Die 4 Dimensionen Die 4 Dimensionen – –
Quaternionen in der Quaternionen in der
Kinematik Kinematik
1. Workshop Robotik Hochschule Mittweida (FH)
Institut für Automatisierungstechnik 2004
Dipl.-Ing. (FH) Falko Neubert
2
Die 4 Dimensionen
Die 4 Dimensionen -- Quaternionen in der KinematikQuaternionen in der Kinematik
Inhalt
1.
Historie2.
Mathematische Grundlagen3.
Koordinatentransformation 3.1. Ausgangssituation 3.2. Vortransformation 3.3. Rücktransformation4.
Praktische BedeutungDie 4 Dimensionen
Die 4 Dimensionen -- Quaternionen in der KinematikQuaternionen in der Kinematik Lagebestimmung eines Körpers im Raum durch Beziehungen
zwischen Koordinatensystemen (KS) ⇒ Framekonzept
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Die 4 Dimensionen
Die 4 Dimensionen -- Quaternionen in der KinematikQuaternionen in der Kinematik Welt- und Werkzeug-KS an einem 6-achsigen Knickarm-IR
Die 4 Dimensionen
Die 4 Dimensionen -- Quaternionen in der KinematikQuaternionen in der Kinematik
1. Historie
-
Entdeckung der Verwendbarkeit der Ausdrückein der Ebene → Versuche für komplexe Zahlen im Raum
-
Ab 1833 W. R. HAMILTON → Rechnungen mitRaumvektoren und Darstellung durch komplexe Zahlen
-
1843 HAMILTON‘s Theorie der goniometrischenQuaternionen mit Nichtkommutativität in der Multiplikation
-
Ansatz über die Verknüpfung von-
Definition des Quaternion H mit q = Q1 +Q2h+Q3i+Q4 j2 1
2
2 =i = j = hij = − h
−1 + y x
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Die 4 Dimensionen
Die 4 Dimensionen -- Quaternionen in der KinematikQuaternionen in der Kinematik
2. Mathematische Grundlagen
-
Vierdimensionale Divisionsalgebra über dem Körper von R mit nicht kommutativer Multiplikation-
Erweiterung von C → hyperkomplexe Zahlen (nur bedingt)-
Schiefkörper durch Übertragung von Addition und Multiplikation aus R und C auf H-
Ursprungsdefinition→ Q1, Q2, Q3, Q4 reelle und h, i, j imaginäre Zahlen
-
h, i, j drei unterschiedliche Arten von Imaginärzahlen (Richtungen) → Nichtkommutativitätj Q i Q h Q Q
q = 1 + 2 + 3 + 4
Die 4 Dimensionen
Die 4 Dimensionen -- Quaternionen in der KinematikQuaternionen in der Kinematik
2. Mathematische Grundlagen
-
Nichtkommutativität in der Multiplikation laut Tabelle-
Substitution zur Vereinfachung4 3 2
1 q q q
q
q = + + +
4 4
3 3
2 2
1
1 q Q h q Q i q Q j q
Q = ; = ; = ; =
j Q i Q h Q Q
q = 1 + 2 + 3 + 4
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Die 4 Dimensionen
Die 4 Dimensionen -- Quaternionen in der KinematikQuaternionen in der Kinematik
2. Mathematische Grundlagen
-
Für jedes Quaternion existiert ein konjugiertes Quaternion-
Bildung des Betrages von q2 4 2 3 2 2 2
1 q q q
q q q q
+ +
+
=
⋅
= ∗
4 3 2
1 q q q
q
q∗= − − −
4 3 2
1 q q q
q
q∗ = − − −
4 3 2
1 q q q
q
q∗= − − −
Die 4 Dimensionen
Die 4 Dimensionen -- Quaternionen in der KinematikQuaternionen in der Kinematik
2. Mathematische Grundlagen
-
Definition des Inversen von q-
Betrag von q gleich 1 → EinheitsquaternionOrientierungsbeschreibung i.d.R. mit Einheitsquaternion!
∗
− = q
q 1
2 1
q q q
− = ∗
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Die 4 Dimensionen -- Quaternionen in der KinematikQuaternionen in der Kinematik
3. Koordinatentransformation
-
Quaternionentransformation mittels Multiplikation-
Addition zur Verrechnung interner Komponenten-
Vor- und Rücktransformation durch Definition von BezügenDie 4 Dimensionen
Die 4 Dimensionen -- Quaternionen in der KinematikQuaternionen in der Kinematik
3.1. Ausgangssituation
-
Allgemeine Darstellung der komplexen Ebene-
Darstellung der Orientierung des Einheitsquaternions) sin(
)
cos( 2 2
1 0
1 0
1 0
1 0
ω ω
ω ω
ω ω
ω ω
ω ω
σ
σ σ
σ σ
σ σ
σ σ
⋅ +
=
⋅ + ×
⋅
= • q
)]
sin(
) [cos(
) sin(
);
cos(
|
ϕ ϕ
ϕ ϕ
⋅ +
=
⋅
=
⋅
= +
=
i r
ri bi r
a
bi a z
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Die 4 Dimensionen
Die 4 Dimensionen -- Quaternionen in der KinematikQuaternionen in der Kinematik
3.1. Ausgangssituation
-
Die Rotationskoordinaten der Punkte PA, PB und PC bzgl.des zugehörigen Einheitsquaternions in der Abbildung ergeben sich dann nach folgender Bildungsvorschrift:
∗
∗
∗
= ⋅ ⋅ = ⋅ ⋅
⋅
⋅
= q P q P q P q P q P q
P
1A 0A;
B B;
1C 0CDie 4 Dimensionen
Die 4 Dimensionen -- Quaternionen in der KinematikQuaternionen in der Kinematik
3.1. Ausgangssituation
-
Ursprungsquaternion bzw. Startquaternion-
Neu gebildetes Quaternion bzw. Zielquaternion) sin(
) sin(
) sin(
) cos(
) sin(
);
sin(
);
sin(
);
cos(
|
2 2
2 2
4 2 3 2
2 2 1 2
4 3 2 1
ω ω
ω ω
ω ω
ω ω
σ σ
σ
σ σ
σ
⋅ +
⋅ +
⋅ +
=
⋅
=
⋅
=
⋅
=
=
+ + +
=
j i
h
j q
i q
h q
q
q q q q q
z y
x
z y
x
) sin(
);
sin(
|
);
sin(
);
cos(
|
4 2 3 2
2 2 1 2
4 3
2 1
neu neu
neu neu
j q
i q
h q
q
q q
q q
q
neu z neu neu
y neu
neu x neu neu
neu neu
neu neu
neu
ω ω
ω ω
σ σ
σ
⋅
=
⋅
=
⋅
=
=
+ +
+
=
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Die 4 Dimensionen
Die 4 Dimensionen -- Quaternionen in der KinematikQuaternionen in der Kinematik
3.1. Ausgangssituation
-
Transformationsquaternion bzw. Relativquaternion) sin(
) sin(
) sin(
) cos(
) sin(
);
sin(
|
);
sin(
);
cos(
|
2 2
2 2
4 2 3 2
2 2 1 2
4 3 2 1
T T
T T
T T
T T
j i
h
j q
i q
h q
q
q q q
q q
T z T
y T
x
T z T T
y T
T x T T
T T T T T
ω ω
ω ω
ω ω
ω ω
σ σ
σ
σ σ
σ
⋅ +
⋅ +
⋅ +
=
⋅
=
⋅
=
⋅
=
=
+ +
+
=
Die 4 Dimensionen
Die 4 Dimensionen -- Quaternionen in der KinematikQuaternionen in der Kinematik
3.2. Vortransformation
-
Aufstellen der Transformationsgleichung-
Lösung der Gleichung (hier ohne Herleitung)T
neu q q
q = ⋅
T T
T T
neu
T T
T T
neu
T T
T T
neu
q q q
q q
q q
q q
q q q
q q
q q
q q
q q q
q q
q q
q q
2 4 1
3 4
2 3
1 3
3 4 4
3 1
2 2
1 2
4 4 3
3 2
2 1
1 1
⋅ +
⋅ +
⋅
−
⋅
=
⋅
−
⋅ +
⋅ +
⋅
=
⋅
−
⋅
−
⋅
−
⋅
=
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Die 4 Dimensionen
Die 4 Dimensionen -- Quaternionen in der KinematikQuaternionen in der Kinematik Vortransformation des KS x y z nach xneu yneu zneu mit xT yT zT
Die 4 Dimensionen
Die 4 Dimensionen -- Quaternionen in der KinematikQuaternionen in der Kinematik
3.3. Rücktransformation
-
Aufstellen der Transformationsgleichung-
Lösung der Gleichung (hier ohne Herleitung)neu
T q q
q = −1 ⋅
2 4 2 3 2 2 2 1 1
4 3 2 2 1 4 2 4 2 4 2 1 2 4 1 2 4
2 4 2 3 2 2 2 1 1
2 2 3 1 1 3 4 2 3 2 2 2 2 1 3 3
2 2 2 1
1 4 3 3 3 2 1 3 4 1 2 4 4 2 1 2 2
1
4 4 3 3 2 2 1 1
q q q q q
q q q q q q q q q q q q q q
q q q q q
q q q q q q q q q q q q q
q q
q q q q q q q q q q q q q q q q q
q
q q q q q q q q
T T
T neu
neu
neu neu
T neu
T
T T
T neu
T neu
T
T T
T neu
T
+ + +
⋅
⋅ +
⋅
⋅ +
⋅
⋅ +
⋅
⋅
−
⋅ + ⋅
+ + +
⋅
⋅
⋅
−
⋅
⋅
−
⋅
⋅ + +
= ⋅
+
⋅
⋅
−
⋅
⋅
−
⋅
⋅ +
⋅
−
⋅
⋅
−
= ⋅
⋅ +
⋅ +
⋅
= +
) (
) (
) (
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Die 4 Dimensionen
Die 4 Dimensionen -- Quaternionen in der KinematikQuaternionen in der Kinematik Rücktransformation des KS xneu yneu zneu nach xT yT zT mit x y z
Die 4 Dimensionen
Die 4 Dimensionen -- Quaternionen in der KinematikQuaternionen in der Kinematik
4. Praktische Bedeutung / Fazit
-
Eindeutige Beschreibung von Orientierungen im Raum-
Vorwiegend für interaktive Computergrafiken → Spiele-
Kaum in der Robotertechnik → Rotationsmatrizen ABER...-
Sehr kompakte Schreibweise → geringere Redundanz⎟⎟
⎟
⎠
⎞
⎜⎜
⎜
⎝
⎛
= y x y y y z
z x y
x x
x z
y
x neu neu neu
neu neu
neu
neu neu neu
rot rot
rot
rot rot
rot
rot rot
rot
ROT ; ; q=(q1;q2;q3;q4)= q1 +q2 +q3 +q4
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Die 4 Dimensionen
Die 4 Dimensionen -- Quaternionen in der KinematikQuaternionen in der Kinematik
4. Praktische Bedeutung / Fazit
-
Geringere Redundanz → höhere numerische Stabilität-
Weniger Rechenzeit, besonders bei vielen Orientierungen-
Keine Beachtung der Reihenfolge vonEinzeltransformationen → Paralleltransformation
JEDOCH...
-
Wesentlich höheres Vorstellungsvermögen („4D-Denken“) des AnwendersDie 4 Dimensionen
Die 4 Dimensionen -- Quaternionen in der KinematikQuaternionen in der Kinematik
Vielen Dank für Ihre
Aufmerksamkeit
Die 4 Dimensionen
Die 4 Dimensionen -- Quaternionen in der KinematikQuaternionen in der Kinematik Räumliche Orientierung mit einem Quaternion
