Der starre Körper
Der Abschlag eines Golfballs. Der Ball kann näherungsweise durch einen idealen……….
beschreiben werden. Der Schläger verhält sich wie ein ………
und der Mensch müsste aufwendig als ……… Körper modelliert werden.
1. Der starre Körper
Bis jetzt haben wir vereinfachend so getan, als ob man ausgedehnte Körper durch einen Massenpunkt darstellen kann (z.B. Kräftediagramme). Wir konnten dadurch die Bewegung von Körpern beschreiben (………), Kräfte an ruhenden Körpern berechnen (………..) und die Beschleunigung von Körpern ermitteln (………..).
Aber ein realer ausgedehnter Körper kann nicht nur beschleunigen, er kann sich auch um eine Drehachse drehen. Wir wollen nun schrittweise die theoretischen Grundlagen entwickeln, um auch die Bewegungen von ausgedehnten Körpern (zumindest) besser zu verstehen. Hier machen wir zum Anfang jedoch eine vereinfachende Grundannahme: Bei allen von uns betrachteten Körper soll es sich um starre Körper handeln. Nun, was ist ein starrer Körper?
Unter einem starren Körper versteht man ein Gebilde, dessen Ausdehnung und Gestalt nicht verändert werden kann.
Wir können uns den starren Körper aus mikroskopischen Teilchen (Massenpunkten) aufgebaut denken. Wenn wir nun unsere Kenntnisse der Mechanik über die Massenpunkte anwenden, dann können wir damit die Gesetze der Bewegung des starren Körpers herleiten.
Aufgabe 1: Gib Beispiele für Bewegungen, die gut mit Hilfe des Modells a) des Massenpunkts
b) des starren Körpers c) des realen Körpers
beschrieben werden können an.
2. Das Drehmoment
Die Statik beschäftigt sich mit den starren Körpern im Zustand der Ruhe und fragt nach den Bedingungen, unter welchen die angreifenden Kräfte im Gleichgewicht stehen.
Zwei Beispiele
Ein einfacher Hebel
Ein Hebel besteht aus zwei Armen und einem Drehpunkt.
Bewegt sich der linke Arm um die Strecke h1, so muss sich der rechte Arm um die Strecke h2 bewegen. Wegen der Strahlensätze gilt:
Die Arbeit, die am linken Arm verrichtet wird, muss wegen der Energieerhaltung gleich der Arbeit am rechten Arm sein. Es gilt also:
Und wir finden:
Für einen Hebel gilt (Hebelgesetz): F r1⋅ = ⋅1 F r2 2
Kraft mal Kraftarm = Last mal Lastarm
Je länger der Kraftarm, desto ... die Kraft am Lastarm.
Das Wellrad
Ein Wellrad ist eine einfache mechanische Maschine. Es gehört zu den Kraftwandlern. Wellräder bestehen aus einer Welle und einem darauf befestigten Rad. Mit einem
Wellrad lassen sich an Zugelementen schwere Lasten hochheben. Wellräder treten in vielerlei Gestalt auf. So kann eine Kurbel, aber auch ein Hebel als Teil eines Wellrades angesehen werden.
Ein Wellrad besteht aus einer Walze (Radius r1), an der ein grosses Rad (Radius r2) befestigt ist. Um die Walze ist ein Seil gewickelt, an dem eine Last mit dem Gewicht F1 hängt.
Welche Kraft F2 muss am grossen Rad längs des Umfanges angreifen, um das Wellrad im Gleichgewicht zu halten?
Wir drehen in Gedanken das Wellrad langsam einmal herum. Die Arbeit W1, die wir am Wellrad verrichten W1 =
ist nach dem Energiesatz gleich gross wie die Arbeit, die das Wellrad an der Last verrichtet:
W2 =
Und es gilt daher:
Auch für das Wellrad gilt das Hebelgesetz: F r1⋅ = ⋅1 F r2 2
Kraft mal Kraftarm = Last mal Lastarm
Je länger der Kraftarm, desto ... die Kraft am Lastarm.
Kraftwandler
Kraftwandler sind einfache Geräte, mit denen ein oder mehrere Bestimmungs-stück(e) einer Kraft verändert werden. Bestimmungsstücke einer Kraft sind ………,
……… und ……… .
Ein Seil
Ein einfaches Seil ändert den
………
einer Kraft
Ein gleicharmiger Hebel
Ein gleicharmiger Hebel ändert die
……….., nicht jedoch
……….. einer Kraft
Ein Seil und feste Rolle
Ein Seil und eine fest Rolle ändert die ………..
und ……… nicht jedoch
……….. einer Kraft
Ein Flaschenzug
Ein Flaschenzug ändert die ………..,
……….. und den
……….. einer Kraft
Aufgabe 2: Geben Sie drei konkrete Beispiele für zweiseitige
Aufgabe 3: Oh weh! Schon wieder krumm eingeschlagen! In solchen Fällen lassen sich krumme Nägel mit einem speziell konstruierten Hammer leicht wieder herausziehen. Zeichnen Sie zuerst die Drehachse und die Kraftarme in die Abbildung ein (die wichtigen Kräfte sind ohne Berücksichtigung ihres Betrags bereits eingezeichnet), und erklären Sie die Funktionsweise des Hammers als Nagelzieher.
Aufgabe 4: Haben Sie schon einmal einen Papierlocher genauer unter die Lupe genommen? Versuchen Sie folgende Frage zu beantworten: Weshalb befinden sich wohl die Stifte, die sich ins Papier bohren so nahe an der Drehachse?
Aufgabe 5: Erklären Sie, weshalb Sie dickeren Halbkarton nicht mit der Scherenspitze schneiden können. Wenn der Schnitt aber mit weit geöffneter Schere näher bei der Drehachse der Schere erfolgt, gelingt er Ihnen mühelos. Fertigen Sie eine Skizze der Schere an, und zeichnen Sie sowohl die
Drehachse, die Kräfte als auch die Kraftarme ein.
Aufgabe 6: Susan ist 120 kg schwer und sitzt auf einer Wippe.
Der Arm auf dem sie sitzt ist 1.50 Meter lang. Ihre Schwester Monika (m = 45 kg) sitz auf der anderen Seite. Wie
lang muss dieser Arm sein, damit sich die Wippe sich im Gleichgewicht befindet?
Aufgabe 7: Eine Schubkarre (siehe Abbildung) ist mit einer Last von 85 kg (ca. 850 N) beladen. Berechnen Sie die Kraft F, mit welcher sie gehalten werden muss.
Aufgabe 8: Louis trägt seine Skier wie abgebildet. Die Hand ist 25 cm von der Schulter entfernt. Der Schwerpunkt der Ski ist 45 cm von der Schulter entfernt. Auf ihn wirkt eine Kraft von 60 N.
a) Welche Kraft muss die Hand auf die Ski- enden ausüben?
b) Wie stark ist die Schulter belastet?
Aufgabe 9: Die neue Wippe auf dem Kinderspielplatz wurde von einem unerfahrenen Lehrling montiert. Die Drehachse geht nicht durch die Mitte des Balkens, sondern liegt 20 cm daneben.
Der Balken mit gleichmässigem Querschnitt ist 5.0 m lang und hat eine Masse von 40 kg.
Susanne mit ihren 25 kg sitzt am Ende des Balkens auf der längeren Seite. Welche Masse muss ein Kind haben, das am anderen Ende sitzt, damit die Wippe im Gleichgewicht ist?
Aufgabe 10: Zwei Arbeiter tragen auf ihren Schultern einen 12 m langen und 600 N schweren Balken. Der eine trägt 2.0 m, der andere 1.0 m vom jeweiligen Ende des Balkens entfernt.
Welche Last trägt jeder?
Aufgabe 11: Aron (50 kg) steht auf einem Sprungbrett 20 cm vom vorderen Rand entfernt. Das Sprungbrett ist 3.0 m lang und hat eine Masse von 30 kg. Der Ab- stand AB beträgt 100 cm. Geben Sie die Beträge der Kräfte an, die an den beiden Punkten A und B wirken.
Das Drehmoment
Ein Hebel ist ein um eine feste Achse drehbarer starrer Körper. Er ändert im allgemeinen Angriffspunkt, Betrag und Richtung einer Kraft.
Die Drehwirkung einer Kraft hängt nicht nur vom Betrag der Kraft, sondern auch vom
……… r der Wirkungslinie von der ⊥ Drehachse. Dem Produkt aus ………
und dem ……… heisst Drehmoment M Es gilt ……… und vektoriell: ………
Einheit [M] = ………
Nur im Spezialfall ist der Abstand r der Wirkungslinie gleich dem Abstand r des Wirkungspunkt P ⊥ von der Drehachse D.
Das Drehmoment M
zeigt in Richtung der ……… Der Drehsinn ist durch die Rechte-Hand-Regel festgelegt: Daumen: ………., Zeigfinger: ………
Mittelfinger: Richtung des ……… Es gibt links- und rechtsdrehende Drehmomente. Sie werden durch das Vorzeichen (+/–) unterscheiden.
A B
3. Statik des starren Körper
Das Gleichgewicht
Aus der Statik von Kräften (vgl. Dynamik und Statik) wissen wir:
Ist die Summe aller Kräfte F an einem Körper gleich ……… ( F
= ……), so ist er im Gleichgewicht gegenüber Translation, d.h. der Körper erfährt keine Beschleunigung und behält seien Geschwindigkeit nach ……… und ……… bei.
Ist die Summe aller Drehmomente an einem starren Körper gleich ……… ( M
= ……), so ist er im Gleichgewicht gegenüber Rotation, d.h. der Körper erfährt keine
Winkelbeschleunigung und behält seine Winkelgeschwindigkeit nach ……… und
……… bei, d.h. er ändert die Richtung der Drehachse nicht.
Flugzeug im Gleichgewicht Wellrad im Gleichgewicht
Gleichgewicht herrscht für =
F 0 Gleichgewicht herrscht für = M 0
Aufgabe 12: Wie viele zusätzliche Gewichtssteine sind bei X anzuhängen, damit der Hebel im Gleichgewicht ist?
Aufgabe 13: Im Keller eines Bauernhauses werden an einer Stange, die als massenlos anzunehmen ist, Wurstwaren mittels Haken und Schnur aufgehängt. Dadurch bleiben die Würste von den Mäusen verschont. An welcher Stelle S muss die Stange an einer Schnur befestigt werden, damit sie in der horizontalen Lage bleibt?
Der Massemittelpunkt
Wird ein Körper im Schwerpunkt unterstützt, so befindet er sich gegenüber der durch die ………
verursachten Drehmomente im ………, d.h. links- und rechtsdrehende Drehmomente heben sich auf.
Wir betrachten eine inhomogene Stange mit konstantem Querschnitt. Die Stange hat die Masse m. An welcher Stelle xS
muss man die Stange unterstützen, damit sie im Gravitationsfeld der Erde im Gleichgewicht ist?
Dazu stellen wir uns vor, dass die Stange aus n mikroskopisch dünnen Abschnitten mit den Massen Δm1, Δm2 … Δmn zusammengesetzt ist. Die Gewichtskraft jeder dieser Abschnitte verursacht ein Drehmoment M1, M2, … Mn.
Mi=
Im Gleichgewicht gilt:
Mit der Masse m der Stange n i
i 1
m Δm
=
=
å
Im homogenen Gravitationsfeld liegt der Schwerpunkt eines Körper in seinem Massenmittelpunkt:
xS = ……… Stange bzw. rS = ……… beliebiger Körper, wobei n sehr gross gewählt werden muss (n → ∞, d.h. Δm → 0).
Schwerpunkte ausgewählter Körper
Homogene Stange Homogene Kugel
Homogene Kreisscheibe Homogener Torus
Homogenes Rechteck Der Mensch beim Hochsprung
Homogenes Dreieck Zwei Kugeln (Erde/Mond, Sonne/Erde)
Bei homogenen Körper (besteht er also aus einem Material, das überall die gleiche Dichte hat), fällt der Massenmittelpunkt mit dem geometrischen Volumenmittelpunkt zusammen.
Satz: Der Schwerpunkt S eines homogenen Dreiecks liegt im Schnittpunkt der Mittelhalbierenden.
Beweis:
Typen von Gleichgewichtslagen
Nach dem Mass ihrer Stabilität werden drei Typen von Gleichgewichten unterschieden:
Stabiles Gleichgewicht: Bei einer kleinen Auslenkung kehrt der Körper wieder in die vorige Lage zurück.
Labiles Gleichgewicht: Der Körper befindet sich momentan im Gleichgewicht, wird bei einer kleinen Auslenkung aber weiter von dieser Lage wegstreben.
Indifferentes Gleichgewicht: Der Körper nimmt nach einer kleinen Auslenkung eine neue Gleichgewichtslage ein. Das Potential ändert sich nicht.
Aufgabe 14: Bei welcher Situation handelt es sich um eine stabiles, labiles bzw. um ein indifferentes Gleichgewicht.
a. Kugeln auf Flächen
b. Stange an einem Drehpunkt
Experimentelle Bestimmung des Schwerpunkts
Hängt man einen Körper an einem beliebigen Punkt auf, so liegt (in Ruhe) der Massenmittelpunkt auf der lotrechten Linie (= „Schwerlinie“) durch den Aufhängepunkt. Wiederholt man dies mit einem anderen Aufhängepunkt, so findet man den Massenmittelpunkt als Schnittpunkt zweier solcher Schwerlinien.
Aufgaben zum Massemittelpunkt
Aufgabe 15: In der Fahrprüfung steht folgende Frage: Wirken sich auf dem Dach mitgeführte Lasten negativ auf das Fahrverhalten aus?
Ja, der höhere Schwerpunkt wirkt sich insbesondere in Kurven negativ aus.
Ja, aber nur, wenn das Gewicht nicht gleichmässig verteilt ist.
Nein, das höhere Fahrzeuggewicht wirkt sich positiv auf das Fahrverhalten aus.
Aufgabe 16: Der Stab AF von konstantem Querschnitt ist starr.
Er ist aus fünf homogenen gleich langen Stücken l = 20 cm mit den verschiedenen Massen m1 bis m5 zusammengesetzt.
m1 = 20 g, m2 = 30 g, m3 = 20 g, m4 = 40 g und m5 = 10 g.
Berechne die Position des Schwerpunkt xS (x = 0 liegt beim Punkt A)!
Aufgabe 17: Nehme einen Besen und lege den Besenstiel waagrecht auf die beiden Zeigefinger bei vorgestreckten Armen (siehe Abbildung).
Es spielt keine Rolle, an welcher Stelle du zu Beginn die Zeigefinger hinhältst, wichtig ist nur, dass der Besen auf deinen Zeigefingern liegen bleibt, ohne dass du ihn speziell halten musst. Bewege nun deine Zeigefinger langsam gegeneinander, bis sie zusammentreffen.
Du darfst dabei sogar die Augen schliessen. Falls du die Bewegung nicht zu ruckartig tust, bleibt der Besenstiel immer im Gleichgewicht.
Erkläre die Bewegung, die der Besen macht.
Aufgabe 18: Dieser Turm kann dank seiner Scherenkonstruktion schräge gestellt werden. Bis wie weit kann er geneigt werden bis der Turm umfällt? Fülle die Lücken aus.
Ein Körper steht stabil solang der Schwerpunkt
………
………
4. Kinematik des starren Körpers
Im Gegensatz zum Massenpunkt führt ein starrer Körper führt im Allgemeinen zwei Bewegungen aus: eine ……… (………) und eine
……… (………).
Eine Translationsbewegung liegt vor, wenn der starre Körper bei der Bewegung seine
räumliche Orientierung relativ zu einem Inertialsystem beibehält. Eine Rotationsbewegung liegt vor, wenn sich der starre Körper um einen festen Punkt relativ zu einem Inertialsystem dreht.
Translationsbewegung
Ort, Geschwindigkeit & Beschleunigung
Die Translationsposition eines Körpers wird durch seine Ortskoordinate s gemessen in
……… angegeben.
Die Geschwindigkeit v gibt an, welche ……… Δs ein Körper während der ……… Δt zurücklegt: …… = ……… [……] = ………….
Die Beschleunigung a gibt die Änderung der ……… Δv während der Dauer Δt
an: …… = ……… [……] = ………….
Bewegungsgesetze
Es gelten die folgenden Bewegungsgesetze:
Gleichförmige Translationsbewegung:
a = v = s =
Gleichmässig beschleunigte Translationsbewegung:
a = v = s =
Bemerkungen: Eigentlich handelt es sich bei den Grössen Ort, Geschwindigkeit und
Beschleunigung um Vektoren. Es können zwei grundsätzliche Fälle unterschieden werden:
a v
(kollinear): Es ändert sich nur der ……… nicht jedoch die
……… der Geschwindigkeit – der Körper beschleunigt oder bremst.
a v
^ (senkrecht): Es ändert sich nur die ……… nicht jedoch der ………
der Geschwindigkeit – der Körper beschreibt eine Kreisbewegung.
Rotationsbewegung
Winkel, Winkelgeschwindigkeit & Winkelbeschleunigung
Die Rotationslage eines starren Körpers wird durch seinen Drehwinkel (Winkelkoordinate ϕ) gemessen in ………
Die Winkelgeschwindigkeit ω misst welchen ……… Δϕ ein Punkt des starren Körpers während der Zeitdauer ……
überstreicht: …… = ……… [……] = ………….
Die Winkelgeschwindigkeit ω
wird als Vektor definiert.
Der Vektor zeigt längs der Drehachse in Richtung des Daumens der ……… Hand (Rechte-Faust-Regel).
Die Winkelbeschleunigung
α bezeichnet die ……… Änderung der
……… Δω. Es gilt: α =
mit
[ ]
α =Auch bei der Winkelbeschleunigung handelt es sich um einen Vektor.
Es können zwei grundsätzliche Fälle unterschieden werden:
α ω
(kollinear): Es ändert sich nur der ……… nicht jedoch die
……… der Winkelgeschwindigkeit – der Körper beschleunigt oder bremst.
α ω ^
(senkrecht): Es ändert sich nur die ……… nicht jedoch der ………
der Winkelgeschwindigkeit – der Körper ändert die räumliche Lage der Drehachse.
Bewegungsgesetze
Für die Rotation gelten dieselben Bewegungsgesetze wie für die Translation:
Gleichförmige Rotationsbewegung:
α = ω = ϕ =
Aufgabe 19: Berechnen Sie die Winkelgeschwindigkeit a) einer Schallplatte bei 78 Umdrehungen pro Minute.
b) der Räder (Durchmesser 28 Zoll) eines Fahrrades mit einer Geschwindigkeit von 36 km/h.
c) des grossen Zeigers einer Analog-Uhr.
Aufgabe 20: Berechnen Sie, nach wie viel Minuten nach 4 Uhr der Minutenzeiger den Stundenzeiger zum ersten Mal einholt.
Aufgabe 21: Eine CD, die in das Abspielgerät eingelegt wird, wird in 5.5 s auf 500 U/min beschleunigt.
a) Berechnen Sie die Winkelbeschleunigung unter der Annahme, dass sie konstant ist.
b) Berechnen Sie, wie viele Umdrehungen die CD in diesen 5.5 s vollführt.
c) Berechnen Sie die Strecke, welche ein Punkt auf dem Rand (6 cm vom Mittelpunkt entfernt) in diesen 5.5 s zurücklegt.
Aufgabe 22: Eine Turbine erreicht bei gleichmässiger Beschleunigung zwei Minuten nach dem Anlaufen eine Drehzahl von 8'000 Umdrehungen pro Minute.
a) Berechnen Sie die Winkelgeschwindigkeit der Turbine nach diesen zwei Minuten.
b) Berechnen Sie die Winkelbeschleunigung der Turbine während der Anlaufzeit.
Aufgabe 23: Ein Elektromotor führt innerhalb der ersten 10 s nach dem Starten 280 Umdrehungen aus, wobei die Drehbewegung während der ersten 5 s gleichmässig beschleunigt und nachher gleichförmig ist. Berechnen Sie die Drehzahl des Motors nach den ersten 10 s.
Analogien zwischen Translation und Rotation
Translation Rotation
Wegkoordinate s Geschwindigkeit v Beschleunigung a
Kraft F Masse m Impuls p
Energie Ekin
s
0
s
ϕ5. Dynamik des starren Körpers
Bewegungsgleichung für die Translation
Ein starrer Körper besteht aus vielen Massenpunkten Δm1, Δm2, … Δmn. Auf jeden dieser Massenpunkte wirken äussere und innere Kräfte. Die äusseren Kräfte Fi werden von Umgebung auf den Körper ausgeübt. Die inneren Kräfte fi üben die Massenpunkte des Körpers untereinander aus – sie bewirken den Zusammenhalt des Körpers.
Die Bewegungsgleichungen der Massenpunkte lauten
i i
Δm a⋅ =
Durch Addition finden wir: n i i
i 1
F f
=
å
= + Wobei
n i
i 1
F
=
å
=Es gilt also: n i i s
i 1
m a m a
=
⋅ = = ⋅
å
Für die Masse m des Körpers gilt:
n
i 1
m
=
=
å
Und wir finden für die Beschleunigung des Körpers aS:
n n
i i i 2i
i 1 i 1
n n
i i
i 1 i 1
m a m r
t
m m
Δ Δ
= =
= =
⋅ ⋅
= =
å å
å å
Der Massenmittelpunkt eines Körpers bewegt sich, so als wäre in ihm die gesamte Masse vereinigt und als würde an ihm die resultierende Kraft angreifen: F m a= ⋅S
.
Bei der Herleitung wurde die Starrheit des Körpers nicht verwendet. Der Satz gilt also allgemein.
n i i 1
f
=
å
=Bewegungsgleichung für die Rotationsbewegung
Das Trägheitsmoment
Berechnen wir die Rotationsenergie eines starren Körpers, der sich mit konstanter Winkelgeschwindigkeit ω um eine Achse
drehen.
Wir denken uns den Körper aus den Massen- punkten Δm1 bis Δmn aufgebaut. Die Rotations- energie der Scheibe ist dann nichts anders als die Summe der kinetischen Energien der einzelnen Massenpunkte.
Der Massenpunkt mi dreht sich auf einem Kreis mit Radius ri und Tangentialgeschwindigkeit vi. Es gilt:
vi =
Und für die kinetische Energie Ekin,i =
Für die Rotationsenergie Erot des Körpers müssen alle kinetischen Energien summiert werden:
Erot = mit J =
Das Trägheitsmoment J eines starren Körpers ist definiert als
J = ……… [J] = …………
wobei n sehr gross gewählt werden muss (n → ∞).
Die Rotationsenergie Erot eines starren Körpers ist
Erot = ………
Bemerkungen: Das Trägheitsmoment entspricht bei der Rotation, der Masse bei der Translation.
Das Trägheitsmoment hängt von der Massenverteilung in Bezug auf die Drehachse ab.
Je weiter ein Massenelement von der Drehachse entfernt ist, desto mehr trägt es zum Trägheitsmoment bei; der Abstand geht quadratisch ein.
Als physikalische Grösse kommt das Trägheitsmoment erstmals 1740 im Werk Theoria motus corporum solidorum seu rigidorum von Leonhard Euler vor.
Bewegungsgleichung
Eine Kraft F wirkt im Abstand r von der Drehachse auf eine Scheibe. Sie beschleunigt die Scheibe aus dem Stillstand und verrichtet dabei Arbeit W an der Scheibe.
W =
Für den Weg s gilt s =
und somit für die Arbeit
W =
Wegen der Energieerhaltung muss diese Arbeit gleich der Rotationsenergie Erot sein:
W = Erot
Und wir finden: M =
Dynamische Gleichung der Rotation: Ein starrer Körper mit dem Trägheitsmoment J erfährt durch das Gesamtdrehmoment M eine Winkelbeschleunigung α: M = ⋅J α
Bemerkungen: Diese Gleichung entspricht der Bewegungsgleichung F m a= ⋅
bei der Translation.
Das Trägheitsmoment drückt aus, wie viel Widerstand der Körper einer Winkelbeschleunigung entgegensetzt. Während also die Masse den Widerstand des Körpers gegen Beschleunigungen ausdrückt, drückt das Trägheitsmoment den Widerstand gegen Winkelbeschleunigungen.
Mithilfe der beiden Bewegungsgleichungen F m a= ⋅
und M = ⋅J α
kann die Bewegung eines beliebigen starren Körpers unter Einwirkung eines Drehmoment und einer Kraft berechnet werde. Die Sache wird jedoch schnelle sehr kompliziert (z.B. wenn die Achse nicht fest ist).
Das Trägheitsmoment ist viel komplizierter als die Masse. Das Trägheitsmoment hängt davon ab, wo sich die Drehachse befindet und kann sich während der Bewegung verändern. Deshalb sind Rotationsbewegungen viel komplexer und vielfältiger als Translationen!
Berechnung des Trägheitsmoments
Das Trägheitsmoment J eines starren Körpers ist definiert als n i2Δ i i 1
J r m
=
=
å
mit Δmi einMassenelement mit dem Abstand ri von der Drehachse. Die Anzahl n muss sehr gross gewählt werden (n → ∞). Um solche Summen auswerten zu können, müssten wir integrieren können.
Hauptträgheitsmomente einfacher homogener Körper
Punktmasse
Eine Punktmasse im Abstand r
um eine Drehachse. J m r= ⋅ 2
Stab
Ein dünner Stab, der um eine Querachse (zweizählige Symmetrieachse) rotiert. Diese Formel ist eine Näherung für einen Zylinder mit r .
1 2
J=12m⋅
Quader
Ein Quader, der um eine Achse durch den Mittelpunkt rotiert, die parallel zu seinen Kanten c liegt.
2 2
1
J=12m (a⋅ +b )
Kugel
Eine massive Kugel, die um eine Achse durch den Mittelpunkt rotiert.
2 2
J=5m r⋅
Vollzylinder
Ein Vollzylinder, der um seine Symmetrieachse rotiert.
1 2
J=2m r⋅
Hohlzylinder Ein Hohlzylinder, der um seine
Symmetrieachse rotiert. Schliesst die Grenzfälle Zylindermantel und Vollzylinder mit ein.
2 2
1 2
r r
J m 2
= +
Der Satz von Steiner
Satz von Steiner: Rotiert ein Körper um eine Achse, die um den Abstand s parallel zur Achse durch den Schwerpunkt verschoben ist, so ist das Trägheitsmoment J gleich dem Trägheitsmoment JS
für die Achse durch den Massenmittelpunkt vermehrt um das Trägheitsmoment des Massenmittelpunktes auf einer Kreisbahn mit Radius s. Es gilt also: J J= S+ ⋅m s2
Bemerkung: Da der Steiner‘sche Anteil m·s2 immer positiv ist, muss der das Trägheitsmoment für die Rotation um die Achse durch den Schwerpunkt immer am kleinsten sein.
Beweis des Satzes von Steiner
Wir betrachten ein Rad in zwei unterschiedlichen Situationen:
Beide Räder sollen in diesem Augenblick dieselbe Schwerpunktgeschwindigkeit haben. Die Drehachse habe keine Ausdehnung und das Rad wird als homogene Scheibe betrachtet.
Wir berechnen nun in beiden Fällen die gesamte Energie des Rades:
E = Ekin + Erot E = Erot
Da die beiden momentanen Situationen ununterscheidbar sind, müssen die beiden gesamten Energien gleich sein.
Typen von Rotationsbewegungen
Es gibt folgende Arten von Rotationsbewegungen:
a) Der starre Körper dreht sich um eine im Raum feststehende Achse, welche durch die grosse oder die kleine Haupt- trägheitsachse verläuft. Ein relativ einfacher Spezialfall, den man auf der Mittelstufe behandeln kann. Die meisten bisherigen Beispiele und Herleitungen beziehen sich auf diesen Spezialfall.
b) Der starre Körper dreht sich um eine im Raum feststehende Achse, welche nicht durch die die grosse oder die kleine Hauptträgheitsachse verläuft. Ein Spezialfall, welcher in vielen Fällen nicht allzu kompliziert ist (Satz von Steiner).
c) Der starre Körper dreht sich um einen im Raum feststehenden Körperpunkt (Kreisel).
Dieser Fall tritt beim Kreisel auf und ist schon sehr kompliziert. Auf der Mittelstufe haben wir keine Chance, dieses Problem tiefgründiger zu behandeln und zu verstehen.
d) Bei der Rotation des starren Körpers bleibt kein Körperpunkt fest.
Hier sehen wir in die Abgründe der Physik. Sehr, sehr schwierig!
Aufgaben
Trägheitsmoment und Bewegungsgleichung
Aufgabe 24: Ein Schwungrad (J = 10 kg·m2) wird durch ein Drehmoment von 5 N·m angetrieben.
a) Berechnen Sie die Winkelbeschleunigung, mit welchem es sich in Bewegung setzt.
b) Berechnen Sie die Winkelgeschwindigkeit, welches es nach 20 Sekunden erreicht.
Aufgabe 25: In einem Discman wird eine CD innert 2.00 s auf 4200 Umdrehungen pro Minute beschleunigt. Welches Drehmoment muss der CD-Spieler erzeugen? Die CD hat einen Durchmesser von 12 cm, eine Dicke von 1.2 mm und eine Masse von 16 g. Das Loch in der Mitte der CD kann bei der Berechnung des Trägheitsmoments vernachlässigt werden.
Aufgabe 26: Das abgebildete Jo-Jo hat eine Masse von 58 g und ein Trägheitsmoment von 3.5·10–5 kg·m2 in Bezug auf die Achse durch die Mitte.
a) Wie gross ist die Beschleunigung des Jo-Jos, wenn Sie es einfach loslassen und sich der Faden von der Achse mit einem Radius von 12 mm abwickelt? Die Dicke und die Masse des Fadens sind zu vernachlässigen.
b) Welche Kraft wirkt in diesem Fall auf ihren Finger? Ver- gleichen Sie das Ergebnis mit der Gewichtskraft des Jo- Jos.
Aufgabe 27: Eine Messapparatur für Trägheitsmomente besteht aus einem Teller (1) mit der Masse 0.34 kg und dem Radius 15 cm, der mit einem drehbaren, massiven Zylinder (2) mit der Masse 0.88 kg und dem Radius 48 mm
verbunden ist. Um den Zylinder ist ein Faden gewickelt, der über eine Umlenkrolle läuft. Am Faden hängt ein Gewicht von 50 g. Reibung allgemein und die Trägheit der
Umlenkrolle sind zu vernachlässigen. Auf den Teller können Gegenstände gelegt werden, deren Trägheitsmoment bestimmt werden soll. Gemessen wird die Zeitdauer, in der das Gewicht aus der Ruhe um 1.0 m gesunken ist.
a) Wie lang ist die Zeitdauer, wenn der Teller leer ist?
b) Für ein Modellauto beträgt die Zeitdauer 4.2 s. Wie gross ist das Trägheitsmoment des Modellautos bezüglich der entsprechenden Drehachse?
Aufgabe 28: Ein Fahrrad wird so auf in einer Werkstatt auf ein Montageständer gestellt, so dass sich das Hinterrad in der Luft drehen kann. Sie treten so in die Pedale, dass die Kette eine Kraft von 18 N auf den Zahnkranz ausübt. Der Radius des Zahnkranzes sei 7 cm. Der Radius des Hinterrades sei 35 cm und die Masse des Hinterrades sei 2.4 kg. Zur Vereinfachung wird das Hinterrad als Ring betrachtet, bei dem sich die gesamte Masse aussen befindet.
a) Berechnen Sie die Winkelgeschwindigkeit, welche das Rad nach 5 s besitzt.
b) Berechnen Sie die Geschwindigkeit (in km/h), mit welcher sich zu dieser Zeit ein Punkt am Rand des Rades bewegt.
Aufgabe 29: Ein homogener Stab der Länge l rotiert um eine Achse, die senkrecht durch seine Mitte geht. In diesem Fall ist das Trägheitsmoment J = 1/12·m·l2. Wie gross ist das
Trägheitsmoment, wenn die Achse am Stabende liegt?
Aufgabe 30: Wenn sich eine Kugel an einem Seil auf einer Kreisbahn bewegt (Hammerwerfen, Pendel), wird sie physikalisch oft als Massenpunkt behandelt. Ab welchem Verhältnis aus Kreisbahnradius r zu Kugel- radius R weicht das Trägheitsmoment für die Kugel um weniger als 1% vom Trägheitsmoment für den Massenpunkt ab?
Rotationsenergie
Aufgabe 31: Die Metallkugel eines Flipperkastens mit Neigungswinkel α löst sich ohne Anfangsgeschwindigkeit aus einer Magnethalterung. Beim Rollen (die Kugel gleitet nicht) überwindet sie den Höhenunterschied h = 7 cm. Berechnen Sie die Endgeschwindigkeit der Kugel mit Hilfe des Energiesatzes, wenn von der Rollreibung abgesehen wird,
Aufgabe 32: Eine Kugel rollt ohne Reibung durch einen Looping. Die Kugel wird aus einer Höhe von 30 cm losgelassen. Die höchste Stelle des Loopings (3) ist 7 cm hoch. Wie schnell ist die Kugel
a) an der Stelle 2, b) an der Stelle 3 und c) an der Stelle 4?
Aufgabe 33: Sie lassen einen Eiswürfel, eine Murmel und einen Klebestift auf einem schiefen Brett mit Neigungswinkel α = 20° und Länge s = 50 cm hinuntergleiten bzw. -rollen. Der Eiswürfel gleitet reibungslos. Die Murmel und der zylinderförmige Klebestift rollen ohne Rollreibung.
a) Berechnen Sie mit dem Energiesatz die Endgeschwindigkeit der drei Körper.
b) Berechnen Sie mit den Resultaten aus der vorher- gehenden Teilaufgabe die Roll- bzw. Gleitzeit.
c) Geben Sie für den Eiswürfel, die Murmel und den Klebestift je das Verhältnis der Rotations- und der kinetischen Energie der fortschreitenden Bewegung an.
Aufgabe 34: Jeweils am letzten Montag im Mai findet in Gloucestershire (England) jährlich ein Wettrennen ganz besonderer Art statt. Die Teilnehmenden müssen an einem Steilhang so schnell als möglich hinter einem rollenden Käselaib herrennen. Wer gewinnt, bekommt den Käse und andere Köstlichkeiten. Untersuchen Sie, ob es im Bereich des Möglichen ist, den Käse zu überholen. Der Hang ist etwa 400 m lang und der Neigungswinkel beträgt 30°. In wie viel Sekunden sollte eine Person diese Strecke zurücklegen, damit sie das Ziel gleichzeitig mit dem Käse erreicht?
6. Der Drehimpuls
Drehimpuls und Drehimpulserhaltung
Der Drehimpuls
L ist ein Mass für die Rotation eines Körpers und berücksichtigt dabei Masse, Form und Rotationsgeschwindigkeit:
L= ⋅J ω
Der Drehimpuls L
zeigt also in die gleiche Richtung wie die Winkelgeschwindigkeit ω
, also entlang der Drehachse in Richtung
des Daumens der ……… Hand (Rechte-Faust-Regel).
Drehimpulserhaltung: In einem abgeschlossenen
System bleibt der Gesamtdrehimpuls (=Vektorsumme der Einzeldrehimpulse) konstant.
Aufgabe 35: Beschreiben Sie die verschiedenen Phasen eines Sprungs vom 5-m-Brett mit einfachem Salto. Ist der Drehimpuls beim Eintauchen ins Wasser null?
Aufgabe 36: „Die Menschheit beschleunigt die Rotation der Erde durch das Wasser, das sie in Stauseen speichert. Fluch und Segen von Staudämmen, von denen weltweit immer mehr in Betrieb genommen werden, sind seit geraumer Zeit Gegenstand ökologischer Diskussionen. Jetzt hat sich herausgestellt, dass
diese zum Teil gewaltigen Wasserspeicher miteinander sogar die Rotation der Erde verändern, die Erdachse verlagern und die Höhe des Meeresspiegels beeinflussen [...]. Überwiegend liegen diese gigantischen Reservoire auf der Nordhalbkugel. Die in grossen Stauseen gespeicherten
Wassermassen wären normalerweise ins Meer geflossen und hätten sich dort auch äquatorwärts verteilt. So aber werden sie in
höheren Breiten festgehalten, wo die Erdoberfläche der
Erdachse zwischen den Polen näher ist als am Äquator. Infolge dieser künstlichen Massenkonzentration im Norden rotiert die Erde rascher ... Durch diesen Effekt wären, so Chao, die Tage heute bereits acht Millionstel Sekunden kürzer als vor 40 Jahren.“ [GEO 08/96 (S. 132)]
a) Wieso rotiert die Erde schneller? Welche Grösse wird künstlich geändert? Geben Sie eine Formel zur Erklärung des physikalischen Phänomens an.
Aufgabe 37: Experimente auf einem Drehstuhl.
a) Eine Person sitzt mit Gewichststeinen in der Hand auf einem Drehstuhl. Nun zieht sie die Gewichststeine zu sich. Was geschieht dabei mit der Winkel-
geschwindigkeit? Weshalb?
b) Eine Person sitzt auf einem Drehtsuhl und bewegt einen Hammer im Gegenuhrzeigersinn. Beginnt sie sich zu drehen und falls ja, in welche Richtung?
c) Eine Person sitzt auf einem Drehtsuhl und bewegt einen Hammer über ihren Kopf weg nach vorne. Beginnt sie sich zu drehen und falls ja, in welche Richtung?
d) Eine Person sitzt auf einem Drehtsuhl und hält ein schnell drehendes Rad in der Hand. Nun kippt sie das Rad gegen rechts ab. Beginnt sie sich zu drehen und falls ja, in welche Richtung?
Aufgabe 38: Ein Helikopter hat ein Haupt- und ein Heckrotor.
a) Für was dient der Heckrotor? Der Auftrieb, Antrieb und die Steuerung wird durch den Hauptrotor erzeugt.
b) In einem Action-Film schiesst der Held den
Heckrotor eines Helikopters ab. In welche Richtung dreht der abstürzende Helikopter?
Aufgabe 39: Eine Eiskunstläuferin bereitet sich für die beiden letzten Pirouetten ihres Programms vor. Sie dreht sich mit ausgestreckten Armen und ihr Trägheitsmoment beträgt 2.2 kg·m2 bezüglich der Längsachse. Bei der Biellmann-Pirouette, wo sie ihr Bein über dem Kopf hält, beträgt das Trägheitsmoment 2.0 kg·m2 und nur 1.0 kg·m2 für die Schlusspirouette. Um welchen Faktor ändert sich ihre Winkelgeschwindigkeit für beide Pirouetten im Vergleich zur Winkelgeschwindigkeit mit ausgestreckten Armen?
Aufgabe 40: Die Erde hat im Perihel einen Abstand von 147.1 Mio. km von der Sonne und im Aphel einen Abstand von 152.1 Mio. km. Im Perihel hat die Erde eine Bahngeschwindigkeit von 30.29 km/s.
a) Welche Geschwindigkeit hat die Erde im Aphel?
Löse die Aufgabe mithilfe der Drehimpulserhaltung sowie mit dem zweiten Keplerschen Gesetz.
b) Im Weltall gibt es fast perfekt isolierte Systeme.
Leite das zweite Keplersche Gesetz aus der Drehimpulserhaltung her.
Die Präzession
Ist das System nicht abgeschlossen, so kann der Drehimpuls ändern. Für die Änderung des Drehimpuls gilt:
Δ ΔL=
t
Wirkt ein Drehmoment auf einen starren Körper, so ändert dies den Drehimpuls: ΔL= ⋅M t Δ Die Änderung des Drehimpuls zeigt in Richtung des Drehmoments.
Das Drehmoment M
=……….. steht senkrecht auf den beiden Vektoren ……… und ………
Die drei Vektoren bilden ein Rechtssystem:
Daumen: ………, Zeigfinger: ………
Mittelfinger: ……… (Rechte-Hand-Regel).
Zeigt das Drehmoment in der Richtung des Drehimpulses M L
, so ändert sich der ……… des
Drehimpuls und die Rotation beschleunigt oder bremst.
Steht das Drehmoment senkrecht auf dem Drehimpuls M L ^
, so ändert die ……… des Drehimpulses in der Richtung des Drehmoments (Präzession).
Präzession der Erdachse
Die Erde hat keine exakte Kugelform, sondern durch die Abplattung des Erdellipsoids einen zusätzlichen „Äquator- wulst“. Dadurch bewirken die Gezeitenkräfte von Mond und Sonne ein Drehmoment, welches die Erdachse aufzurichten versucht und zur Präzession der Erdachse führt. Die Erdachse beschreibt dadurch einen kegelartigen Umlauf um eine Achse, die rechtwinklig auf der Ekliptikebene steht. Der (nahezu) konstante Winkel zwischen der Erdachse und der Achse des Kegels ist die Schiefe der Ekliptik; er beträgt etwa 23.44°. Für einen vollen Kegelumlauf benötigt die Erdachse um die ca. 25‘750 Jahre.
Durch die Präzession der Erdachse ändern sich auch die Koordinaten der Fixsterne. Dieser Effekt ist schon seit über 2000 Jahren bekannt. Der griechische Astronom Hipparchos verglich etwa um 150 v. Chr. die Sternörter seines neu gemessenen Kataloges mit den Daten aus mehrere hundert Jahre alten Aufzeichnungen und stellte Unterschiede fest. Die Babylonier dürften das Phänomen der Präzession aber schon etwa 170 Jahre früher entdeckt haben. Jedoch erst im 16.
Jahrhundert hat Nikolaus Kopernikus die Neigung der Erdachse und ihre Bewegung als Ursache für die Verschiebung erkannt.
Gegenwärtig zeigt die Erdachse recht genau in Richtung des Polarsterns, so dass alle Fixsterne scheinbar eine Kreisbahn um ihn beschreiben. Als Folge der Präzession liegt der Himmelspol aber nicht fest beim Polarstern, sondern er wandert auf einem Kreis mit einem Radius von 23.5°
(Schiefe der Ekliptik) um den Ekliptikpol. In 12.000 Jahren wird er sich bei der Wega im Sternbild Leier befinden, dem zweithellsten nördlichen Stern.
