UBUNGEN ZUR VARIATIONSRECHNUNG IM SS 2011¨ BLATT 6 (BESPRECHUNG AM 14. APRIL)
SABINE HITTMEIR
Aufgabe 1. L¨osen Sie folgendes Variationsproblem F(u) =
Z 1
0
u0(x)2dx→min
auf U ={u∈C1[0,1] :u(0) = 0, u(1) = 0} unter der Nebenbedingung Z 1
0
u(x)dx= 1
Hinweis: L¨osen Sie die Euler-Lagrange Gleichungen und argumentieren Sie mit der Konvexit¨at.
Aufgabe 2. Betrachten Sie das Variationsproblem:
F(u) = Z x2
x1
(u0(x)2+k(x)u(x)2)dx →min
mit k ∈ C[x1, x2] auf U = {u ∈ C1[x1, x2] : u(x1) = u(x2) = 0} unter der Nebenbedingung
Z x2
x1
u(x)2dx= 1
(i) Bestimmen Sie die L¨osung in C2(x1, x2)∩C1[x1, x2].
Hinweis: Die Euler-Lagrange Gleichungen ergeben ein Sturm- Liouvillesches Randwertproblem. Zeigen Sie, dass der erste Ei- genwert den Minimierer liefert.
(ii) Geben Sie die explizite L¨osung an f¨ur k≡0, x1 = 0, x2 =π.
Aufgabe 3. (H¨angendes Seil) Gesucht ist eine Funktionu(x), welche die Lage eines an den zwei Punkten (0, h) und (1, h) aufgeh¨angten Seils der L¨ange` unter dem Einfluß der Schwerkraft beschreibt. D.h. es sind h > 0 und ` > 1 gegeben. Das Prinzip der minimalen potentiellen Energie f¨uhrt auf folgendes Variationsproblem:
Z 1
0
u(x)p
1 +u0(x)2dx−→min, u(0) =u(1) =h,
sabine.hittmeir@tuwien.ac.at.
1
2 SABINE HITTMEIR
unter der Nebenbedingung Z 1
0
p1 +u0(x)2dx=`.
L¨osen Sie die Euler-Lagrange Gleichungen und bestimmen Sie die Pa- rameter. Dann kann man sehen, dass es zwei L¨osungen gibt, jedoch nur eine der beiden die physikalisch sinnvolle ist.
Bemerkung: Es wird angenommen, dass`undhso bestimmt sind, dass das Seil nicht den Boden ber¨uhrt, d.h. dass u >0 ist in [0,1].
Aufgabe 4. Es sei U =
f ∈L1(R) :f >0 f.¨u. und Z
R
f dx= 1
undg ∈Ugegeben. Wir betrachten aufU das (mathematische) Entropie- Funktional
E(f) = Z
R
f(x) log (f(x)/g(x))dx (i) Zeigen Sie, dass E nichtnegativ und konvex ist.
(ii) Geben Sie den Minimierer von E an.
(iii) Es sei nun die zus¨atzliche Nebenbedingung Z
R
|x|2f(x)dx = 1
gegeben. Nehmen Sie an, es gibt einen eindeutigen Minimierer.
Berechnen Sie diesen formal durch L¨osen der Euler-Lagrange Gleichung unter der Verwendung von zwei Lagrange-Mulitplikatoren.
