Beweis:Wir nehmen an|q(x)|≤1 f¨ur allex∈[−1,1] und f¨uhren diese Annahme zu einem Widerspruch.
Es gilt nach Folgerung (ii)
Tn(1) = 1 Tn(cosπ
n) =−1.
Wir betrachten die DifferenzTn(x)−q(x) auf dem Intervall [cosπn,1]. Da nach VoraussetzungTn undq den selben Koeffizienten vorxn besitzen, n¨amlich 2n−1 gilt
degTn−q≤n−1.
Nach dem Zwischenwertsatz besitztTn(x)−q(x) mindestens eine Nullstelle in [cosπn,1]. Beachte dazu: Ent- weder besitztTn(x)−q(x) bereits eine Nullstelle in einem Randpunkt oder es giltTn(cosπn)−q(cosπn)<0 undTn(1)−q(1)>0.
Entsprechend folgt:
Tn(x)−q(x) hat (mindestens) eine Nullstelle in [cos2nπ,cosπn] Tn(x)−q(x) hat (mindestens) eine Nullstelle in [cos3nπ,cos2nπ]
...
Tn(x)−q(x) hat (mindestens) eine Nullstelle in [−1,cosn−n1π],
also besitztTn(x)−q(x) insgesamtnNullstellen in [−1,1]. Beachte wiederum: Fallen zwei Nullstellen in einem Randpunkt der einzelnen Intervalle zusammen, so handelt es sich um eine doppelte Nullstelle, da Tn undq dort ein Extremum besitzen.
Da aber das PolynomTn−q h¨ochstens den Gradn−1 besitzt, handelt es sich um das Nullpolynom:
Tn=q.
Dies ist aber ein Widerspruch zur Annahme, die daher falsch sein muss.
Beweis:(zu Satz 20) Es gilt:
x∈[−1,1]max |wn+1(x)|= 1 2n max
x∈[−1,1]|2nwn+1(x)
! "# $
=2nxn+1+...
|. Die Behauptung des Satzes folgt nun aus dem vorangehenden Lemma (vgl. ¨U).
Satz 21. F¨ur die Lebesgue-Konstanten zu den Tschebyscheff-St¨utzstellen gilt:
Λn≤3 f¨urn≤20 Λn≤4 f¨urn≤100 Λn≈ 2
πlognf¨urn→ ∞.
Vergleiche mit den Lebesgue-Konstanten bei ¨aquidistanten St¨utzstellen!
Wir wissen, dass die Tschebyscheff-Polynome T0, . . . , Tn eine Basis des VektorraumsPn bilden. Sie sind bez¨uglich des Skalarprodukts
< p, q >:=
%n i=0
p(xi)q(xi)
orthogonal, wobeixi die Nullstellen vonTn+1 sind. Tats¨achlich gilt (ohne Beweis)
< Tk, Tj>=
0, falls k'=j (Orthogonalit¨at)
1
2(n+ 1), falls k=j >0 (n+ 1), falls k=j= 0 f¨urk, j≤n.
Mit der Orthogonalit¨at der Tschebyscheff-Polynome folgt p=p(f|x0, . . . , xn) =
%n i=0
< p, Ti>
< Ti, Ti>
! "# $
=:cibzw.c20 f¨ur i=0
Ti
und mit der Definition des Skalarproduktes oben
< p, Tk>=
%n i=0
p(xi)Tk(xi)
=
%n i=0
f(xi)Tk(xi)
=
%n i=0
ficos) k2i+ 1
2n+ 2π
* .
Insgesamt erhalten wir damit den folgenden Satz.
Satz 22. (Tschebyscheffsche Interpolationsformel) Zun+ 1 St¨utzpunkten(xi, fi),i= 0, . . . , n, wobei die St¨utzstellen genau den Nullstellen des Tschebyscheff-PolynomsTn+1 entsprechen, l¨asst sich das eindeutige Interpolationspolynomp(x) =p(f|x0, . . . , xn)vom Grad ≤ndarstellen durch
p(x) = 1
2c0+c1T1(x) +. . .+cnTn(x) (3.8) mit
ck = 2 n+ 1
%n i=0
ficos) k2i+ 1
2n+ 2π
*
f¨urk≥0.
Zu den speziellen St¨utzstellenxi = cos(2n+22i+1π) steht und somit neben der Lagrangeschen und der New- tonschen eine weitere Interpolationsformel zur Verf¨ugung.
Fragen:Wie effizient lassen sich die Koeffizienten ck berechnen? L¨asst sichp(x) in der Form (3.8) leicht auswerten?
a) Die direkte Berechnung derckerfordert (n+1)2Multiplikationen. Die schnelle Fourier-Transformation (FFF) ben¨otigtO(nlogn) Multiplikationen. Zum Vergleich: Berechnung der dividierten Differenzen der Newtonschen Interpolationsformal ben¨otigt n(n+1)2 Divisionen. F¨ur hinreichend große n ist es daher zweckm¨aßig die Koeffizienten mit FFT zu berechnen. Dabei ist es g¨unstig, wenn n+ 1 = 2m eine 2-er Potenz ist.
b) Das Polynomp(x) l¨asst sich bei bekannten Koeffizienten leicht berechnen:
Satz 23. (Clenshaw-Algorithmus) Seip(x)ein Polynom mit p(x) = 1
2c0+c1T1(x) +. . .+cnTn(x).
Sei weiterdn+2=dn+1= 0und
dk=ck+ 2x·dk+1−dk+2 f¨urk=n, n−1, . . . ,1.
Dann gilt:
p(x) = 1
2(d0−d2).
Bemerkung 17. Der Aufwand zur Berechnung von p(x) ist somit n+ 1 Multiplikationen und 2(n+ 1) Additionen.
Beweis:Zun¨achst giltdn=cn. Mit der Rekursionsformel
Tk(x) = 2x·Tk−1(x)−Tk−2(x) folgt:
p(x) = 1
2c0+c1T1(x) +. . .+cn−3Tn−3(x) + (cn−2−dn)Tn−2(x) + (cn−1+ 2xdn
! "# $
=dn−1
)Tn−1(x)
= 1
2c0+c1T1(x) +. . .+cn−4Tn−4(x) + (cn−3−dn−1)Tn−3(x) + (cn−2−dn+ 2xdn−1
! "# $
=dn−2
)Tn−2(x)
=. . . (induktiv)
= 1
2c0+ (c1−d3)T1(x)
! "# $
=x
+d2 T2(x)
! "# $
=2x2−1
= 1
2c0+x(c1+ 2xd2−d3)−d2
= 1
2c0+xd1−d2
= 1
2(d0−d2).
Allgemein ist bei Verwendung von Rekursionen wichtig, wie sich Fehler (z.B. Rundungsfehler) fortpflan- zen, also die Stabilit¨at der Rekursion. Mit anderen Worten: “Kleine” Fehler am Beginn der Rechnung, sollen keine “großen” Auswirkungen auf die sp¨atere Rechnung haben.
Beispiel 17. (einer instabilen Rekursion)
Gegeben sei die Rekursionxn+1= 10xn−9 mit Startwert a) x1= 1. Dann gilt xn = 1f¨ur alle n.
b) x˜1= 1 +". Dann gilt x˜n= 1 + 10n−1"f¨ur alle n.
Satz 24. (¨uber die Stabilit¨at des Clenshaw-Algorithmus) Sei p(x) wie in Satz 23 und d˜k durch folgende Rekursion berechnet:
0 = ˜dn+2= ˜dn+1
d˜k =ck2x·d˜k+1−d˜k+2+"k
f¨urk=n, n, . . . ,1, wobei "k zum Beispiel Rundungsfehler im k-ten Schritt sind. Dann gilt:
|1
2( ˜d0−d˜2)
! "# $
=: ˜p(x)
−p(x)|≤
%n i=0
|"i|
f¨ur|x|≤1.
Beweis:Setzeek := ˜dk−dk. Offenbar gilt en+2=en+1= 0
ek ="k+ 2x·ek+1−ek+2 f¨urk=n, n−1, . . . ,1.
Somit nach Satz 23
1
2("0−e2)
! "# $
= ˜p(x)−p(x)
="0+"1T1(x) +. . .+"nTn(x).
Wegen|Tj(x)|≤1 f¨ur|x|≤1 folgt
|p(x)˜ −p(x)|≤
%n i=0
|"i|.
Bemerkung 18. Approximationen durch Summe von Tschebyscheff-Polynomen werden im Rechner zur Berechnung von Funktionen wielog,exp,sin,cos, . . .verwendet.
Beispiel 18. Berechnung von log(x) f¨ur0 < xmin ≤x≤xmax, wobeixmin und xmax die kleinste bzw.
die gr¨oßte darstellbare Zahl im Rechner sind.
Gleitpunktdarstellung (mitd= 2):
x=a·2N+1 mita=+l
i=1ai2−i undai∈{0,1},a1= 1. Also existiert eint∈[0,1) mit x= (1 +t)·2N.
Mit dem Additionstheorem des Logarithmus erhalten wir
logx= log(1 +t) +Nlog 2.
Wir Approximierenlog(1 +t)auf [0,1]bzw. log,1 + 1+s2 -auf dem Intervall [−1,1]durch Tschebyscheff- Interpolation. F¨ur den Approximationsfehler gilt nach Satz 19
|log )
1 +1 +x 2
*
−p(x)|≤|wn+1(x)| (n+ 1)! |.
log )
1 +1 +ξ 2
* /(n+1)
|. Beachte:
.log)
1 + 1 +x 2
* /#
= 1
1 + 1+x2 1 2, also auch
.log)
1 +1 +x 2
* /(n+1)
= ( 1
1 + 1+x2 )(n)1 2
= )1
2
*n+1
(−1)nn!
(1 +1+x2 )n+1. Somit gilt f¨ur den Interpolationsfehler die Absch¨atzung
|log )
1 + 1 +x 2
*
−p(x)|≤ 1 2n(n+ 1)!
n!
2n+1|1 + 1+x2 |n+1
≤ 1 2(n+ 1)4n. Zum Beispiel gilt f¨urn= 16
|log)
1 + 1 +x 2
*
−p(x)|≤10−11.
