Mathematik f¨ ur Chemiker 2: online-Vorlesung 1.9) nD-Integration: Wegl¨ angen von Kurven
Bernd Hartke
Theoretische Chemie
Institut f¨ur Physikalische Chemie Christian-Albrechts-Universit¨at
Max-Eyth-Str. 2 24118 Kiel
hartke@pctc.uni-kiel.de
https://ravel.pctc.uni-kiel.de/
k
dS
x
y
z θ
dy
dx Gxy
G
Infinitesimales Bogenelement ds
• Parameter t = Durchlauffortschritt auf Kurve.b
• Ortsvektoren ~r(t) zeigen vom Ursprung auf die Kurve.
• ∆~r = ~r(t+ ∆t)−~r(t) zeigt ann¨ahernd entlang der Kurve.
• lim∆t→0 ∆~r = d~r(t) ist ein Tangentialvektor an die Kurve im Punkt ~r(t).
• Es sei ds = |d~r| = p
(dx)2 + (dy)2
∆ r
dr r (t)
r
O
∆ (t+ t)
In Parameterdarstellung t gilt ds = p
(dx)2 + (dy)2 = s
dx dt
2 +
dy dt
2
dt (1)
Skalares Kurvenintegral
Das Kurvenintegral ¨uber das Skalarfeld Ω(x, y) Z
C
Ω(x, y)ds =
s2
Z
s1
Ω(x(s), y(s))ds = (2)
=
t2
Z
t1
Ω(x(t), y(t)) q
dx dt
2
+ dydt2
dt (3) liefert den tats¨achlichen Fl¨acheninhalt zwischen Kurve C und Funktionsfl¨ache Ω(x, y) (keine Pro- jektion auf die xz- oder yz-Ebene).
Mit dem Standardtrick Ω = 1 erhalten wir die Bogenl¨ange der Kurve C:
s2
Z
s1
ds = s(t2) − s(t1) =
t2
Z
t1
q
dx dt
2
+ dydt2
dt (4)
Bogenl¨ange Beispiel 1: Kreisumfang Kreis vom Radius r um den Ursprung;
r = const., Parameter ϕ : x = r cos(ϕ) , dx
dϕ = −r sin(ϕ) (5) y = rsin(ϕ) , dy
dϕ = r cos(ϕ) (6) Kurvenintegral entlang Kreisrand C, von ϕ = 0 bis ϕ = 2π:
0 /2
x y
3 /2
r
Z
C
1 ds =
2π
Z
ϕ=0
q dx dϕ
2
+ dϕdy2
dϕ =
2π
Z
0
q
r2(sin2(ϕ) + cos2(ϕ)) dϕ (7)
=
2π
Z
0
√
r2 dϕ = r
2π
Z
0
dϕ = 2πr (8)
in ¨Ubereinstimmung mit der Standard-Geometrieformel.
Bogenl¨ange Beispiel 2:
Bogenl¨ange von y = cosh(x), von x = 0 bis x = a = ln(2 + √
5) ≈ 1.4436 triviale Parametrisierung:
x = t , dx
dt = 1 (9)
y = cosh(t) , dy
dt = sinh(t) (10)
0 1 2 3
-2 -1 0 1 2
cosh(x)
x
x
a
Mit cosh2(x) − sinh2(x) = 1 ergibt sich:
a
Z
t=0
q
1 + sinh2(t) dt =
a
Z
0
cosh(t)dt = [sinh(t)]a0 = sinh(a) (11) sinh(a) = sinh(ln(2 + √
5)) = 12(eln(2+
√5) − e−ln(2+
√5)
) = 12
2 + √
5 − 1
2 + √ 5
(12)
= 12 (2 + √
5)2 − 1 2 + √
5 = 12 4 + 4√
5 + 5 − 1 2 + √
5 = 12 4(2 + √ 5) 2 + √
5 = 12 4 = 2 (13)
