder
Im Modell der Abbildung 5 sind die abgestumpften Tetraeder an den Dreiecksflächen verklebt worden. Die (ausgedehnten) Ebenen dieser Dreiecke schneiden sich unter dem kristallografischen Winkel.
a) b)
a) b)
Für den Bau eines abgestumpften Tetraeders braucht es zunächst vier gleichseitige Dreiecke aus Papier (Abb. 8a). Die äußeren Drittel-Ecken werden dann nach hinten gebogen. Je drei kleine Dreiecke von drei Bauteilen werden verklebt. An den blauen Sechseckkanten hat das Modell des abgestumpften Tetraeders einen Schlitz. Dies ist in der Abbildung 5 gut sichtbar.
Abb. 8: Bauteil
a) b)
4 Abgestumpfte Würfel
Die Abbildung 9 zeigt eine Dodekaeder-Approximation aus abgestumpften Würfeln.
Abb. 9: Dodekaeder-Approxim ation
Die Abbildung 10 zeigt die Konstruktion der abgestumpften Würfel. Der Würfel wird an drei Ecken abgestumpft, welche je zwei Kantenlängen voneinander entfernt sind. Die Ecken wurden bis zur Kantenmitte abgestumpft. Man hätte aber auch mehr oder weni- ger abstumpfen können. In der Abbildung 10a sehen wir drei von der Mitte ausgehende Halbdiagonalen, welche den kristallografischen Winkel einschließen.
Zwei benachbarte Bauteile werden an den Dreiecksflächen verklebt.
Abb. 10: Abgestum pfter W ürfel
Statt Ecken abstumpfen, können wir auch Ecken eindrücken (Abb. 11).
Abb. 11: Eingedrückte Ecke
Allerdings müssen dann an den einzelnen Würfelchen unterschiedlich viele Ecken ein- gedrückt werden. Die Symmetrie ist ein bisschen im Eimer.
a) b)
a) b)
Die Abbildung 12 zeigt ein Dreistreifen-Flechtmodell eines Würfels mit einer einge- drückten Ecke.
Abb. 12: Eingedrückte Ecke
Die Abbildung 13 zeigt das Schnitt- und Faltmuster der drei Streifen.
Abb. 13: Schnitt- und Faltm uster
L i t e r a t u r
Walser, Hans (2013): DIN A4 in Raum und Zeit. Silbernes Rechteck – Goldenes Trapez – DIN-Quader. Leipzig: EAGLE, Edition am Gutenbergplatz. ISBN 978-3- 937219-69-1.
W e b s i t e
Hans Walser: Würfel mit eingedrückten Ecken http://www.walser-h-
m.ch/hans/Miniaturen/W/Wuerfel_eing_Ecken/Wuerfel_eing_Ecken.pdf
![Hans Walser, [20190808] 3d-Kreuz 1 Worum geht es? Die Abbildung 1 zeigt ein 3d-Kreuz. Dieses ist aus sieben Würfeln zusammengesetzt.](data:image/gif;base64,R0lGODlhAQABAIAAAP///wAAACH5BAEAAAAALAAAAAABAAEAAAICRAEAOw==)