Aufgabe H8.1: Mehr zur Landau-D¨ ampfung [15 Punkte]

Theoretische Plasmaphysik

Ubungen: Lukas Merten, M.Sc und Timo Schorlepp, B.Sc¨

Hausaufgabe 8

Abgabe: 14.12.2017, 16:00 Uhr

Aufgabe H8.1: Mehr zur Landau-D¨ ampfung [15 Punkte]

Diese Aufgabe soll L. D. Landaus Herleitung der stoßfreien D¨ampfung elektrostatischer Wellen bei einer Linearisierung der Vlasov-Gleichung noch einmal genauer aufbereiten und zur Recherche anregen.

(a) Geben Sie in eigenen Worten und unter Angabe der wichtigsten Formeln und Schritte das Vorgehen bei der Herleitung der Landau-D¨ampfung wieder. Von welcher physikalischen Situation wird ausgegangen und welche Annahmen werden gemacht?

(b) Zeichnen Sie die Contour, die grunds¨atzlich f¨ur die inverse Laplace-Transformation gew¨ahlt werden muss, sowie die deformierte Contour, die hier f¨ur die Transformation von E(ω) benutzt wird.

Zeigen Sie dann durchexplizitesBerechnen und Absch¨atzen der Beitr¨age von Teilen dieser Contour zum Integral, welche Beitr¨age vernachl¨assigt werden k¨onnen und welche Abschnitte die ged¨ampften oder verst¨arkten Normalmoden liefern.

(c) Warum verwendete Landau eine Laplace-Transformation der Zeit anstelle einer Fourier-Transformation?

Was f¨ur konzeptionelle und mathematische Probleme sehen Sie in Landaus Annahmen, Ansatz und Vorgehen?

(d) Geben Sie eine gel¨aufige physikalische Interpretation der Landau-D¨ampfung an.

(e) Recherechieren Sie den alternativen Ansatz von N G. van Kampen (”van Kampen modes”) und geben Sie kurz wesentliche Unterschiede zu Landaus Vorgehen an.

(f) Nennen Siekonkrete Situationen außerhalb der reinen Plasmaphysik, in denen Landau-D¨ampfung eine Rolle spielt.

Bemerkung: Bei weiterem Interesse an Resultaten zur nichtlinearen Landau-D¨ampfung und f¨ur eine sehr ausf¨uhrliche Diskussion der linearen Theorie bietet sich ein Blick in Paper oder Skripte von C.

Mouhot und C. Villani an.

Aufgabe H8.2: Plasmadispersionsfunktion [10 Punkte]

Im Umgang mit der Dispersionrelation f¨ur elektrostatische Wellen f¨ur ein Maxwell-verteiltes Plasma ist die sog. Plasmadispersionsfunktion (PDISF)Z :C→C mit:

Z(ξ) = 1

√π Z ∞

−∞

exp −t²

t−ξ dt ; Im(ξ)>0, und analytischer Fortsetzung f¨ur Im(ξ)≤0 ein n¨utzliches Hilfsmittel.

(a) Zeigen, Sie, dass sich die Dispersionsrelation:

(ω, k) = 1 +ω_e² k²

Z d_ug(u)

ω/k−u du= 0 , f¨ur Im(ω)>0 und eine Maxwellverteilung von Elektronen:

g(u) = me

2πkTe

1/2

exp

−mu² 2kTe

, schreiben l¨asst als:

1 + 1

(kλ_D,e)²(1 +ξZ(ξ)) = 0 , wobeiξ =p

m/(2kTe)ω/k als dimensionslose Gr¨oße eingef¨uhrt wird.

1

(b) Zeigen Sie durch Einf¨uhren einer zus¨atzlichen Integrationsvariablen in dem gegebenen Ausdruck f¨urZ (”Schwinger-Trick”):

1 ξ−t = 1

i Z ∞

0

exp(i(ξ−t)τ)dτ ,

und durch geeignete Vertauschung der Integrationsreihenfolge, dass die analytische Fortsetzung von Z in der gesamten komplexen Zahlenebene als:

Z(ξ) =i√

πw(ξ) , (1)

mit der sog. Faddeeva-Funktion:

w(ξ) = exp −ξ²

erfc(−iξ) = 2

√π exp −ξ² Z ∞

−iξ

exp −x² dx , gegeben ist. Dass wanalytisch aufC ist, m¨ussen Sie nicht zeigen.

(c) Durch die Verwendung der PDISF reduziert sich das Problem, N¨aherungen f¨ur die exakte Dis- persionsrelation zu finden, auf die Ermittlung geeigneter Reihenentwicklungen der PDISF. Dieses Verfahren wird in der Praxis oft angewandt, denn es lassen sich auch f¨ur andere Verteilungs- funktionen ¨ahnliche PDISFs herleiten. Mit ξ = x+iy und |y/x| 1 ließe sich beispielsweise das bekannte Resultat f¨ur die Dispersionsrelation von Wellen mit hoher reeller Frequenz und schwacher D¨ampfung herleiten. Entwickeln sie hier nur als Beispiel die Darstellung (1) der PDISF f¨ur die Maxwellverteilung f¨ur|ξ| 1, indem Sie beide Exponentialfunktionen passend entwickeln und nach Ordnungen (bis einschließlich 5. Ordnung) von ξ sortieren. F¨ur die Dispersionsrelation welcher Wellen ist diese Entwicklung n¨utzlich?

Aufgabe H8.3: Penrose-Kriterium [5 Punkte]

Mit Hilfe der Nyquist-Methode, benannt nach dem schwedisch-amerikanischen Ingenieur Harry Nyquist, kann berechnet werden, ob ein r¨aumlich gleichf¨ormiges Gleichgewicht stabil ist. Bemerkung: Die Meth- ode kann also nicht genutzt werden, um die Stabilit¨at der BGK-Moden zu zeigen. Nichtsdestotrotz findet sie Anwendung nicht nur in der Plasmaphysik, sondern auch in der Regelungstechnik.

Mit der Nyquist-Methode kann das Penrose-Kriterium hergeleitet werden (z.B. in Nicholson 6.9 ff.).

Wenn

Z ∞

−∞

g(u₀)−g(u)

(u−u₀)² du <0

erf¨ullt ist, ist das zugeh¨orige Vlasov-Poisson-Gleichgewicht instabil. Die obige Gleichung ist notwendi- ges und hinreichendes Kriterium. Hierbei is u0 die Stelle eines lokalen Minimums von g(u) und liegt zwischen zwei lokalen Maxima (u₁ < u₀ < u₂).

Betrachten Sie nun ein Vlasov-Gleichgewicht, bestehend aus unendlich-schweren unbeweglich Ionen und zwei gegenl¨aufig str¨omenden Cauchy-Verteilungen mit:

g(u) = ∆ 2π

1

(u−a)²+ ∆² + 1 (u+a)²+ ∆²

.

(a) Skizzieren Sie die Verteilung.

(b) Zeigen Sie mit Hilfe des Penrose-Kriteriums, dass das Gleichgewicht f¨ur a < ∆ stabil und f¨ur a >∆ instabil ist.

2