Aufgabe 4.1 – Landau Pol im Standardmodell (5 Punkte)

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Quantenfeldtheorie II SS 15 Prof. Jan Plefka Ubungsblatt 4 ¨

Abgabe Mittwoch 03.06 nach der Vorlesung – Besprechung am Freitag 05.06

Aufgabe 4.1 – Landau Pol im Standardmodell (5 Punkte)

Was ist die Position des Landau Pols der QED, wenn Sie die Beitr¨age aller Fermionen im Standardmodell, d.h. Elektronen, Muonen und Tauonen (mit Ladung Q = − 1), sowie neun up-artige Quarks (3 Farben mal 3 Familien) mit Ladungen Q = 2/3 sowie neun down-artige Quarks mit Ladungen Q = − 1/3, hinzunehmen?

Aufgabe 4.2 – Vakuumpolarisation in skalarer QED (10 Punkte)

Betrachten Sie die Theorie eines komplexen Skalarfeldes φ, welches an das elektromagni- sche Feld A

µ

gekoppelt ist. Die Lagrangedichte ist

L = −

¹

4

F

µν

F

^µν

+ (D

µ

φ)

^∗

(D

^µ

φ) − m

²

φ

^∗

φ wobei D

µ

= ∂

µ

+ ieA

µ

die eichkovariante Ableitung ist.

a) ¨ Uberpr¨ufen Sie mit Hilfe des Pfadintegrals, dass der Propagator des komplexen Ska- larfeldes sich nicht von dem des reellen Feldes

p = i

p

²

− m

²

+ iε

unterscheidet. Vergewissern Sie sich ferners, dass die Feynmanregeln der Wechselwir- kungen zwischen Photonen und skalaren Teilchen durch

p p

^′

µ = − ie(p + p

^′

)

^µ

,

µ ν

= 2ie

²

g

^µν

gegeben sind.

b) Berechnen Sie unter Verwendung obiger Feynmanregeln den Beitrag des geladenen Skalars zur Vakuumpolarisation des Photons mittels dimensionaler Regularisierung.

Beachten Sie, dass in der skalaren

QED

zwei Diagramme existieren. Um die erwartete Form des Ergebnisses

Π

^µν

(q) = (g

^µν

q

²

− q

^µ

q

^ν

)Π(q

²

)

zu erhalten, ist es hilfreich, beide Diagramme erst zu addieren und die Terme auf einen gemeinsamen Nenner zu bringen. Anschließend sind die Feynmanparameter einzuf¨uhren.

Zeigen Sie weiterhin, dass f¨ur − q

²

≫ m

²

der Beitrag des geladenen Boson zu Π(q

²

) genau 1/4 des Beitrages des virtuellen Elektron-Positron-Paares ist.

1

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Aufgabe 4.3 – Pauli-Villars Regularisierung der Selbstenergie des Elektrons (5 Punkte)

F¨uhren Sie die in der Vorlesung skizzierte Berechnung der Elektronselbstenergie auf Einschleifennivieau durch. Der relevante Graph lautet

iΣ

²

( /p ) =

p k

p − k

p = ( − ie)

²

Z d

⁴

k

(2π)

⁴

γ

^µ

i(/ k + m

⁰

) k

²

− m

²0

+ iǫ γ

µ

− i

(k − p)

²

− µ

²

+ iǫ

wobei wir formal eine Photonmasse µ eingef¨uhrt haben, die am Ende auf Null gesetzt wird.

a) F¨uhren Sie Feynmanparameter ein und vereinfachen Sie das Integral mittels quadra- tischer Erg¨anzung, um

iΣ

²

( /p ) = 2e

²

Z

¹

0

dx

Z d

⁴

k (2π)

⁴

x/p − 2m

²0

[k

²

− ∆ + iǫ]

²

mit ∆ = (1 − x)(m

²0

− xp

²

) + xµ

²

zu erhalten.

b) Wir wollen die Divergenzen dieses Integrals nun mithilfe zweier Regulatoren bestim- men. Zum einen in der bekannten dimensionalen Reduktion d = 4 − 2ǫ. Zum anderen mittels der Pauli-Villars Methode. Hierbei f¨uhrt man ein massives Pauli-Villars Pho- ton ein, das die Masse Λ tr¨agt und einen Propagator mit umgekehrten Vorzeichen besitzt:

− i

(p − k)

²

− µ

²

+ iǫ −→ − i

(p − k)

²

− µ

²

+ iǫ − − i

(p − k)

²

− Λ

²

+ iǫ

Wir sehen, dass f¨ur große Impulse das Verhalten auf 1/k

⁴

ged¨ampft wird wohingegen f¨ur endliche k und Λ → ∞ der Beitrag des PV-Photons verschwindet.

In der expliziten Berechnung von Σ

2

in PV-Regularisierung zieht man von dem obigen Ausdruck f¨ur iΣ

²

( /p ) einfach den selbigen Ausdruck mit µ → Λ ab.

c) Vergleichen Sie die so erhaltenen Divergenten Ausdr¨ucke in DR und PV Regularisie- rung!

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