Institut f¨ ur Analysis

Institut f¨ ur Analysis

Prof. Dr. Dirk Hundertmark 17.11.2017

Dr. Michal Jex

H¨ ohere Mathematik I f¨ ur die Fachrichtung Physik L¨ osungsvorschl¨ age zum 4. ¨ Ubungsblatt

Aufgabe 20:

(a) Wir schreibenln=mnk⁻ⁿ und ln−1 =mn−1k⁻ⁿ⁺¹=mn−1kk⁻ⁿ. Wir haben ln−ln−1= (mn−mn−1k)e⁻ⁿ.

Zahlen m_n und mn−1k sind ganz. Wir m¨ussen zeigen, dass 0 ≤ m_n−mn−1k < k. Wir k¨onnen schreiben

mnk⁻ⁿ≤x <(mn+ 1)k⁻ⁿ, mn−1k⁻ⁿ⁺¹ ≤x <(mn−1+ 1)k⁻ⁿ⁺¹, weilmk Maximum ist. Diese Ungleichungen sind ¨aquivalent mit

m_n≤ x

k⁻ⁿ <(m_n+ 1), mn−1k≤ x

k⁻ⁿ <(mn−1+ 1)k .

Dann haben wirmn≤ _k−n^x ,mn−1k > _k−n^x −k,mn> _k−n^x −1 undmn−1k≤ _k−n^α deshalb m_n−mn−1k < x

k⁻ⁿ − x k⁻ⁿ−k

< k , m_n−mn−1k > x

k⁻ⁿ−1

− x

k⁻ⁿ >−1, 1<mn−mn−1k < k .

(b) • Induktionsanfang (IA):

F¨urn= 0 giltl₀ =P0

j=1c_jk^−j = 0 und f¨urn= 1 giltl₁ =P1

j=1c_jk^−j =m₁k⁻¹.

• Induktionsschluss (IS):

Sein∈N beliebig. F¨ur dieses ngelte die Induktionsvoraussetzung (IV) l_n=

n

X

j=1

c_jk^−j.

Dann gilt f¨urn+ 1

l_n+1 =l_n+ c_n+1 kⁿ⁺¹ =

n

X

j=1

c_jk^−j+ c_n+1 kⁿ⁺¹ =

n+1

X

j=1

c_jk^−j.

(c) monoton Folge:l_n= _k^cnn +ln−1 ≥ln−1. beschr¨ankte Folge: 0 ≤ l₁ ≤ l_n ≤ P_n

j=1 k−1

k^j = ^k−1_k

(_k¹)ⁿ⁻¹

1 k−1

= 1− _k¹n < 1. Wir haben auch l_n=m_nk⁻ⁿ≤x <(m_n+ 1)k⁻ⁿ=l_n+k⁻ⁿ.

(d) Wir haben

l_n≤x≤l_n+k⁻ⁿ und dann

l≤x≤l , wol= limn→∞ln.

Aufgabe 21:

(a) Diese Aussage ist wahr. Wir k¨onnen schreiben

|c_n−a|= 1 n

n

X

k=1

a_k

!

−a

= 1 n

n

X

k=1

(a_k−a) .

Die Folge a_nist konvergent, deshalb

∀ >0∃N₁ ∈N∀l > N₁ :|a_n−a|<

2. Dann f¨urn > N₁

|c_n−a| ≤ 1 n

N1

X

k=1

(a_k−a)

+ 1 n

n

X

k=N1+1

(a_k−a)

≤ 1 n

N1

X

k=1

(a_k−a)

+ 2. Man kannN₂∈Nfinden so, dass

∀n > N₂: 1 n

N1

X

k=1

(a_k−a)

<

2. Zusammen haben wir

∀ >0∃N₂∀n > N₂ :|c_n−a|< , deshalb konvergiert Folgecn gegen a.

(b) Wir zeigen, dass die Aussage falsch ist. Wir haben

−1 n ≤ 1

n

n

X

k=1

(−1)^k≤ 1 n. Die Folge c_n = _n¹P_n

k=1(−1)^k konvergiert gegen 0 aber ((−1)^k)k∈N ist keine konvergent Folge.

Aufgabe 22:

(a) Wir definieren die Folge als

a_n n

b₁ 1 2 4 7 11 16 22

b2 3 5 8 12 17 23

b3 6 9 13 18 24

b₄ 10 14 17 25

b₅ 15 18 26

... . .. ...

wob_j sind verschiedene H¨aufungspunkte, z.B., Noder {1/n|n∈N}.

(b) Die Folge a_n=nhat kein H¨aufungspunkt, weil

∀a∈R∃N ∈N∀n > N :|a_n−a|> .

Aufgabe 23:

Die Folge xn ist konvergent, weil es monoton und beschr¨ankt ist.

monoton Folge: Man kann sehen, dass x_n eine positive Folge ist, falls erstes Element positiv ist. Dann

x_n+2= 1

xn+1+Pn k=1xk

≤ 1

Pn k=1xk

=x_n+1 f¨urn∈N0.

beschr¨ankte Folge: 0≤x_n+1≤x₁ = 1.

Grenzwert: Das Grenzwert kann nur in [0,1] sein. Wir zeigen mit Widerspruch, dass Grenzwert kann nur 0 sein. Sei a >0 die Grenzwert der Folges. Dann

xn+1= 1 Pn

k=1x_k ≤ 1 Pn

k=1a = 1 na wo wir die Monotonie der Folges benutzen haben. Wir haben auch

a≤xn+1 ≤ 1

na ⇔a² < 1 n aber es kann nicht wahr sein weil limn→∞ 1

n = 0.

Aufgabe 24:

(a) F¨ur alle Teilfolgen haben wirn≤σ(n). Wir wissen auch ankonvergent⇔ ∀ >0∃N∀n > N :|a_n−a|< ,

a_σ(n)konvergent⇔ ∀ >0∃M∀σ(n)> N :|a_σ(n)−a|< ,

∀ >0∃N∀n > N :|a_n−a|< ⇒ ∀ >0∃N∀σ(n)> N :|a_σ(n)−a|< .

(b) Wir m¨ussen f¨ur alle >0 unendliche viele Punkte im Nebena finden. Man kann als diese Punkte Elemente der Teilfolges a_σ(n) nehmen, weil

∀ >0∃N∀n > N :|a_σ−a|< .

(c) ⇒: Auf Vorlesung hatten wir, dass lim inf

n→∞ an= lim

n→∞an= lim sup

n→∞ an

f¨ur allen konvergenten Folgen. Alle Nullfolgen konvergieren gegen 0.

⇐: Man kann schreiben

−|a_n| ≤a_n≤ |a_n|,

n≥Ninf −|a_n| ≤ inf

n≥Na_n≤a_n≤ sup

n≥N

a_n≤ sup

n≥N

|a_n|.

Wir auch wissen, dass

− inf

n≥N(−x_n) = sup

n≥N

x_n,

−sup

n≥N

(−x_n) = inf

n≥Nxn.

Zusammen haben wir

0 =−lim sup

n→∞

|a_n| ≤ lim

n→∞a_n≤lim sup

n→∞

|a_n|= 0.

(d) (a_n)n∈N konvergiert gegen a⇔(a_n−a)n∈N ein Nullfolge ist.

Dann k¨onnen wir (c) benutzen.

(e) Wir haben

sup

n≥N

(an+bn)≤ sup

n≥N

an+ sup

n≥N

bn. Dann k¨onnen wir den Limes der Gleichung nehmen

N→∞lim sup

n≥N

(a_n+b_n)≤ lim

N→∞sup

n≥N

a_n+ lim

N→∞sup

n≥N

b_n.

Beispiel: 0 =an+bn= [(−1)ⁿ] + [−(−1)ⁿ].

lim sup

n→∞ 0 = 0, lim sup

n→∞ an= 1, lim sup

n→∞ bn= 1.

Aufgabe 25:

Erinnerung:

(N1) ∀~x∈V∀a∈K :ka~xk=|a|k~xk (N2) ∀~x, ~y ∈V :k~x+~yk ≤ k~xk+k~yk (N3) ∀~x∈V :k~xk ≥0

(N4) k~xk= 0⇒~x=~0

(a) 1≤p <∞:

(N1) ka~xk_p =k(ax₁, ax₂, . . . , ax_d)k_p = Pd

j=1|ax_j|^p1_p

= Pd

j=1|a|^p|x_j|^p1_p

= (|a|^p)^1p

Pd

j=1|x_j|^p1_p

=|a|

Pd

j=1|x_j|^p1_p

=|a|k(x₁, x₂, . . . , x_d)k_p =|a|k~xk_p. (N2) Wir benutzen, dass die FunktionF(x) =x^p konvex ist, d.h.

F(x) =x^p⇒ ∀0≤λ≤1, x1, x2 ≥0 :F((1−λ)x1+λx2)≤(1−λ)F(x1) +λF(x2). Wir beweisen dieser Eigenschaft sp¨ater im ¨Ubungen. Falls ~x = 0 oder ~y = 0 ist, dann ist k~x+~yk_p≤ k~xk_p+k~yk_p wahr. Sonst sindX~ = _kxk^~x

p,Y~ = _kyk^~y

p mitkXk~ _p = 1 undkY~k_p = 1.

Wir haben

|x_j+y_j|^p = (k~xk_p+k~yk_p)^p|(1−λ)X_j +λY_j|^p ≤(k~xk_p+k~yk_p)^p|(1−λ)|X_j|+λ|Y_j||^p,

|x_j+y_j|^p ≤(k~xk_p+k~yk_p)^p[(1−λ)|X_j|^p+λ|Y_j|^p].

mitλ= _k~xk^k~ykp

p+k~ykp. Wir k¨onnen beide Seiten zusammenz¨ahlen

d

X

j=1

|x_j+y_j|^p =k~x+~yk^p_p≤(k~xk_p+k~yk_p)^p

d

X

j=1

[(1−λ)|X_j|^p+λ|Y_j|^p], k~x+~yk^p_p ≤(k~xk_p+k~yk_p)^p[(1−λ)kXk~ ^p+λkY~k^p] = (k~xk_p+k~yk_p)^p k~x+~yk_p ≤ k~xk_p+k~yk_p.

(N3) |x_j| ≥0⇒Pd

j=1|x_j|^p ≥0⇒ Pd

j=1|x_j|^p1_p

≥0.

(N4) k~xk= 0⇔Pd

j=1|x_j|^p= 0⇒ ∀|x_j|:|x_j|= 0.

p=∞:

(N1) max_j=1,...,d|ax_j|= max_j=1,...,d|a||x_j|=|a|max_j=1,...,d|x_j|.

(N2)|x_j+y_j| ≤ |x_j|+|y_j| ⇒max_j=1,...,d|x_j+y_j| ≤max_j=1,...,d(|x_j|+|y_j|)≤max_j=1,...,d|x_j|+

maxj=1,...,d|y_j|.

(N3) |x_j| ≥0⇒max_j=1,...,d|x_j| ≥0.

(N4) k~xk= 0⇔max_j=1,...,d|x_j|= 0⇒ ∀|x_j|:|x_j|= 0.

(b) max_j=1,...,d|x_j| = max_j=1,...,d(|x_j|^p)^1p ≤ Pd

j=1|x_j|^p1_p

≤ Pd

j=1(max_k=1,...,d|x_k|)^p1_p

=

(max_k=1,...,d|x_k|)^pPd j=11_p¹

= (dmax_j=1,...,d|x_j|)^p)^1p =d^p1max_j=1,...,d|x_j|.

(c) q =∞: Wir benutzen (b). Dann C1 = ¹

d

1

p und C2 = 1.

q < ∞: Man kann die Aussage mit (b) beweisen. Falls Normen A und B ¨aquivalent sind und falls Normen B und C ¨aquivalent sind, dann auch sind NormenA und C ¨aquivalent, weil

k~xk_∞≤ k~xk_p ≤d^1pk~xk_∞, k~xk_∞≤ k~xk_q≤d^1qk~xk_∞, d^−1qk~xk_q≤ k~xk_p ≤d^1pk~xk_q.

http://www.math.kit.edu/iana1/lehre/hm1phys2017w/