Hans Walser, [20200123] Dodekagramm und Triakontagramme Anregung: K. H., Gö. 1 Worum geht es? Räumliche Analoga zum Hexagramm. 2 Das Hexagramm Die Abbildung 1 zeigt das Hexagramm (Davidstern).

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Hans Walser, [20200123]

D o d e k a g r a m m u n d T r i a k o n t a g r a m m e Anregung: K. H., Gö.

1 Worum geht es?

Räumliche Analoga zum Hexagramm.

2 Das Hexagramm

Die Abbildung 1 zeigt das Hexagramm (Davidstern).

Abb. 1: Hexagram m

Das Hexagramm kann mit Hilfe eines Hexagons (regelmäßiges Sechseck) konstruiert werden, indem die sechs Kantenmitten zu zwei gleichseitigen Dreiecken verbunden werden (Abb. 2).

Abb. 2: Konstruktion

Dass wir mit den Kantenmitten statt mit den Eckpunkten des Hexagons arbeiten, hat mit den folgenden Verallgemeinerungen zu tun.

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Das Hexagramm erscheint auch auf dem Grabmal des Mathematikers Carl Friedrich Gauß (1777-1855) (oben Mitte in Abb. 3). Das Grabmal findet sich im Albani-Friedhof in Göttingen.

Abb. 3: Grabm al von Gauß (Foto K. H., Gö)

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3 Das Dodekagramm

In einem Würfel wählen wir drei paarweise windschiefe Kanten und verbinden deren Mittelpunkte zu einem Dreieck (Abb. 4). Ausgehend von einer bestimmten Kantenmitte gibt es zwei spiegelbildliche Lösungen.

Abb. 4: Dreieck im W ürfel Im Folgenden wird mit der Version der Abbildung 4a gearbeitet.

Zu einem einmal gewählten Dreieck gibt es drei weitere Dreiecke, da wir beim Würfel insgesamt zwölf Kanten haben.

a) b)

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Die Abbildung 5 zeigt das entstehende Dodekagramm, nun ohne den Würfel. Es hat zwölf Spitzen.

Abb. 5: Dodekagram m Die vier Dreiecke sind ineinander verkettet.

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Die Abbildung 6 zeigt eine spezielle Sicht. Das rote Dreieck erscheint unverzerrt.

Abb. 6: Spezielle Sicht

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Die Abbildung 7 zeigt eine weitere spezielle Sicht. Es sind alle vier Dreiecke gleicher- maßen verzerrt.

Abb. 7: Eine weitere spezielle Sicht

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Die Abbildung 8 und 9 zeigen Kantenmodelle des Dodekagramms.

Abb. 8: Kantenm odell

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Abb. 9: Dickes Kantenm odell

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4 Triakontagramme

Nun versuchen wir dasselbe Spielchen mit dem Ikosaeder anstelle des Würfels.

In der Abbildung 10 wurden fünf paarweise windschiefe Kanten des Ikosaeders ausge- wählt. Jede weitere Ikosaederkante liegt in einer Ebene mit einer der ausgewählten Kan- te. Die Mitten der ausgewählten Kanten sind die Ecken eines regelmäßigen Pentagons (Abb. 10).

Abb. 10: Pentagon im Ikosaeder

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Wir können insgesamt sechs solcher Pentagone einzeichnen (Abb. 11).

Abb. 11: Sechs Pentagone im Ikosaeder

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Diese Pentagone haben insgesamt 30 Ecken, bilden also ein Triakontagramm (Abb. 12).

Abb. 12: Triakontagram m

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Nun können wir aber ins Ikosaeder anstelle des Pentagons der Abbildung 10 auch ein Pentagramm einzeichnen (Abb. 13).

Abb. 13: Pentagram m im Ikosaeder

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Auch dazu gibt es weitere fünf Möglichkeiten (Abb. 14).

Abb. 14: Sechs Pentagram m e

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Die sechs Pentagramme haben insgesamt 30 Ecken. Wir haben wiederum ein Triakon- tagramm (Abb. 15).

Abb. 15: Triakontagram m