3 Teil iii)

Musterlösung zu A 34

1 Teil i)

Für die 1-Norm ist einerseits

kAxk₁ :=

m

X

i=1

n

X

j=1

aijxj

≤

m

X

i=1 n

X

j=1

|a_ij||x_j|

=

n

X

j=1 m

X

i=1

|a_ij|

!

|x_j| ≤max

j m

X

i=1

|a_ij|

! kxk₁,

für alle x∈ Rⁿ. Sei i0 ∈ {1, ..., n} derjenige Index, für den(Pm

i=1|a_ij|) maximal wird. Dann gilt für den Vektor x=e_i0

kAe_i0k₁ = max

j m

X

i=1

|a_ij|

! ke_i0k₁,

was zeigt, dass obige Abschätzung scharf ist, weshalb im Supremum Gleichheit gelten muss.

Analog gilt für die ∞-Norm einerseits

kAxk_∞= max

i

X

j

a_ijx_j

≤max

i

X

j

|a_ij|max

j |x_j|

= max

i

X

j

ka_ijkkxk_∞,

für alle x∈Rⁿ. Andererseits gilt für den Vektor x= (1,1, ...,1)^T Gleichheit.

Da die Summe über eine Zeile einer Matrix der Summe über die entsprechende Spalte der transponierten Matrix ist, haben wir mit Obigem, dass offensichtlichkA^Tk₁=kAk∞.

1

2 Teil ii)

Zum Beweis der ersten Ungleichung verwenden wir die Cauchy-Schwarz Ungleichung (vgl. Kapitel I der Vorlesung), also dass für alle x, y∈Rⁿ gilt, dass

n

X

j=1

xjyj

≤ v u u t

n

X

j=1

|x_j|² v u u t

n

X

j=1

|y_j|². (1)

Mit dieser Ungleichung haben wir für beliebigesx∈Rⁿ

kAxk²₂ kxk²₂ =

Pm i=1

Pn

j=1a_ijx_j

2

kxk²₂

≤

|{z}

(1)

Pm i=1

Pn

j=1|x_j|² Pn

j=1|a_ij|² Pn

j=1|x_j|²

=X

i,j

a²_ij,

weshalb die Beziehung auch im Supremum gelten muss.

Zum Beweis der zweiten Ungleichung verwendet man am besten Teil iii). Bezeichne hierzu λ den größten Eigenwert von A^TA undv den zugehörigen Eigenvektor. Dann ergibt sich

kAk²₂kvk₁ =

|{z}

iii)

λkvk₁ =

|{z}

N3

kλvk₁

=

|{z}

λEW

kA^TAvk₁ ≤ kA^Tk₁kAk₁kvk₁

=

|{z}

i)

kA^Tk₁kAk₁kvk₁

und Teilen durch kvk₁ (man rufe sich ins Gedächtnis, dass ein Eigenvektor per Definition nicht der 0-Vektor ist) liefert die Behauptung.

3 Teil iii)

Anmerkung: Die orthogonale Diagonalisierung exisitiert, daA^TAsymmetrisch ist (wegen (A^TA)ij :=

P_m

k=1a_kia_kj = P_m

k=1a_kja_ki =: (A^TA)_ji). Da A^TA positiv semi-definit ((x, A^TAx) = (Ax, Ax) = kAxk²₂ ≥0∀x∈Rⁿ), sind außerdem alle Eigenwerteλnicht-negativ. Damit hat man (mity=Qx)

kAxk₂ =x^TA^TAx=x^TQ^TDQx=y^TDy=X

i

λi|y_i|² ≤max

i λi

X

j

|y_j|² = max

i λikyk²₂

= max

i λ_iy^Ty = max

i λ_ix^T Q^TQ

| {z }

=1

x= max

i λ_ikxk²₂.

Da für den Eigenvektor zum größten Eigenwert offensichtlich Gleichheit gilt, ist die Ungleichung scharf und somit gilt im Supremum Gleichheit.

2

4 Sublinearität

Aufgrund der Definition der Matrixnorm gilt offensichtlich kAxk ≤ kAkkxk, ∀x∈R. Zweimaliges Anwenden dieser Ungleichung liefert für beliebigesx∈R

kABxk ≤ kAkkBxk ≤ kAkkBkkxk, was, nach Division durch kxk im Supremum dann die Behauptung liefert.

3