Protokoll vom 29.10.14 Name: Mark A. Schäfer
Exkursion in die Theorie des komplexen Zahlenraumes
z1=2+i z2=−1+3i
z1+z2=(2+i)+(−1+3i)=1+4i z1⋅z2=(2+i)⋅(−1+3i)
z1⋅z2=−2−i+6i−3=−5+5i
∣
z1∣
=√
22+12=√
5z=(Länge⋅ Winkel)
z1=√
5⋅arctan(12)
(Polarkoordinatendarstellung)
Ohne Nachweis
∣
z1⋅z2∣
=√
(−5)2⋅52=√
50; Phi=arctan(55)=135°
z
1⋅ z
2=( ∣ z
1∣ ⋅ ∣ z
2∣ ; phi
1⋅phi
2)=( √ 5 ⋅ √ 10 ; 26,6 ° + 108,5 ° )=( 7,07; 135,1° ) Hauptsatz der Algebra
z=(
∣
z∣
/Phi)z.B.: √
31=(1;360°)=>
zn=(∣
zn∣
;k⋅n⋅Phi)k=1…n√
31=( √
31 ; 120 ° ⋅ 1)=( √
31 ; 120 ° ⋅ 2)=( √
31 ; 120 ° ⋅ 3)
=>
√
n z=(√
n z ;1 n⋅Phi)-1,5 -1 -0,5 0 0,5 1 1,5 2 2,5 0
1 2 3 4
komplexe Zahlen
reelle Zahlen
imaginäre Zahlen
i
- i - 1
1
Einheitskreis 120°
240°
0
°
Die komplexe Funktion
Quelle:exbook.de
komplexe Funktion
1.Ableitung
(e˙ix)=i⋅eix (sin(˙ x))=cos(x) (cos˙(x))=−sin(x)2.Ableitung
(e¨ix)=i2eix=−eix (sin(¨ x))=−sin(x) (cos(x))=−cos(x)¨Die Dgl.
(f¨)=fhat als die Lösung
f (x)=sin(x); f(x)=cos(x); f(x)=eixDefinition:
eix=sin(x)+i⋅cos(x)damit
(e˙ix)=cos(x)−i⋅sin(x)=> erfüllt die Dgl.
f¨=−f(e¨ix)=−sin(x)−i⋅cos(x)=−eix
eixmit
