Analysis 3

Universität Bielefeld

Analysis 3 ^∗

Das vorliegende Skript basiert auf einer Mitschrift von Robin Beier.

Es handelt sich hierbei um eine durchgesehene Version, die bislang stel- lenweise korrigiert wurde.

Verbesserungsvorschläge, Anmerkungen und Kommentare jeder Art rich- ten Sie bitte mit dem Betreff Skript an

moritz.kassmann[at]uni-bielefeld.de

In Zukunft werden von Zeit zu Zeit neuere Versionen zum Download be- reitgestellt.

Vorlesungskript aus dem Wintersemester 2010/2011

Prof. Dr. Moritz Kaßmann Version 2.1 vom 28.02.2011

∗Skript erstellt von Robin Beier

Inhaltsverzeichnis

I. Maß- und Integrationstheorie 4

1. Maßtheorie 5

1.1. Motivation, das Maßproblem . . . 5

1.2. Ringe, Algebren,σ-Algebren . . . 6

1.3. Eigenschaften von Maßen . . . 11

1.4. Existenz- und Eindeutigkeitssätze . . . 15

1.5. Lebesgue-Maß . . . 22

2. Integrationstheorie 24 2.1. Messbare Abbildungen . . . 24

2.2. Das Lebesgue-Integral . . . 26

2.3. Konvergenzsätze der Integrationstheorie . . . 30

2.4. DieL^p-Räume . . . 36

2.5. Produktmaße, Sätze von Tonelli & Fubini . . . 42

2.6. Der Transformationssatz . . . 45

II. Elemente der Vektoranalysis 53 3. Differentialformen 54 3.1. 1-Formen und Kurvenintegrale . . . 54

3.2. Alternierende Differentialformen. . . 58

3.3. Integration von p-Formen über p-Flächen . . . 62

4. Integralsätze der Vektoranalysis 70 4.1. Integration über Untermannigfaltigkeiten. . . 70

4.2. Die Sätze von Gauß und Stokes . . . 77

Literaturverzeichnis 83

Teil I.

Maß- und Integrationstheorie

1. Maßtheorie

1.1. Motivation, das Maßproblem

Sei zunächstA⊂R^d. Wennm(A)das Maß einer beliebigen Teilmenge desR^dbezeichnet, so wollen wir folgende Eigenschaften sichergestellt wissen:

A, B⊂R^d, A∩B =∅ ⇒m(A∪B) =m(A) +m(B), (1) m(A) =m(ϕ(A)) für jedesA und jede Bewegungϕ(Definition siehe unten), (2)

m([0,1]×. . .×[0,1]

| {z }

d-mal

) = 1und m(∅) = 0. (3)

Definition. Sei(X, d)ein metrischer Raum.ϕ:X→Xheißt Bewegung ⇐⇒ d(x, y) = d(ϕ(x), ϕ(y)) für allex, y.

Satz (Hausdorff 1914). Es gibt im Fall d≥3 keine auf der Menge aller Teilmengen des R^d erklärte Funktion m mit nichtnegativen Werten, welche (1), (2) und (3) erfüllt.

Der folgende Satz wurde 1923 von Banach bewiesen:

Satz. Im Falld∈ {1,2} gibt es eine solche Funktion, aber sie ist nicht eindeutig (es gibt viele verschiedene).

Evtl. muss man mehr fordern, um die Eindeutigkeit herzustellen. Wir ersetzen (1) durch folgendes

Sei (An) eine Folge von Teilmengen desR^dmit Ai∩Aj =∅, fallsi6=j.

Dann giltm

∞

[

n=1

A_n

!

=

∞

X

n=1

m(A_n) (1’)

Dazu gibt es folgendes Resultat

Satz (Vitali 1925). Es gibt keinm mit (1’), (2) und (3) (d beliebig).

Ein sehr interessantes Resultat ist der folgende Satz von Banach & Tarski aus dem Jahr 1924:

6 1.2. Ringe, Algebren, σ-Algebren

Satz. Sei d ≥ 3. Seien A, B ⊂ R^d beschränkt mit nichtleerem Inneren. Dann gibt es Mengen M1, . . . , Mn⊂R^d und Bewegungen ϕ1, . . . , ϕn mit

(i) A=

n

[

i=1

Mi und Mi∩Mj =∅ für i6=j,

(ii) B =

n

[

i=1

ϕi(Mi) und ϕi(Mi)∩ϕj(Mj) =∅ für i6=j.

1.2. Ringe, Algebren, σ-Algebren

Definition 1.1. SeiΩeine nichtleere Menge. Eine MengeRvon Teilmengen vonΩheißt Ring, falls gilt

(i) ∅ ∈ R,

(ii) A, B∈ R ⇒A\B∈ R, (iii) A, B∈ R ⇒A∪B ∈ R.

Eine weitere Definition:

Definition 1.2. SeiΩeine nichtleere Menge. Eine MengeAvon Teilmengen vonΩheißt Algebra, falls gilt

(i) Ω∈ A,

(ii) A∈ A ⇒A^c∈ A, (iii) A, B∈ A ⇒A∪B∈ A.

Bemerkung. Jede Algebra ist ein Ring, denn mit A, B∈ Agilt A\B=A∩B^c= (A^c∪B)^c∈ A.

WennRein Ring auf Ωund Ω∈ R,so istR bereits eine Algebra, denn A^c= Ω\A∈ R.

Beispiel. (Ωirgendeine nichtleere Menge) – FürA⊂Ω ist{A,∅} ein Ring.

– FürA⊂Ω ist{A,∅} eine Algebra genau dann, wenn A= Ω.

– Die PotenzmengeP(Ω) ={A|A⊂Ω} ist eine Algebra auf Ω.

– Die Menge aller beschränkten Teilmengen vonRist ein Ring, aber keine Algebra.

– Die Menge aller offenen Teilmengen vonRbildet keinen Ring auf R.

Analysis 3 durchgesehene Version 2.1 vom 28.02.2011

1.2. Ringe, Algebren,σ-Algebren 7

Definition 1.3. SeiΩeine nichtleere Menge. Eine MengeRvon Teilmengen vonΩheißt σ-Ring, falls gilt

(i) ∅ ∈ R,

(ii) A, B∈ R ⇒A\B∈ R, (iii) (A_n)∈ R^N⇒S∞

i=1A_i ∈ R.

Die analoge Definition für eineσ-Algebra:

Definition 1.4. SeiΩeine nichtleere Menge. Eine MengeAvon Teilmengen vonΩheißt σ-Algebra, falls gilt

(i) Ω∈ A,

(ii) A∈ A ⇒A^c∈ A, (iii) (A_n)∈ A^N⇒S∞

i=1A_i ∈ A.

Satz 1.5. Seien A eineσ-Algebra auf Ω und (A_n) eine Folge in A. Dann (i)

∞

\

i=1

A_i ∈ A, (ii)

n→∞limAn:= lim sup

n→∞ An:=

∞

\

n=1

∞

[

k=n

Ak ∈ A, (iii)

n→∞limAn:= lim inf

n→∞ An:=

∞

[

n=1

∞

\

k=n

Ak∈ A.

Beweis. Zu (i):

∞

\

i=1

A_i = Ω\

∞

[

i=1

(Ω\A_i)

!

∈ A

Aus (i) folgen (ii) und (iii).

Definition 1.6. Die Folge(A_n) heißt konvergent, falls lim inf

n→∞ A_n= lim sup

n→∞

A_n.

In diesem Fall definiert man den Grenzwert der Folge (An)über

n→∞lim An= lim inf

n→∞ An

= lim sup

n→∞ An

.

8 1.2. Ringe, Algebren, σ-Algebren

Beispiel. Wir betrachten die Folge A_n=

x∈R² | kxk ≤1 + 1 n

. Dann

n→∞lim A_n=B₁(0)⊂R².

Ein weiteres Beispiel: Sei{q₁, q₂, . . .}ein abzählbare Folge vonQ∩[0,1]. Wir definieren A_n=

n

[

i=1

q_i−1

3 1

2ⁱ, q_i+1 3

1 2ⁱ

∩[0,1].

Die Folge(An) konvergiert, denn sie wächst monoton.

Allgemein gilt folgendes Lemma

Lemma 1.7. Sei(An) eine monotone Folge. Dann ist (An) konvergent, und es gilt (i) limn→∞A_n=S∞

n=1A_n, falls (A_n) monoton wächst, (ii) limn→∞An=T∞

n=1An, falls (An) monoton fällt.

Beweis. Übung.

Lemma 1.8. Eine Algebra ist genau dann eine σ-Algebra, wenn für jede konvergente Folge von Mengen aus A der Grenzwert wieder ein Element von A ist.

Beispiel. (i) Jede endliche Algebra ist eine σ-Algebra, (ii) P(Ω)ist eineσ-Algebra,

(iii) Ω ={1,2,3,4,5,6},A₁ ={{1,2,3},{4,5,6},Ω,∅}, A₂ ={{1},{2,3,4,5,6},Ω,∅}.

Definition 1.9. Ein Tupel (Ω,A) heißt Messraum, falls Ω nichtleere Menge und A σ- Algebra auf Ω.

Sei (A_i)_i∈I eine Familie von σ-Algebren auf einer gegebenen Menge Ω, wobei I eine beliebige (!) Indexmenge ist. Dann ist die Menge

\

i∈I

A_i={A | ∀i∈I :A∈ A_i} wieder eineσ-Algebra.

Definition 1.10. SeiE ⊂ P(Ω)eine Menge von Teilmengen vonΩ. Dann definiert

σ(E) = \

A⊃E Aσ-Alg. aufΩ

A

dievon E erzeugte σ-Algebra auf Ω.σ(E) ist die kleinste Algebra, welche E enthält.

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1.2. Ringe, Algebren,σ-Algebren 9

Bemerkung. DaP(Ω)eineσ-Algebra aufΩist, die E enthält, gilt stetsσ(E)6=∅.

Beispiel. Sei Ω ={1,2,3,4,5,6}. Dann

E={{2,4,6}} ⊂ P(Ω)⇒σ(E) ={∅,Ω,{2,4,6},{1,3,5}}.

Definition 1.11. Sei Ω eine nichtleere Menge. Eine Topologie auf Ω ist eine Menge T von Teilmengen von Ωmit den folgenden Eigenschaften:

(i) ∅,Ω∈ T,

(ii) O₁,O₂ ∈ T ⇒ O₁∩ O₂ ∈ T, (iii) Für eine bel. Indexmenge I gilt

∀i∈I:O_i ∈ T ⇒[

i∈I

O_i ∈ T.

Man nennt(Ω,T)in diesem Fall einen topologischen Raum.

Sei(X,T)ein topologischer Raum undY ⊂X. Dann ist{O ∩Y | O ∈ T }eine Topologie auf Y, die sog.Teilraumtopologie.

Beispiel. Sei (X, d)metrischer Raum.

O ⊂X offen ⇐⇒ ∀x∈ O ∃ε >0 : Bε(x)⊂ O.

SeiT ={O ⊂X, O offen in diesem Sinne}. Dann ist (X,T) ein topologischer Raum.

Definition 1.12. Sei(Ω,T) ein topologischer Raum. Dann bezeichnet B(Ω) :=σ(T)

die sog. Borel-σ-Algebra aufΩ.

Beispiel.

B(R) =σ({(a, b)⊂R|a < b}). Analog erhält man

B R^d

=σ ( _d

Y

i=1

(ai, bi)⊂R^d |ai< bi∀i )!

,

wobei Qd

i=1(a_i, b_i) = (a₁, b₁)×. . .×(a_d, b_d).

Bemerkung. Die Borel-σ-AlgebraB R^d

enthält neben allen offenen Mengen auch alle abgeschlossenen Teilmengen vonR^d, insbesondere also Mengen{x}mitx∈R^d. Dennoch ist B R^d

echt kleiner als P R^d .

10 1.2. Ringe, Algebren, σ-Algebren

Definition 1.13. SeiR^dwie üblich derd-dimensionale euklidische Raum, d.h. die Menge R^d zusammen mit der euklidischen Metrikd(x, y) =kx−yk₂. SeiT die vonderzeugte Topologie auf R^d.Dann heißtB R^d

=σ(T) dieBorel-σ-Algebra auf R^d.

Satz 1.14. Seien O,A,K die Mengen aller offenen, abgeschlossenen bzw. kompakten Teilmengen des R^d. Dann gilt:

B R^d

=σ(O) =σ(A) =σ(K).

Beweis. σ(K)⊂σ(A) offensichtlich, weil jede imR^dkompakte Menge auch abgeschlos- sen ist und somit K ⊂ A, also auch σ(K) ⊂σ(A). Wir zeigen nun σ(A) ⊂σ(K). Für A∈ Aundk∈N definieren wir

Ak =A∩Bk(0).

DannAk∈ K und

A= [

k∈N

A_k,

also A ⊂ σ(K) und σ(A) ⊂ σ(K). Die Identität σ(O) = σ(A) gilt aufgrund von Komplementbildung.

Es ist eine spannende Frage/Aufgabe, die kleinste (d.h. gröbste) bzw. einfachste Familie E ⊂ P R^d

zu suchen und explizit anzugeben, für welcheσ(E) =B R^d

gilt. Seien E^o={(a₁, b1)×. . .×(a_d, b_d) |ai, bi ∈R}

E^r={(a₁, b1]×. . .×(a_d, b_d]|ai, bi∈R} E^l={[a₁, b1)×. . .×[a_d, b_d) |ai, bi∈R} Eⁱ={[a₁, b1]×. . .×[a_d, b_d]|ai, bi ∈R}

undE^o,Q,E^r,Q,E^l,Q,E^i,Qdie Familien, bei welchen nur rationale Endpunkte der Intervalle betrachtet werden. Wir verwenden die Konvention

(a, b) = [a, b) =∅ ⇐⇒ b≤a I₁×. . .×Ik−1× ∅ ×I_k+1×. . .×I_d=∅ für bel. Intervalle I_j. Satz 1.15. Für jedes E wie oben gilt

σ(E) =B R^d

Beweis. Wegen

E^o,Q ⊂ E^o ⊂ O gilt

σ

E^o,Q

⊂σ(E^o)⊂σ(O)

Analysis 3 durchgesehene Version 2.1 vom 28.02.2011

1.3. Eigenschaften von Maßen 11

Zum Beweis der umgekehrten Inklusion betrachtet man eine bel. offene Menge O ∈ O.

Man zeigt dann

O =[ n

I ∈ E^o,Q |I ⊂O o

In der Vereinigung kommen nur abzählbar vieleI’s vor, also giltO∈σ E^o,Q

und somit auch

σ(O)⊂σ E^o,Q

.

1.3. Eigenschaften von Maßen

Definition 1.16. Seien Rein Ring und µ:R →[0,∞]mit µ(∅) = 0.

(i) µ heißt additiv (oder endlich additiv), falls für endich viele paarweise disjunkte MengenA₁, . . . , A_n∈ R gilt

µ





n

[

j=1

A_j



=

n

X

j=1

µ(A_j).

(ii) µ heißt σ-additiv und wird Prämaß genannt, falls für abzählbar viele paarweise disjunkte MengenA1, A2, . . .∈ R mit der EigenschaftS∞

j=1Aj ∈ Rgilt µ





∞

[

j=1

Aj



=

∞

X

j=1

µ(Aj)

(iii) Ist Reine σ-Algebra undµein Prämaß, so nennen wirµ einMaß.

Bevor wir verstehen können, was es mit ∞ in der Definition des Maßes auf sich hat, brauchen wir noch eine weitere Definition.

Definition 1.17. Sind Ω eine nichtleere Menge, A eine σ-Algebra auf Ω und µ: A → [0,∞]ein Maß, so nennt man das Tripel(Ω,A, µ) Maßraum.

Gilt zusätzlichµ(Ω) = 1, so heißtµWahrscheinlichkeitsmaß und(Ω,A, µ) Wahrschein- lichkeitsraum.

Bemerkung.

– Falls(Ω,A, µ)Wahrscheinlichkeitsraum, so heißen MengenA∈ AEreignisse.µ(A) bezeichnet dann die Wahrscheinlichkeit des Eintretens des EreignissesA.

Sei beispielsweise Ω = {1,2,3,4,5,6},A= P(Ω). Wir definieren ein Wahrschein- lichkeitsmaß µwie folgt

µ(A) = 1 6#A.

12 1.3. Eigenschaften von Maßen

– Die Menge[0,∞]wird über[0,∞] = [0,∞)∪ {∞}definiert, wobei die Ordnungsre- lationen und Verknüpfungen in offensichtlicher Weise fortgesetzt werden, also z.B.

∀a∈[0,∞) : a <∞, ∀a∈(0,∞] : a· ∞=∞.

– Beachte: Falls R bereits σ-Algebra, so ist in Definition 1.16(ii) die Forderung S∞

i=1A_i∈ R obsolet (hinfällig).

– Bei einem Maßraum(Ω,A, µ) sagt man oft vereinfacht „µist Maß auf Ω“, obwohl es korrekterweise lauten muss „µist Maß auf A“.

Beispiel. Sei Ωeine nichtleere Menge.

(i) Seiµ:P(Ω)→[0,∞]definiert definiert durchµ(∅) = 0undµ(A) = 1, fallsA6=∅.

Falls#Ω>1, so istµnicht additiv, also kein Maß.

(ii) µ:P(Ω)→[0,∞]sei definiert durchµ(∅) = 0undµ(A) =∞fürA6=∅. Dann ist µein Maß.

(iii) Sei A eineσ-Algebra undµ:A →[0,∞]definiert durch µ(A) =δx(A) =

(1, x∈A 0, x /∈A µbzw.δx heißtDirac-Maß im Punktx.

(iv) Das Zählmaßµ(A) = # (A) = #A, welches über µ(A) =

(Anzahl der Elemente von A ,falls diese endlich

∞ sonst

definiert ist, ist auf jeder σ-Algebra (auf jeder Menge) ein Maß.

Satz 1.18. Seien R ein Ring und µ:R →[0,∞] additiv.

(i) Falls A, B∈ R mitA⊂B so folgt µ(A)≤µ(B). (ii) Falls A₁, A₂, . . .∈ R paarweise disjunkt und S∞

j=1A_j ∈ R, so folgt µ





∞

[

j=1

A_j



≥

∞

X

j=1

µ(A_j).

(iii) Falls A1, A2, . . .∈ R und S∞

j=1Aj ∈ R, so folgt, fallsµ σ-additiv, µ





∞

[

j=1

Aj



≤

∞

X

j=1

µ(Aj).

Analysis 3 durchgesehene Version 2.1 vom 28.02.2011

1.3. Eigenschaften von Maßen 13

Bemerkung. Seien (Ω,A, µ) ein Maßraum und (A_n) eine Folge paarweise disjunkter Mengen ausA. Dann folgt aus obigem Satz

µ





∞

[

j=1

Aj



=

∞

X

j=1

µ(Aj),

was für ein Maß bereits per Definition gilt.

Beweis. Zu (i): B =A∪(B\A)⇒µ(B) =µ(A) +µ(B\A)≥µ(A).

Zu (ii): Sein∈N beliebig. Dann

∞

[

j=1

Aj ⊃

n

[

j=1

Aj. Mit (i) folgt

µ





∞

[

j=1

A_j



≥µ





n

[

j=1

A_j



=

n

X

j=1

µ(A_j). Dan∈Nbeliebig folgt (b) (evtl. ∞ ≥ ∞).

Zu (iii): Setze B1 =A1, B2 =A2\A₁, B3=A3\(A1∪A2) usw. Dann

∞

[

j=1

Aj =

∞

[

j=1

Bj

mit B_j alle disjunkt undB_j ∈ R, B_j ⊂A_j. Es folgt

µ





∞

[

j=1

Aj



=

∞

X

j=1

µ(Bj)

wg. (i)

≤

∞

X

j=1

µ(Aj).

Satz 1.19. Seien R ein Ring und µ:R →[0,∞] additiv. Für folgende Eigenschaften (i) µ istσ-additiv.

(ii) Für jede Folge (A_n) in Rmit A_i ⊂A_i+1 und A=S∞

j=1A_j ∈ R gilt µ(A) = lim

j→∞µ(A_j). (iii) Für jede Folge (A_n) in Rmit A_i ⊃A_i+1 und A=T∞

i=1A_i ∈ R gilt µ(A) = lim

j→∞µ(Aj). (iii*) wie (iii) mit zus. Vorausetzung µ(A₁)<∞.

14 1.3. Eigenschaften von Maßen

(iv) Für jede Folge (A_n) in Rmit A_i ⊃A_i+1 und T∞

j=1A_j =∅ gilt

j→∞lim µ(Aj) = 0.

gelten die folgenden Implikationen:

(i)^{ks +3}(ii)

&

EE EE EE EE

EE EE EE

EksE (iii)^{ks +3}

(iv)

(iii^∗) Man sollte sich insbesondere (iv)⇒(i) merken!

Beweis. (i)⇒(ii): Sei (An) eine Folge in R mit Ai ⊂Ai+1 ∀i und A= S∞

j=1Aj ∈ R.

Setze B₁ = A₁, B₂ = A₂\A₁, B₃ = A₃\(A₁∪A₂). . .. Dann A = S∞

j=1B_j, A_n = Sn

j=1Bj Bi∩Bj =∅ (i6=j) . µ(A) =

∞

X

j=1

µ(Bj) = lim

n→∞

n

X

j=1

µ(Bj) = lim

n→∞µ(An) (ii)⇒(i): Sei (Bn)_n eines disjunkte Folge in R mit S∞

j=1Bj ∈ R. Definiere An = B₁∪. . .∪B_n. Dann gilt A_n⊂A_n+1 und A=S∞

j=1B_j ∈ R. Mit der Vorgabe von (ii)

µ





∞

[

j=1

Bj



= lim

j→∞µ(Aj) = lim

j→∞µ

j

[

i=1

Bi

!

additiv

= lim

j→∞

j

X

i=1

µ(Bi) =

∞

X

i=1

µ(Bi).

(iii)⇒(iv): Klar.

(iv)⇒(iii): Seien A1, A2, . . . mit Ai ⊃Ai+1 und A=T∞

i=1Ai ∈ Rwie in (iii), auf die Folge A_n\A ist dann (iv) anwendbar, so dass

µ(Aj) =µ(Aj\A) +µ(A)^j→∞−→ µ(A) (iv)⇒(i) : Sei (A_n)_n eine disjunkte Folge in R mit A = S∞

j=1A_j ∈ R, auf die Folge Bn=S∞

j=nAj ist dann (iv) anwendbar, so dass µ(A) =µ





∞

[

j=1

A_j



=µ(A₁∪. . .∪An−1∪B_n) =

n−1

X

j=1

µ(A_j) +µ(B_n)

→

∞

X

j=1

µ(Aj)

Analysis 3 durchgesehene Version 2.1 vom 28.02.2011

1.4. Existenz- und Eindeutigkeitssätze 15

(ii)⇒(iii^∗): Setze B_n = A₁\A_n, so dass B₁ ^Ai⊃A⊂ⁱ⁺¹ B₂ ⊂ . . . und S∞

j=1B_j = A₁\A,.

Aus(ii)folgt daher µ(A1\A) =µ





∞

[

j=1

Bj





(ii)= lim

j→∞µ(Bj) = lim

j→∞µ(A1\A_j) Da alle µ(Aj) als endlich vorausgesetzt sind, gilt

µ(A1)−µ(A) =µ(A1)− lim

j→∞µ(Aj) ⇐⇒ µ(A) = lim

j→∞µ(Aj). Bemerkung. (ii) lässt sich wie folgt darstellen:

A_n%A⇒µ(A_n)%µ(A)

In dieser Schreibweise wird klar, dass dieσ-Additivität des Maßes eine Stetigkeitseigen- schaft ist.

1.4. Existenz- und Eindeutigkeitssätze

Wir wollen nun den Weg zumLebesgue-Maß auf dem R^deinschlagen.

Seiena, b∈R^d. Dann ist

((a, b]] = (a1, b1]×. . .×(ad, bd]

ein links offenes Hyperintervall (Quader). Unter einer Figur verstehen wir die endliche Vereinigung von Hyperintervallen. Sei

F^d=







n

[

j=1

((a^j, b^j]] : n∈N, a^j, b^j ∈R^d





 die Menge aller Figuren.

Lemma 1.20.

(i) Jede Figur in F^d kann als endliche Vereinigung disjunkter Quader dargestellt wer- den.

(ii) F^d ist ein Ring.

Auf dem RingF^d definieren wir eine Funktionλ, welche später zumLebesgue-Maß fort- gesetzt wird.

Definition 1.21. FürA∈ F^d, A=Sn

j=1((a^j, b^j]], ((a^j, b^j]]paarweise disjunkt, definieren wir

λ(A) =

n

X

j=1 d

Y

k=1

b^j_k−a^j_k

.

16 1.4. Existenz- und Eindeutigkeitssätze

Bemerkung. Man mache sich klar, dass λ(A) wohldefiniert ist für A∈ F^d, d.h. λ(A) ist unabhängig von der Darstellung durch die Quader, z.B. gilt

(0,2] = (0,1]∪(1,2] =

0,3 2 i

∪3 2,2

i . Lemma 1.22. λ:F^d→[0,∞) ist σ-additiv,λ ist also ein Prämaß.

Der Clou ist nun, dass man das Prämaß λ vom Ring der Figuren auf P R^d zu ei- nem äußeren Maß fortsetzen kann. Dieses äußere Maß ist kein richtiges Maß. Wenn man es aber auf die Menge der Lebesgue-messbaren Mengen oder stärker auf die Borel- messbaren Mengen einschränkt (welche beide eineσ-Algebra bilden), so ist dieses äußere Maß tatsächlich wieder σ-additiv, also ein Maß.

Wir führen dieses auf Caratheodory zurück gehende Verfahren im abstrakten Rahmen durch.

Definition 1.23. Eine Funktion µ^∗:P(Ω)→[0,∞]mit µ^∗(∅) = 0 heißt äußeres Maß, wenn

(i) A⊂B ⇒µ^∗(A)≤µ^∗(B) (ii) (A_n)∈Ω^N⇒µ^∗





∞

[

j=1

A_j



≤

∞

X

j=1

µ^∗(A_j)

Bevor wir lange nach Beispielen suchen (jedes Maß wäre natürlich eins), konstruieren wir ein äußeres Maß.

Satz 1.24. Seien Ω eine Menge, R ein Ring und µ:R → [0,∞] additiv. Definiere für A∈ P(Ω)

µ^∗(A) = inf ( _∞

X

i=1

µ(E_i) : (E_n)∈ R^N, A⊂

∞

[

i=1

E_i )

. Dann istµ^∗:P(Ω)→[0,∞]ein äußeres Maß.

Beweis. µ^∗(∅) = 0: klar. A ⊂ B ⇒ µ^∗(A) ≤ µ^∗(B): klar. Zum Nachweis von (ii):

Nehmen wir an µ^∗(A_j) <∞, sonst sowieso alles ok. Zu jedem j ∈ N, ε > 0 existieren MengenE_jⁱ ∈ R mit A_j ⊂S∞

i=1E_jⁱ und µ^∗(A_j) ≥P∞ i=1µ

Eⁱ_j

−2^−jε (wir ziehen von dem möglichen Infimum noch 2^−jεab). Es folgt S∞

j=1A_j ⊂S∞

i,j=1E_jⁱ und deswegen µ^∗





∞

[

j=1

A_j



≤

∞

X

i,j=1

µ E_jⁱ

≤

∞

X

j=1

µ^∗(A_j) + 2^−jε

=





∞

X

j=1

µ^∗(A_j)



+ε

Analysis 3 durchgesehene Version 2.1 vom 28.02.2011

1.4. Existenz- und Eindeutigkeitssätze 17

Wir haben benutzt, dass P∞

j=12^−j = 1. Mit dem Grenzübergang ε → 0 folgt die ge- wünschte Aussage.

Wie bereits angedeutet ist ein äußeres Maß im Allgemeinen kein Maß. Auf einer geeig- neten Teilmenge vonP(Ω)sind die Maßeigenschaften aber erfüllt.

Definition 1.25. Sei µ^∗:P(Ω) → [0,∞]ein äußeres Maß. Dann heißt A ∈ P(Ω) µ^∗- messbar, wenn gilt

∀Q⊂Ω : µ^∗(Q) =µ^∗(Q∩A) +µ^∗(Q∩A^c) (1.1) Die Menge aller µ^∗-messbaren Mengen bezeichnen wir mitMµ^∗.

Bemerkung. Für Ω = R^d und λ: F^d → [0,∞) wie oben ist M_λ^∗ die Menge der Lebesgue-messbaren Teilmengen des R^d.

Satz 1.26. Seiν:P(Ω)→ [0,∞] ein äußeres Maß. Dann sind Mν eine σ-Algebra und ν ein Maß aufMν.

Beweis. Beachte, dass in (1.1) immer “≤” gilt.

Schritt 1: Ziel ist zu zeigen, dass M_ν ein Ring ist. “A, B ∈M_ν ⇒A∪B ∈M_ν”, d.h. wir haben zu zeigen

∀Q⊂Ω ν(Q)≥ν(Q∩(A∪B)) +ν(Q∩(A∪B)^c) Es gilt

ν(Q∩(A∪B)) +ν(Q∩(A∪B)^c)

≤ν(Q∩A) +ν(Q∩(A^c∩B)) +ν(Q∩(A∪B)^c)

=ν(Q∩A) +ν((Q∩A^c)∩B) +ν((Q∩A^c)∩B^c)

B∈Mν

= ν(Q∩A) +ν(Q∩A^c)

A∈Mν

= ν(Q),

wobei die Ungleichung gilt, daν ein äußeres Maß ist und Q∩(A∪B) = (Q∩A)∪(Q∩A^c∩B). Also folgt

A∪B ∈M_ν.

Da mitM ∈Mν auch M^c∈Mν, gilt mit A, B∈Mν auch B\A=B∩A^c= (B^c∪A)^c∈M_ν. Somit istM_ν ein Ring.

18 1.4. Existenz- und Eindeutigkeitssätze

Schritt 2: SeienA₁, A₂, . . . , A_n∈M_ν paarweise disjunkt. Dann gilt für Q⊂Ω ν



Q∩

n

[

j=1

A_j



=

n

X

j=1

ν(Q∩A_i) (1.2)

Wir zeigen (1.2) fürn= 2. SeienA, B ∈M_ν mit A∩B =∅. Dann ν(Q∩(A∪B)

| {z }

Q⁰

) =ν(Q∩(A∪B)

| {z }

Q⁰

∩A) +ν(Q∩(A∪B)

| {z }

Q⁰

∩A^c)

=ν((Q∩A∩A

| {z }

Q∩A

)∪(Q∩B∩A

| {z }

∅

)) +ν((Q∩A∩A^c

| {z }

∅

)∪(Q∩B∩A^c

| {z }

B

)

=ν(Q∩A) +ν(Q∩B)

Damit ist (1.2) gezeigt für n= 2 und nach Induktion für jedesn.

Schritt 3: Wir zeigen, dassν σ-additiv aufMν ist. SeienAn∈Mν undAn alle paarweise disjunkt. Wir zeigen zunächst

∞

[

j=1

Aj ∈Mν. Es gilt wegen (1.2) undS_n

j=1A_j ∈M_ν für Q∈M_ν und n∈N ν(Q) =ν



Q∩

n

[

j=1

A_j



+ν



Q∩





n

[

j=1

A_j





c



≥

n

X

j=1

ν(Q∩Aj) +ν



Q∩





∞

[

j=1

Aj





c

 Dan∈N beliebig war, folgt

ν(Q)≥ν



Q∩

∞

[

j=1

Aj



+ν



Q∩





∞

[

j=1

Aj





c

 alsoS∞

j=1A_j ∈M_ν (das “≤” gilt sowieso). Damit gilt hier “=” und somit, wenn manQ=S∞

j=1A_j wählt, ν





∞

[

j=1

A_j



=

∞

X

j=1

ν

∞

[

k=1

A_k∩A_j

!

=

∞

X

j=1

ν(A_j). ν ist damit σ-additiv.

Analysis 3 durchgesehene Version 2.1 vom 28.02.2011

1.4. Existenz- und Eindeutigkeitssätze 19

Schritt 4: (M_ν in der Tatσ-Algebra) Sei(B_n)∈M_ν^N. Setze A₁ =B₁, A₂ =B₂\B₁, A₃= B3\(B1∪B2)usw. Damit (An) paarweise disjunkt und

∞

[

j=1

B_j =

∞

[

j=1

A_j ∈M_ν (Schritt 3).

Der Beweis ist vollständig.

Satz 1.27 (Fortsetzungssatz von Caratheodory). Seien R ⊂ P(Ω) ein Ring, µ: R → [0,∞] ein Prämaß und µ^∗: P(Ω)→ [0,∞] das zugehörige äußere Maß. Dann gilt R ⊂ M_µ^∗ und

∀A∈ R:µ^∗(A) =µ(A) (1.3)

Das Prämaßµ kann also zu einem Maß auf σ(R) bzw. zu einem Maß auf M_µ^∗⊃σ(R) fortgesetzt werden.

Beweis. Zunächst zeigen wir (1.3). Es gilt “≤” in (1.3), da die Folge A,∅,∅, . . . eine zulässige Überdeckung vonAist. O.B.d.A.µ^∗(A)<∞, sonst Aussage ok. Sei(An)∈ R^N mit A⊂S∞

j=1Aj. Dann

A=

∞

[

j=1

(Aj∩A) und mit Satz1.18

µ(A)≤

∞

X

j=1

µ(A∩A_j)≤

∞

X

j=1

µ(A_j), da µ σ-additiv. Nach Definition vonµ^∗(A)folgt µ(A)≤µ^∗(A).

Wir zeigen nun R ⊂M_µ^∗. Seien A∈ R, Q⊂Ω. Zu zeigen:

µ^∗(Q)≥µ^∗(Q∩A) +µ^∗(Q∩A^c).

Wieder o.B.d.Aµ^∗(Q)<∞ angenommen. Sei (An)∈ R^N mitQ⊂S∞

j=1Aj, dann gilt Q∩A⊂

∞

[

j=1

(A_j ∩A), (1.4)

Q∩A^c⊂

∞

[

j=1

(A_j∩A^c) =

∞

[

j=1

(A_j\A). (1.5)

Damit folgt nun

∞

X

j=1

µ(A_j) =

∞

X

j=1

µ(A_j∩A) +

∞

X

j=1

µ(A_j∩A^c)≥µ^∗(Q∩A) +µ^∗(Q∩A^c). Nach Definition vonµ^∗(Q)als Infinium nun auchµ^∗(Q)≥µ^∗(Q∩A) +µ^∗(Q∩A^c).

20 1.4. Existenz- und Eindeutigkeitssätze

Satz 1.28. Seien µ und ν Maße auf einer σ-Algebra A auf Ω, welche auf einem durch- schnittsstabilen Erzeuger E ⊂ P(Ω) übereinstimmen. µ und ν seien auf E σ-endlich.

Dann gilt

µ=ν

Definition 1.29. Ein Mengensystem E ⊂ P(Ω)heißt durchschnittsstabil, wenn gilt A, B∈ E ⇒A∩B ∈ E.

Definition 1.30. Seien E ⊂ P(Ω)ein Mengensystem und µ:E →[0,∞]. Dann heißt µ σ-endlich, wenn es eine Folge (An)∈ E^N gibt mit

∀i: (µ(A_i)<∞ , A_i ⊂A_i+1), Ω =

∞

[

i=1

A_i.

Beispiel.

– Jedes endliche Maß istσ-endlich (wähleA_i = Ω)

– # istσ-endlich auf P(Q), da Qabzählbar. # bezeichnet das Zählmaß

– F¹ ∩Q ist ein Erzeuger von P(Q), aber # ist nicht σ-endlich auf F¹ ∩Q. Da

# (A) =∞ für A∈ F¹∩Q Beispiele für Nicht-Eindeutigkeit:

– Sei R ⊂ P(R) der Ring aller Teilmengen von R mit endlichen vielen Elemen- ten (Punkten). σ(R) ist die σ-Algebra derjenigen Mengen, welche höchstens ab- zählbar sind oder deren Komplemente höchstens abzählbar sind. Seien µ: R → [0,∞], µ(A) = 0∀A∈ R und fürr ∈[0,∞]beliebig setze

µr:σ(R)→[0,∞], µ_r(A) =

(0, fallsAhöchstens abzählbar, r, fallsAüberabzählbar.

Dann ist jedes µ_r ein Maß und eine Fortsetzung von µ auf σ(R). µ_r ist nicht σ- endlich aufR,denn Rkann nicht als Vereinigung von Mengen mit endlichen vielen Elementen dargestellt werden.

– # und 2# sind beides Maße aufP(Q), aber sie stimmen auf dem ErzeugerF₁∩Q überein (dort unendlich).

Definition 1.31. Ein Mengensystem E ⊂ P(Ω)mit den Eigenschaften (i) ∅ ∈ E,

(ii) A∈ E ⇒A^c∈ E,

(iii) (An)∈ E^N mit Ai∩Aj =∅ für allei6=j⇒

∞

[

j=1

Aj ∈ E. heißt Dynkin-System.

Analysis 3 durchgesehene Version 2.1 vom 28.02.2011

1.4. Existenz- und Eindeutigkeitssätze 21

Bemerkung. Jede σ-Algebra ist ein Dynkin-System. Zu einem gegebenen E ⊂ P(Ω) bezeichnet

D(E) =\

{A | A ⊃ E, ADynkin-System}

das kleinste Dynkin-System, welchesE umfasst.

Lemma 1.32. SeiD ein Dynkin-System. Dann gelten (i) (D1, D2∈ D, D₁ ⊂D2)⇒D2\D₁ ∈ D,

(ii) D durchschnittsstabil⇒ D bereits σ-Algebra.

Beweis. Einfach.

Lemma 1.33. SeiE ⊂ P(Ω)durchschnittsstabil. Dann gelten (i) D(E) ist ebenfalls durchschnittsstabil,

(ii) σ(E) =D(E).

Die zweite Aussage ist besonders wichtig!!!

Beweis. σ(E) ⊃ D(E) gilt nach Definition von D(E) (es gibt mehr Dynkin-Systeme).

Die Inklusionσ(E)⊂ D(E) folgt aus (i) und1.32(ii) und σ(E) kleinsteσ-Algebra.

Wir haben noch (i) zu zeigen. Wir zeigen

D(E)⊂ D_D ={Q∈ D(E) |Q∩D∈ D(E)} für jedes D∈ D(E).

Die umgekehrte Inklusion „⊃“ gilt bereits nach Definition.

Sei nunD∈ D(E) beliebig.D_D ist ein Dynkin-System (kein Problem). UmD(E)⊂ D_D zu zeigen, ist es also ausreichend,E ⊂ D_D zu zeigen. Definiere

D={D∈ D(E) | E ⊂ D_D}.

Es genügt nun zu zeigen D(E) ⊂ D. D selbst ist ein Dynkin-System und D ⊃ E, da E durchschnittsstabil. Es gilt alsoD(E)⊂ Dund damit ist (i) bewiesen.

Korollar 1.34. SeiE ⊂ P(Ω) durchschnittsstabiler Erzeuger derσ-Algebra A ⊂ P(Ω).

Seien µ und ν endliche Maße, welche auf E ∪ {Ω} übereinstimmen. Dann ist µ≡ν auf A.

Beweis. Setze

D={A∈ A | µ(A) =ν(A)}.

Wir wissen E ⊂ D.D ist Dynkin-System (beachte die Endlichkeit von µund ν); es gilt also D(E)⊂ D. Mit Hilfe von Lemma 1.33(ii) erhalten wir

A=σ(E) =D(E)⊂ D ⊂ A, also D=A, woraus sich nun die Behauptung ergibt.

22 1.5. Lebesgue-Maß

Kommen wir nun zum Beweis des Eindeutigkeitssatzes:

Beweis von Satz1.28. Sei (En) ∈ E^N mit Ei ⊂ Ei+1, µ(Ei) < ∞ für jedes i und S∞

j=1Ej = Ω. Es gilt µ(Ei) =ν(Ei) für allei(Vorgabe). Für A∈ Asetze µn(A) =µ(A∩En) νn(A) =ν(A∩En)

µ_n undν_n sind endliche Maße, alsoµ_n=ν_n für allen. Außerdem µ(A) = lim

n→∞µ(A∩En) = lim

n→∞ν(A∩En) =ν(A).

1.5. Lebesgue-Maß

Mit Hilfe der Existenz- und Eindeutigkeitsätze über Forsetzungen können wir nun das Lebesgue-Maß definieren:

Definition 1.35. Das Lebesgue-Maßλ^d:B R^d

→[0,∞]ist dasjenige eindeutige Maß, welches man als Fortsetzung des Prämaßesλ:F^d→[0,∞)(siehe Definition1.21) erhält.

Es gilt also fürA∈ B R^d λ^d(A) = inf







∞

X

j=1

λ(I_j) : I_j = ((a^j, b^j]] : a^j, b^j ∈R^d, A⊂

∞

[

j=1

I_j





 Bemerkung. Oft spricht man auch beiλ^d:B R^d

→ [0,∞]vom Lebesgue-Borel-Maß und bezeichnet als Lebesgue-Maß dasjenige eindeutige Maßλ^d:M_λ^∗ R^d

→[0,∞], wel- ches man ebenfalls als Fortsetzung erhält. In diesem Sinne ist das Lebesgue-Borel-Maß eine Einschränkung des Lebesgue-Maßes.

Es gilt

B R^d

$M_λ^∗ R^d

$P R^d

,

wobei der Nachweis der “6=”-Relationen – insbesondere der zweiten – jeweils recht knifflig ist.

Ein Maßraum (Ω,A, µ) heißt vollständig, falls jede Teilmenge einer Menge A ∈ A mit µ(A) = 0(“Nullmenge”) selbst Element vonAist. R^d,B R^d

, λ^d

ist nicht vollständig, wohl aber R^d, M_λ^∗ R^d

, λ^d

. Außerdem:

– Mächtigkeit(B R^d

)=Mächtigkeit(R^d) – Mächtigkeit(M_λ^∗ R^d

)=Mächtigkeit(P R^d )

Was ist nun λ([a, b])? Für I = [a, b] setzen wir I_n = a−_n¹, b

und erhalten mit den bekannten Sätzen

λ(I) =λ

∞

\

n=1

I_n

!

= lim

n→∞λ(I_n) = lim

n→∞

b−

a− 1

n

=b−a.

Analysis 3 durchgesehene Version 2.1 vom 28.02.2011

1.5. Lebesgue-Maß 23

Satz 1.36. Das Lebesgue-Maß kann wie folgt charakterisiert werden:

(i) Für x∈R^d und A∈ B R^d gilt

λ^d(x+A) =λ(A). (Translationsinvarianz) (ii) Sei µ:B R^d

→[0,∞]ein Maß mit µ (0,1]^d

<∞und Eigenschaft (i). Dann gilt mitm=µ (0,1]^d

∀A∈ B(R^d) :µ(A) =mλ^d (0,1]^d

. Bemerkung.

x+A= n

y ∈R^d | ∃a∈A:y =x+a o

Beweis. zu (i): µ:B R^d

→[0,∞]; A7→µ(A) =λ^d(x+A)

∀A∈ F^d:µ(A) =λ^d(x+A) =λ^d(A). Die Eindeutigkeit der Fortsetzung liefert die Behauptung von (i).

zu (ii): Man zeigt, dass für Quader der Form((a, b]]mit a, b∈n

x∈R^d|∀i∈ {1, . . . , d} ∃k, n∈Z:x_i =k2ⁿo µund mλ^dübereinstimmen und dass diese B R^d

erzeugen.

Ein weiterer Satz

Satz 1.37. Für jedes A∈ B R^d gilt λ^d(A) = infn

λ^d(O)|A⊂ O,O ⊂R^d offeno

= sup n

λ^d(M)|M ⊂A, M ⊂R^d kompakt o

.

2. Integrationstheorie

2.1. Messbare Abbildungen

Vorbemerkung: Wir definieren die Menge R¯ = [−∞,∞] über R¯ = R∪ {−∞,∞}. Das Mengensystem

A∈ P R¯

|∃B ∈ B(R) ∃E ⊂ {−∞,∞}:A=B∪E

ist eineσ-Algebra aufR¯ und wird Borelsche σ-Algebra genannt. Diese wird z.B. erzeugt durch Mengen der Form

[−∞, a] oder [−∞, a) für a∈R.

Zunächst legen wir fest, welche Funktionen wir überhaupt integrieren wollen:

Definition 2.1. Seien(Ω,A),(Ω⁰,A⁰) Messräume. Dann heißtf: Ω→Ω⁰ messbar, falls gilt

∀A⁰∈ A⁰ : f⁻¹ A⁰

=

x∈Ω|f(x)∈A⁰ ∈ A

Bemerkung. Eigentlich müsste man ein solchesf A-A⁰ messbar nennen, d.h. die betei- ligtenσ-Algebren mit notieren.

Bemerkung.

(i) Für A=P(Ω)ist jede Funktionf: Ω→Ω⁰ messbar

(ii) Wennf: (Ω,A)→(Ω⁰,A⁰) messbar und g: (Ω⁰,A⁰)→(Ω⁰⁰,A⁰⁰) messbar, so folgt, dass(g◦f) : (Ω,A)→(Ω⁰⁰,A⁰⁰) messbar.

(iii) Sei E Erzeuger vonA⁰ und es gelte:∀A⁰ ∈ E :f⁻¹(A⁰)∈ A. Dann istf bereitsA - A⁰ messbar. Denn

A⁰ ∈ A⁰:f⁻¹ A⁰

∈ A

ist eineσ-Algebra (vgl. Übungsaufgabe I.1.d) und enthältE.

(iv) Seien (Ω,T) und (Ω⁰,T⁰) topologische Räume und f: Ω → Ω⁰ stetig. Dann ist f σ(T)-σ(T⁰) messbar.

2.1. Messbare Abbildungen 25

Lemma 2.2. Die folgenden Aussagen sind fürf: (Ω,A)→R¯ äquivalent (i) ∀a∈R:{x∈Ω| f(x)> a} ∈ A

(ii) ∀a∈R:{x∈Ω| f(x)≥a} ∈ A (iii) ∀a∈R:{x∈Ω| f(x)< a} ∈ A (iv) ∀a∈R:{x∈Ω| f(x)≤a} ∈ A Beweis. vgl. Übungsaufgabe IV.2.

Folgende Eigenschaften sind häufig sehr hilfreich:

Lemma 2.3.

(i) Sei f: (Ω,A)→R¯ messbar. Dann sind auch−f,|f|: (Ω,A)→R¯ messbar.

(ii) Sei (fn) eine Folge messbarer Funktionen fn: (Ω,A) → R¯. Dann sind auch die durch

a) g₁(x) = infn∈Nf_n(x) b) g2(x) = sup_n∈Nfn(x) c) g₃(x) = lim infn→∞f_n(x) d) g4(x) = lim sup_n→∞fn(x)

definierten Funktionen gi: (Ω,A)→R¯ messbar.

(iii) Seien f, g: (Ω,A)→R¯ messbar. Dann sind auch

min{f, g}, max{f, g}, f+g, f g messbar, insbesondere auch f⁺= max{f,0} und f⁻=−min{f,0}

Beweis. zu (i)

{x∈Ω| −f(x)> a}={x∈Ω|f(x)<−a} ∈ A wegen Lemma2.2

{x∈Ω | |f(x)|< a}={x∈Ω|f(x)< a} ∩ {x∈Ω|f(x)>−a} ∈ A wegen Lemma2.2und Aσ-Algebra

zu (ii) Übung

zu (iii) Zunächst zeigen wir, dassf² messbar.

x∈Ω|f²(x)< a =

x∈Ω|f(x)<√ a ∩

x∈Ω |f(x)>−√ a alsof² messbar (nach Lemma 2.2). Betrachten wir nun die Menge

{x∈Ω|f(x) +g(x)< a}= [

r∈Q

({x|f(x)< r} ∩ {x|g(x)< a−r})

26 2.2. Das Lebesgue-Integral

alsof +g messbar. Die Funktionf gist messbar, denn (f g) (x) = 1

4

(f(x) +g(x))²−(f(x)−g(x))² und dies ist eine Verkettung von messbaren Funktionen.

Beachte

max (f(x), g(x)) =f(x)∨g(x) = 1

2(f(x) +g(x)) +|f(x)−g(x)|) und

min (f(x), g(x)) =f(x)∧g(x) = 1

2(f(x) +g(x)− |f(x)−g(x)|). Als Verkettung messbarer Funktion sind diese wieder messbar.

2.2. Das Lebesgue-Integral

Definition 2.4. Eine Funktion s: (Ω,A, µ) → R heißt Treppenfunktion (Elementar- funktion), falls sie endlich viele Werte annimmt. Jede solche Funktion lässt sich schreiben in der Form

s(x) =

n

X

i=1

ci1Ai(x)

wobeici∈RundAi ⊂Ω(zumeistAi ∈ A) mitAi∩Aj =∅für i6=j. Man spricht dann von einer Darstellung inNormalform.¹

Hierbei bezeichet wie üblich 1Adie durch 1A(x) =

(1, x∈A, 0, x /∈A definierte Indikatorfunktion.

Bemerkung. Die Darstellung vonsist natürlich nicht eindeutig.sist genau dann mess- bar, wennA_i∈ Afür jedesi.

Beispiel.

s:R→R; s(x) =−21(−2,0)∪(0,1)(x) + 31{0}(x) + 1[1,∞)(x)

Satz 2.5. Sei f: (Ω,A, µ) →R. Dann existiert eine Folge (s_n) von Treppenfunktionen mit

∀x∈Ω : sn(x)→f(x), n→ ∞

Wenn f messbar, dann können die sn als messbar gewählt werden. Wenn f ≥ 0, dann kann (s_n) als wachsende Folge gewählt werden.

1In der Vorlesung wurde der Begriff „Normalform“ unpräzise verwendet.

Analysis 3 durchgesehene Version 2.1 vom 28.02.2011

2.2. Das Lebesgue-Integral 27

Beweis. Seif ≥0. Fürn∈Nund i∈ {1,2,3, ..., n2ⁿ} und setze An,i=

x∈Ω| i−1

2ⁿ ≤f(x)< i 2ⁿ

, Fn={x∈Ω|f(x)≥n}

und

s_n(x) =

n2ⁿ

X

i=1

i−1

2ⁿ 1An,i(x)

!

+n1Fn(x)

⇒sn(x)→f(x), sn(x)≤sn+1(x)

Falls nichtf ≥0, setzef =f⁺−f⁻ und wende Verfahren auff⁺, f⁻ an.

Definition 2.6. Sei f: (Ω,A, µ) → R¯ messbar und nichtnegativ, und A ∈ A. Dann definieren wir

ˆ

A

f(x)dµ(x) = sup{I_A(s) |sTreppenfunktion und 0≤s≤f inA}, wobei

I_A(s) =

n

X

i=1

c_iµ(A∩A_i)

und ci, Ai wie in Definition 2.4. Das so definierte Integral kann den Wert unendlich

annehmen. Wir nennen ˆ

A

f(x)dµ(x)

das Integral vonf auf der Menge A bzgl. des Maßesµ. Schreibweise oft auch ˆ

A

f dµ .

Zuletzt noch die Erweiterung für Funktionen, welche auch negative Werte annimmt.

Lemma 2.7. Sei s: Ω → [0,∞) eine messbare nichtnegative Treppenfunktion mit den beiden Darstellungen in Normalform

s(x) =

m

X

j=1

b_j1Bj(x) =

n

X

i=1

c_i1Ai(x).

Dann gilt

I_Ω(s) =

m

X

j=1

b_jµ(B_j) =

n

X

i=1

c_iµ(A_i).

„Der Wert des Integrals einer Treppenfunktion ist unabhängig von der Darstellung der- selben.“

28 2.2. Das Lebesgue-Integral

Beweis. SeiA₀ = Ω\Sn

i=1A_i, B₀ = Ω\Sm

j=1B_j. Dann ist Ω =

n

[

i=0

Ai =

m

[

j=0

Bj. Es folgt für jedesi undj

Ai =

m

[

j=0

(Ai∩Bj), Bj =

n

[

i=0

(Bj ∩Ai) mit

(A_i∩B_j)∩(A_i∩B_l) =∅ j6=l, (B_j∩A_i)∩(B_j ∩A_k) =∅ i6=k.

Daµadditiv

µ(Ai) =

m

X

j=0

µ(Ai∩Bj), (2.1)

µ(Bj) =

n

X

i=0

µ(Bj∩Ai). (2.2)

für alle i, j. Mitc₀ =b₀ = 0 und (falls nötig) 0· ∞= 0.

n

X

i=0

ciµ(Ai)^(2.1)=

n

X

i=0

ci m

X

j=0

µ(Ai∩Bj) =

n

X

i=0 m

X

j=0

ciµ(Ai∩Bj)

m

X

j=0

biµ(Bj)^(2.2)=

m

X

j=0

bj n

X

i=0

µ(Bj ∩Ai) =

n

X

i=0 m

X

j=0

bjµ(Ai∩Bj) Für jeden der(n+ 1) (m+ 1)Summanden beachtet man:

– fallsµ(A_i∩B_j) = 0, dann kein Beitrag,

– fallsµ(Ai∩Bj)>0, dann ci =bj, da sAi∩B_j=ci =bj, wegen Wohldefiniertheit von s. Die Indizes i=j= 0 können weggelassen werden.

Definition 2.8. Seien(Ω,A, µ)ein Maßraum,A∈ A,f: Ω→R¯ messbar. Man nenntf integrabel (im Sinne von Lebesgue) überA, falls die beiden Ausdrücke

ˆ

A

f⁺dµ, ˆ

A

f⁻dµ endlich sind und definiert

ˆ

A

f dµ= ˆ

A

f⁺dµ− ˆ

A

f⁻dµ.

Die Menge aller integrablen Funktionen überA bezeichnet man mit L¹(A).

Analysis 3 durchgesehene Version 2.1 vom 28.02.2011

2.2. Das Lebesgue-Integral 29

Bemerkung.

(i) Später sehen wir, dass die MengeL¹(A)mit einer Norm versehen zu einem Banach- Raum gemacht werden kann.

(ii) L¹ R^d

bezeichnet die Menge (den Banach-Raum, siehe (i)) aller B R^d

− B R¯ - messbaren Funktionen, für welche

ˆ

R^d

f⁺dλ^d, ˆ

R^d

f⁻dλ^d endlich sind.

Mögliche Notation für Ω⊂R^d : ˆ

Ω

f dλ^d, ˆ

Ω

f(x)dλ^d(x), ˆ

Ω

f dλ, ˆ

Ω

f(x)dλ(x), ˆ

Ω

f(x)dx Lemma 2.9. Seien (Ω,A, µ) ein Maßraum, A∈ A.

(i) f:A→R¯ messbar,sup_x|f(x)|<∞, µ(A)<∞ ⇒f ∈L¹(A) (ii) µ(A)<∞, ∀x∈A: a≤f(x)≤b⇒aµ(A)≤´

Af µ≤bµ(A) (iii) f ∈L¹(A), c∈R⇒cf ∈L¹(A) und ´

Acf dµ=c´

Af dµ (iv) f, g∈L¹(A), ∀x∈A: f(x)≤g(x)⇒´

Af dµ≤´

Agdµ (v) f ∈L¹(A), A 3A⁰⊂A⇒f ∈L¹(A⁰)

(vi) µ(A) = 0, f ∈L¹(A)⇒´

Af dµ= 0

Beweis. Man beweist (i)-(vi), indem man die Aussagen für Treppenfunktionen beweist (Übungsaufgabe) und dann für allgemeine Funktionen f und g durch Approximation.

(z.B. in einer mündlichen Prüfung).

Bemerkung. Nochnicht bewiesen ist:

f, g∈L¹(A)⇒ ˆ

A

(f +g)dµ= ˆ

A

f dµ+ ˆ

A

gdµ

Satz 2.10. Seien (Ω,A, µ) ein Maßraum und f: Ω→[0,∞]messbar und nichtnegativ.

Dann ist die Abbildung

ν:A →[0,∞]; ν(A) = ˆ

A

f dµ ein Maß.

Beweis. Sei(An)∈ A^Nund dieAnseien paarweise disjunkt. Zu zeigen ist nur noch (alles andere klar) mit A=S∞

n=1A_n die Eigenschaft ν(A) =

∞

X

n=1

ν(A_n).

30 2.3. Konvergenzsätze der Integrationstheorie

Zunächst gilt die Behauptung für Funktionen f des Typs f = 1E mit einer Menge E ∈ A. Dann ist

ν(B) = ˆ

B

1Edµ=µ(E∩B)

Die AbbildungA →[0,∞]; B 7→ µ(E∩B) ist ein Maß, da µMaß und insbesondere µ σ-additiv.

Sei nunf eine allgemeine Funktion, messbar und nichtnegativ.

2.3. Konvergenzsätze der Integrationstheorie

Die Vorlesung

vom 17.11. fehlt Satz 2.11 (Satz von Beppo Levi).

Satz 2.12 (Lemma von Fatou).

Wir können nun (endlich) die Linearität des Lebesgue-Integrals beweisen.

Satz 2.13. Sei (Ω,A, µ) ein Maßraum. Dann gilt ˆ

Ω

(f +g)dµ= ˆ

Ω

f dµ+ ˆ

Ω

gdµ

Beweis. Die Aussage ist bereits bewiesen für Treppenfunktionen. Zunächst geltef, g≥0.

Seien(s^fn)und(s^gn)Folgen von approximierenden Treppenfunktionen wie in Satz2.5, d.h.

insbesondere wachsend. Setze nunsn=s^fn+s^gn. Da(sn)ebenfalls wachsend ˆ

Ω

sndµ= ˆ

Ω

s^f_ndµ+ ˆ

Ω

s^g_ndµ mit dem Satz von Beppo Levi folgt

ˆ

Ω

(f+g)dµ= ˆ

Ω

f dµ+ ˆ

Ω

gdµ Sei nunf ≥0,g≤0. Setze

A={x∈Ω| (f +g) (x)≥0} und B={x∈Ω | (f+g) (x)≤0}. Dann (da Integration linear für nichtnegative Funktionen wie eben gezeigt)

ˆ

A

f dµ= ˆ

A

(f+g) dµ+ ˆ

A

(−g) dµ ˆ

B

(−g) dµ= ˆ

B

−(f+g) dµ+ ˆ

B

f dµ

⇒ ˆ

A

f dµ+ ˆ

B

f dµ= ˆ

A

(f+g) dµ+ ˆ

B

(f+g) dµ− ˆ

A

g dµ− ˆ

B

g dµ ˆ

Ω

f dµ= ˆ

Ω

(f +g) dµ− ˆ

Ω

g dµ Die übrigen Fälle beweist man analog.

Analysis 3 durchgesehene Version 2.1 vom 28.02.2011