Aufgabe 6.1 – QED in d Dimensionen (5 Punkte)

Quantenfeldtheorie II SS 15 Prof. Jan Plefka Ubungsblatt 6 ¨

Abgabe Mittwoch 01.07 nach der Vorlesung – Besprechung am Freitag 03.07

Aufgabe 6.1 – QED in d Dimensionen (5 Punkte)

Bestimmen Sie den naiven Divergenzgrad D der QED Amplituden in d Dimensionen als Funktion der Zahl der externen Photonen N

und Elektronen N

sowie der Ordnung der St¨ orungstheorie.

Aufgabe 6.2 – Naiver Divergenzgrad (10 Punkte)

Klassifizieren Sie die naiv divergenten Amplituden einer Theorie in d Raumzeitdimen- sionen mit der Lagrangedichte

L = −

∂

φ∂

φ − ψγ ¯

∂

ψ − λ φ

+ κ ψψ φ ¯

+ η ψγ ¯

ψ ∂

φ

wobei λ, κ, η Kopplungskonstanten und k, l nat¨ urliche Zahlen sind. In welchen Dimensio- nen, f¨ ur welche Werte der Kopplungen (d.h. verschwindend oder nicht verschwindend) und welche Werte von k,l ist die Theorie

a) renormierbar?

b) super-renormierbar?

Aufgabe 6.3 – RGE f¨ ur λφ

Theorie im MS Schema (5 Punkte)

In der letzten ¨ Ubung hatten wir die renormierte St¨ orungstheorie der λφ

Theorie in vier Dimensionen auf Einschleifenniveau in einem on-shell Renormierungsschema in DR durchgef¨ uhrt. Es ist nicht schwer das Ergebnis in das MS Schema zu ¨ ubersetzen. Die Wirkung lautet

L =

Z

(∂

φ

)

−

m

Z

Z

φ

−

µ

λ

Z

Z

φ

.

mit Z

= 1 + δ

, Z

= 1 + δ

und Z

= 1 + δ

findet man aus unseren alten Resultaten die MS Konterterme (d = 4 − )

δ

= 0 + O(λ

) , δ

= λ

16π

1

+ O(λ

) , δ

= 3λ

16π

1

+ O(λ

) .

1

a) Bestimmen Sie die Betafunktion

β(λ

) = µ dλ

(µ) dµ und die anomale Dimension von φ

γ

= µ m

dm

(µ) dµ .

b) Stellen Sie mithilfe dieser Resultate die Renormierungsgruppengleichung f¨ ur die n- Punkt Green’sche Funktion in der Theorie auf.

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