1 6. Der ausgedehnte starre Körper
6.1 Bewegung eines starren Körpers
R
r x
x x
y
y y
z
z z V
V S
i V S
V V
N
i i N
V
i
i i i i
i i i
i
i i i
S
i i i
N
i
i N
i i
drd d r
dzdydx dV
V
dV V r
r dV
M r r
dV M
dV V
V
V r
m M r
m m r r
V m m
M V
V
i
0 0
2
0 2 0 1
1 3 1
sin oder
1 : Körper homogene
1 lim
1
m kg
2
1 2
1 2
1
Integration über das Volumen kartesische oder Kugelkoordinaten
Wilberforce-Pendel (nach Lionel Wilberforce, England 1861-1944), ein gekoppeltes Pendel, bei dem eine lineare Federschwingung mit einer Torsionsschwingung kombiniert wird.
Mit den angeschraubten Scheiben variiert
typische "starre Körper"
S i iS iS S
i
iS v v v
dt r r d
r
r
Bewegung des Elements i relativ zum Schwerpunkt
Abstände im starren Körper sind konstant, ihre zeitliche Ableitung ist 0:
iS iS
iS iS
iS r v r v
dt r
d
2 0 d.h.
2
Die Bewegung relativ zum Schwerpunkt ist immer eine Drehbewegung:
iS
S i iS
iS r v v r
v
Sechs Freiheitsgrade: Translation in 3 Richtungen, Rotation um 3 Achsen.
Die Angabe einer Kraft F erfordert auch die Angabe des Angriffspunkts P.
Mit der Einführung zweier entgegengesetzt gleicher Kräfte F'=F und F", die am Schwerpunkt S angreifen:
F' bewirkt eine Beschleunigung → Translation F" bewirkt ein Drehmoment bzgl. S → Rotation
Nm
r F D
D S iS
(Drehmoment = Hebelarm x Kraft)
6.2 Rotationsenergie und Trägheitsmoment
V V
rot
N V m N
i
i i rot
i i
i i
i i
dV r dm r I I
E
dm r r
m E
r r
m v
m E
2 2
2
2 2 0
1
2 2
2 2 2
2 mit 1
2 2
Drehachse zur
senkrecht 2
1 2
1
Kinetische Energie und Trägheitsmoment bei der Rotation mit Winkelgeschwindigkeit
Trägheitsmoment
(vgl. kinetische Energie) Drehimpuls L und Drehmoment D
I I L
E I
dm r L
r m r
r m v
m r
p r L
rot V
i i i
i i i
i i
i i i
2 2
1 2 2
2
2
I D F r p r L
p r L
i i i i i i
i i i
Drehmoment = zeitliche Änderung des Drehimpulses (vgl. Kraft = zeitliche Änderung des Impulses
(vgl. kinetische Energie)
4
2 2
3 2 5
3 5
0 0 2
0 3 4 0 0
2
0 2 2
2 3
2 /
2 /
2
2 4
0 3 2
2 2
2 2
2 2
2
2 4
0 3 0
2 2
2 2
2 4
2 2 4
sin 2
sin sin
sin Vollkugel )
12 1 12
1
Achse senkrechte
Stab, dünner )
2 1 2 2
Achse -
er, Vollzylind )
Achse -
er, Hohlzylind er
dünnwandig )
4 1 2
1 Achse -
Scheibe, Dünne
)
2 1 Achse -
Scheibe, Dünne
)
2 1 2
2 1 2
Achse -
Scheibe, Dünne
a)
MR R
R R R d
d d dr r
d r
d r dr r
I g
L M L
A dx
x A I
f
R M R
h dr
r h I
z e
R M I
z d
R M I
dV x dV
z x I
y c
I dV y dV
z y I
x b
R M R
h dr
r h dr
h r r dV
r dV
y x I
z
R
r R
r L
L s
R z
z
z V
V y
z V
V x
R R
V V
z
2
r
Betrachte ein Element der Kugeloberfläche:
Dicke dr
Breite r sin d f
Höhe r d
Steinerscher Satz
M a I I
dm r a dm a
dm r dm a
r I
dm r I
S A
V V
V V
A V S
2
2 2 2
2
2
Das Trägheitsmoment bzgl. einer Achse durch Punkt A ergibt sich aus dem Trägheitsmoment bzgl. einer parallelen Achse durch den Schwerpunkt S plus dem Trägheitsmoment der
Gesamtmasse M im senkrechten Abstand von Punkt A zur Achse durch S.
Beachte: Das Trägheitsmoment hängt auch von der Richtung der Achsen ab (Ausnahme: homogene Kugel).
Kugel MR
I
er Vollzylind MR
I
er Hohlzylind MR
I
S S S
5 2 2 1
1
2 2 2
Zusammenfassung
2 2
2
||
1 sin sin
sin
MR I
g MR
I
R R Mg
R a
er Satz Steinersch
MR I
I R Mg
R F D
S S
S
2 2
2
2 2
2 2
2 2 2
2 2
1
sin /
1
sin 2 2
/ 1
sin 2
2 1 1 1
2 1 2
1 2
sin 1
MR I
a g MR
I v va g
dt v d
MR I
s v g
MR Mv I
Mv Mv I
I Mv
E E
s Mg h
Mg E
S S
S
S S
S rot
kin pot
Kugeln und Zylinder rollen eine schiefe Ebene hinab Methode a) Drehmoment = Hangabtrieb x Radius
Methode b) Potenzielle Energie = kinetische Energie + Rotationsenergie
er Hohlzylind
er Vollzylind Kugel MR
I a
s t
at s
S
414 , 1
225 , 1
183 , 1 /
1 2
Zeit
2 1 Weg
2 2
