Die Poincare-Ungleichung
Simon Strobl
LMU München
für das Hüttenseminar im WiSe 2012-13
Die Poincare Ungleichung
Sei Ω ⊂
Rnkonvex und beschränkt; u ∈ W
1,p(Ω). Dann gilt:
ku − ¯ u
ϕk
p≤ C k∇uk
pWobei ¯ u
ϕ= R
Ω
u(y )ϕ(y )dy ein ”gewichtetes Integral”.
→ Die Funktion u kann anhand ihrer Ableitung und Gegebenheiten auf
dem Gebiet Ω abgeschätzt werden.
Im eindimensionalen Fall:
Sei f : [0; d ] →
Rstetig; 0 ≤ t ≤ d und f (0) = 0
|f (t)| = |f (t) − f (0)| = |
t
Z
0
f
0(s )ds| ≤
d
Z
0
|f
0(s )|ds
Über t integrieren ergibt:
d
Z
0
|f (t)|dt ≤ d
d
Z
0
|f
0(s)|ds ⇔ kf k
1≤ d k∇f k
1Allgemeiner im R
n:
Wir wollen R
Ω
|u(x ) − ¯ u
Ω|
pdx ≤ C R
Ω
|∇u(x )|
pdx beweisen!
Dazu sei:
•
x ∈ Ω ⊂ B
R(x ) konvex, beschränkt und u ∈ W
1,p(Ω) ∩ C
∞(Ω)
•
¯ u
Ω:= R
Ω
u(y )ϕ(y )dy ein ”gewichtetes Integral”
wobei
ϕ(y) :=
χΩ(y )
|Ω|1und
χΩ(y ) =
( 1 wenn y ∈ Ω
0 sonst ”Indikatorfunktion”
Z
ϕ(y
)dy = 1
•
S = {z : |z | = 1} Einheitsball im
Rn•
y ∈ Ω in Kugelkoordinaten: y = x + tz, t
>0, z ∈ S
• δ(z
) := sup{t : x + tz ∈ Ω}
Es gilt:
|u(x ) − u (y )| ≤
t
Z
0
|∇u(x + sz )|ds ≤
δ(z)
Z
0
|∇u(x + sz)|ds
~Somit: |u (x ) − u ¯
Ω| = | R
Ω
(u (x ) − u(y ))ϕ(y )dy | ≤
|Ω|1R
Ω
|u(x ) − u(y )|dy
=
|Ω|1R
S
(
δ(z)
R
0
t
n−1|u(x ) − u(x + tz)|dt )dz (→ ”Zwiebelformel”)
≤
|Ω|1R
S
(
R
R
0
t
n−1dt
δ(z)
R
0
|∇u(x+sz)|
sn−1
s
n−1ds)dz (
~)
=
|Ω|1 RnnR
Ω
|∇u(y)|
|x−y|n−1
dy (← ”Zwiebelformel”)
=
|Ω|nRnR
Ω
|∇u(y )||x − y |
1−ndy := C I
1(|∇u(x )|) (mit C =
|Ω|nRn)
Z
Ω
|u(x ) − ¯ u
Ω|
pdx ≤ C
pZ
Ω
|I
1(|∇u|)|
pdx ≤ C ˜ Z
Ω
|∇u|
pdx
⇒ ku − ¯ u
Ωk
p≤ C ˜ k∇uk
pfür u ∈ W
1,p(Ω) ∩ C
1(Ω)
Schluss von C
∞(Ω) auf W
1,p(Ω) :
•
C
∞liegt dicht in W
1,p•
u ∈ W
1,p(Ω) ⇒ ∃u
n∈ C
∞(Ω) mit: u
n→ u in W
1,p= ⇒ ku
n− u k
p−−−→
n→∞0 und k∇u
n− ∇uk
p−−−→
n→∞0
⇒ Die Gleichung gilt auch in W
1,p(Ω)
Ohne Mittelwert - mit Nullrandwerten:
•
Sei ˜ u ∈ W
01,p(Ω) mit Ω ⊂ B
R(0) und u ∈ W
01,p(B
R(0)) und Ω
0⊂ B
R(0) mit Ω ∩ Ω
0= ∅.
•
Für u gilt somit: u|
Ω= ˜ u und u|
BR(0)\Ω
= 0
•
Sei
ψ:=
|Ω10|χΩ0und somit u ¯
ψ= R
BR(0)
u(x )ψ(x )dx = 0
⇒ Z
Ω
|u(x )|
pdx = Z
BR(0)
|u(x )|
pdx = Z
BR(0)
|u(x ) − ¯ u
ψ|
pdx
≤ C Z
BR(0)
|∇u(x )|
pdx = C Z
Ω
