1.5
1.5 Lineare Gleichungssysteme
Lineare Gleichungssysteme (LGS) spielen in Theorie und Anwendungen eine sehr wichtige Rolle. In diesem Abschnitt f¨uhren wir eine Methode ein, mit der beliebige LGS gel¨ost werden k¨onnen: denGauß-Algorithmus. Auf allgemeine Zusammenh¨an- ge und Aussagen ¨uber LGS sei auf das Kapitel 3, Matrizen und Determinanten, verwiesen.
1.5.1 Einf¨uhrung
Anwendungsbeispiel 1.19 (Beschreibung elektrischer Netzwerke bei Gleichstr¨omen).
Gegeben sei das nebenstehende elektri-
Abb. 1.4.Elektrisches Netzwerk
sche Netzwerkmit den gegebenen Wider- st¨anden R1 = 1Ω, R2 = 5Ω, R3 = 3Ω.
Diesem Netzwerk werden zwei Gleichstr¨o- me IA = 1A und IB = 2A zugef¨uhrt.
Gesucht sind die Einzelstr¨ome I1, I2, I3. Um die Modellgleichungen zu erhalten, wenden wir dieKirchhoffschen Geset- zean: DerKnotensatz besagt, dass die Summe der in einem Knoten zu- und abfließenden Str¨ome gleich Null ist. DerMaschensatzbesagt, dass in einer Ma- sche die Summe aller Spannungen Null ergibt.
Bei unserem Beispiel gilt f¨ur den KnotenKA, dassI3ab- undIA,I1zufließen (KA) : I3=IA+I1;
f¨ur den KnotenKB, dassIB zu- undI1,I2 abfließen (KB) : IB =I1+I2.
F¨ur die Masche mit angegebenen Richtungen gilt, dass der Spannungsabfall
¨uberR2 gleich der Summe der Spannungsabf¨allen ¨uberR1 undR3 ist:
(M) : R1I1+R3I3=R2I2.
Dies ergibt einSystemvon 3 Gleichungen f¨ur die Einzelstr¨ome I1, I2, I3.
Methode zum L¨osen von LGS: Im Folgenden werden wir die gegebenen Werte in die Gleichungen einsetzen und eine Methode einf¨uhren, um das Sys- tem systematisch zu l¨osen:
G1: 1I1−5I2+ 3I3 = 0 G2: −1I1 + 1I3 = 1 G3: 1I1+ 1I2 = 2
I1 I2 I3 r.S.
1 −5 3 0
−1 0 1 1
1 1 0 2
Dieses System wird gel¨ost, indem die VariableI1aus GleichungenG2 undG3 eliminiert wird. Dazu bildet man die Summe aus Gleichung G1 undG2 bzw.
die Differenz aus GleichungG1 undG3: G1=G1:
G2=G1+G2: G3=G1−G3:
1I1 −5I2 + 3I3 = 0
−5I2 + 4I3 = 1
−6I2 + 3I3 =−2
I1 I2 I3 r.S.
1 −5 3 0
0 −5 4 1
0 −6 3 −2
Anschließend nehmen wir Gleichung G2 undG3 und eliminieren die Variable I2ausG3. Dazu addieren wir das6-fache von GleichungG2 zum (−5)-fachen von GleichungG3: −30I2 + 24I3 = 6
30I2 − 15I3 = 10 9I3 = 16
Damit erhalten wir schließlich G1 =G1:
G2 =G2:
G3 = 6G2−5G3:
1I1−5I2+ 3I3 = 0
−5I2+ 4I3 = 1 9I3 = 16
I1 I2 I3 r.S.
1 −5 3 0
0 −5 4 1
0 0 9 16
Aus GleichungG3 folgt
9I3= 16⇒I3= 16 9 . Eingesetzt in GleichungG2 folgt
−5I2+ 4· 16
9 = 1⇒I2=11 9 . Beide Ergebnisse in GleichungG1 eingesetzt liefert
I1−5·11
9 + 3·16
9 = 0⇒I1= 7 9.
Damit sind die Teilstr¨ome I1, I2, I3 in der physikalischen Einheit Ampere [A]
berechnet.
In der letzten Spalte wurde jeweils auf die Angabe der Variablen verzichtet und nur der Koeffizient der Variablen bzw. die Konstanten auf der rechten Seite der Gleichung aufgelistet. Hierbei steht an erster Stelle immer der Koeffizient von I1,an zweiter Stelle der Koeffizient vonI2und an dritter Stelle der Koeffizient vonI3. Im Prinzip reicht diese Kurzversion des Gleichungssystems aus, um es zu l¨osen. Die Vorgehensweise, die wir zur L¨osung dieses speziellen Gleichungs- systems gew¨ahlt haben, ist verallgemeinerbar (→Gauß-Algorithmus), wenn die gesuchten Gr¨oßen nur linear (→LGS) vorkommen.
1.5.2 Begriffsbildung und Notation
Ein linearer Zusammenhang zwischen zwei Gr¨oßen x und y liegt dann vor, wenn x proportional zu y (x ∼ y) ist, d.h. a x+b y = const. Allgemeiner bezeichnet man eine Gleichung der Form
ax1+bx2+cx3=d
als lineare Gleichung in x1, x2, x3, da jede der Variablen x1, x2 und x3 nur in linearer Form, also zur Potenz 1 auftritt. Jedes3-Tupel von reellen Zahlen (x1, x2, x3)∈IR3=IR×IR×IR, das die Gleichung erf¨ullt, heißt L¨osung.
Beispiele 1.20:
1 x1−x2+x3 = 0ist eine lineare Gleichung, da die Variablen x1, x2, x3 proportional in der Gleichung enthalten sind. Diese Gleichung hat z.B.
(0,1,1),(1,1,0),(1,2,1)als L¨osungen.
2 Die Gleichungx2+ 2x−y= 0istkeinelineare Gleichung, da die Variable xquadratisch vorkommt.
3 x1−x2+x3= 0und2x1+ 3x2−x3= 0bilden ein System aus linearen Gleichungen, ein lineares Gleichungssystem.
Definition:Ein System vonmlinearen Gleichungen in dennUnbekann- tenx1, x2, . . . , xn
a11x1 + a12x2 +· · ·+ a1nxn = b1 a21x1 + a22x2 +· · ·+ a2nxn = b2
... ... ... ... am1x1 +am2x2+· · ·+amnxn=bm
nennt man einlineares Gleichungssystem (LGS). Die reellen Zahlen aijheißen dieKoeffizientenundbidieKonstanten der rechten Seite des LGS.
Abk¨urzend f¨ur das LGS schreiben wir die Koeffizienten und die rechte Seite in das folgende Schema
⎛
⎜⎜
⎜⎝
a11 a12 a13 · · · a1n a21 a22 a23 · · · a2n ... ... ... ... am1 am2 am3 · · ·amn
b1 b2 ... bm
⎞
⎟⎟
⎟⎠
Man nennt dieses Schema die erweiterte Koeffizientenmatrix bzw. kurz Matrix. Die durchgezogene Linie soll daran erinnern, dass die Koeffizien- ten links und die Konstanten rechts vom Gleichheitszeichen stehen.
Ein lineares Gleichungssystem heißt homogen wenn alle bi gleich Null sind, ansonsten inhomogen.
Jede Zeile der Matrix steht f¨ur eine Gleichung; jede Spalte ist der entsprechen- den Unbekannten zugeordnet. Die L¨osung besteht aus allen n-Tupeln(x1, x2, ..., xn), die s¨amtlichemGleichungen erf¨ullen.
Wie wir beim einleitenden Beispiel gesehen haben, werden beim sukzessiven L¨osen des LGS nur jeweils die Koeffizienten und die Konstanten ver¨andert, nicht aber die Variablen. Daher verzichtet man beim L¨osen von LGS ganz auf die Variablen und f¨uhrt alle Rechenschritte in der Matrizenschreibweise durch.
1.5.3 Das L¨osen von linearen Gleichungssystemen
Umformungen, welche die L¨osungsmenge eines Systems nicht ¨andern, nennt man Aquivalenzumformungen. Folgende Umformungen sind ¨¨ Aquivalenz- umformungen eines linearen Gleichungssystems:
(1) Die Reihenfolge der Gleichungen kann vertauscht werden.
(2) Eine Gleichung kann mit einer reellen Zahlλ= 0multipliziert werden.
(3) Zu einer Gleichung kann eine andere Gleichung des Systems addiert werden.
Wendet man diese 3 Regeln systematisch - wie im Folgenden beschrieben wird - an, ist die L¨osungsmenge jedes LGS bestimmbar. Wie im Einleitungsbei- spiel gezeigt, wird in jedem Rechenschritt eine Variable aus dem System eli- miniert und dadurch um eine Gleichung reduziert, bis zum Schluss nur noch eine Gleichung f¨ur eine Variable ¨ubrig bleibt. Das auf Gauß (1777-1855) zu- r¨uckgehende Verfahren heißt das Gaußsche Eliminationsverfahren oder derGauß-Algorithmus. Wir beschr¨anken uns bei der Beschreibung der Ein- fachheit halber auf quadratische Systeme mitnGleichungen f¨urnUnbekannte.
Der Gauß-Algorithmus ist aber auf beliebige(n×m)-Systeme ¨ubertragbar.
Gauß-Algorithmus
(1) Man w¨ahlt sich eine Gleichung mit einem Koeffizienten von x1 ungleich Null als erste Gleichung.
(2) Man eliminiert die Variablex1aus den restlichen(n−1)Gleichungen.
Dazu wird die 1. Zeile mit −aa2111 multipliziert und zur zweiten Gleichung addiert. Ebenso verf¨ahrt man mit den ¨ubrigen Zeilen:
Man addiert das −aaj111-fache der 1. Zeile zur j-ten Zeile. Man er- h¨alt so(n−1)Gleichungen mit den(n−1)Unbekanntenx2, x3, . . . , xn.
(3) Schritt (2) wird auf das reduzierte System angewendet, indem die Unbekannte x2 aus Zeilen 3 bis n eliminiert wird. Nach insgesamt (n− 1) Schritten bleibt nur noch eine einzige Gleichung mit der Unbekanntenxn ubrig.¨
(4) Die eliminierten Gleichungen bilden eingestaffeltes Systemvon Zeilen, aus denen sich die Unbekannten in der Reihenfolgexn, xn−1, . . . , x2, x1 berechnen lassen.
! Im obigen Algorithmus wird angenommen, dass keiner der Koeffizientenaii gleich Null ist; ansonsten m¨ussen die Zeilen vertauscht werden. Sind alle ver- bleibenden Koeffizienten von der zu eliminierenden Variablenxi gleich Null, so kann dieser Schritt ¨ubergangen werden, da das LGS schon die gew¨unschte Form hat. Bei der numerischen Ausf¨uhrung des Algorithmus entstehen Re- chenungenauigkeiten jedoch bereits dann, wenn diese Koeffizienten sehr klein sind. Um solche Fehler m¨oglichst klein zu halten, ist es g¨unstig, die Zeilen in jedem Schritt so zu vertauschen, dass die Zeile mit dem betragsgr¨oßten Koeffi- zientenaii als oberste Gleichung gew¨ahlt wird. Man nennt diesPivotisierung.
Beispiele 1.21:
1 Ein System mit genau einer L¨osung: Gesucht ist die L¨osungsmenge des LGS
2x1 + x2 − x3 = 3 3x1 + 5x2 −4x3 = 1 4x1 −3x2 + 2x3 = 2 In Matrizenschreibweise lautet dieses LGS
G1: G2: G3:
⎛
⎝2 1−1 3 5−4 4 −3 2
3 1 2
⎞
⎠
Zur L¨osung wenden wir den Gauß-Algorithmus an. Dazu schreiben wir die ers- te Zeile ab; multiplizierenG1 mit (-3) und addieren das Ergebnis zur 2-fachen zweiten Zeile hinzu. Außerdem multiplizieren wir die erste Zeile mit (-2) und addieren das Ergebnis zur dritten Zeile:
G1: G2: G3:
⎛
⎝2 1−1 0 7−5 0 −5 4
3
−7
−4
⎞
⎠ (G1)
(2G2−3G1) (G3−2G1)
Jetzt lassen wir die beiden ersten Gleichungen unver¨andert und formen die letzte Gleichung so um, dass der Koeffizient vonx2 gleich Null wird.
G1 : G2 : G3 :
⎛
⎝2 1−1 0 7−5 0 0 3
3
−7
−63
⎞
⎠ (G1) (G2)
(7G3+ 5G2)
Aus dem ¨aquivalenten System()lassen sich nun die L¨osungen leicht berech- nen. Die letzte Gleichung liefert
3x3=−63⇒x3=−21.
Eingesetzt inG2: 7x2−5·(−21) =−7⇒x2=−16.
Beides eingesetzt inG1: 2x1+ (−16)−(−21) = 3⇒x1=−1.
Somit hat das Systemgenau eine L¨osung(−1;−16;−21)und die L¨osungs- menge lautet
IL=
⎧⎨
⎩(x1, x2, x3)∈IR3:
⎛
⎝x1 x2 x3
⎞
⎠=
⎛
⎝ −1
−16
−21
⎞
⎠
⎫⎬
⎭.
Man nennt das System()ein System mitoberer Dreiecksmatrix, da die Ein- tragungen unterhalb derHauptdiagonalen(a11, a22, a33) gleich Null sind. Hat das System obere Dreiecksform ist das Eliminationsverfahren beendet. Durch R¨uckw¨artsaufl¨osenlassen sich dann die Unbekanntenx1, x2, x3bestimmen.
2 Die L¨osung enth¨alt eine Variable:Um das System x1− 3x2+ 2x3 = 4
−2x1+ x2+ 3x3 = 2 2x1−16x2+ 18x3 = 28
zu l¨osen, formen wir die Koeffizientenmatrix in zwei Schritten so um, dass sie Dreiecksformerh¨alt
G1 G2 G3
⎛
⎝ 1 −3 2
−2 1 3 2−16 18
4 2 28
⎞
⎠
G1 G2 G3
⎛
⎝ 1 −3 2 0 −5 7 0−15 21
4 10 30
⎞
⎠ (G2+ 2G1) (G3+G2) G1
G2 G3
⎛
⎝ 1 −3 2 0 −5 7 0 0 0
4 10 0
⎞
⎠
(G3−3G2)
Aus der letzten Zeile folgt 0·x3= 0 , welches f¨ur beliebiges x3 erf¨ullt ist.
Daher setzen wirx3=λ(beliebig). In G2 eingesetzt, folgt
−5x2+ 7λ= 10⇒x2=−2 +7 5λ.
Beides inG1 eingesetzt, liefert x1= 4 + 3(−2 + 7
5λ)−2λ=−2 +11 5 λ.
Um eine einfachere Schreibweise zu erhalten, setzen wirλ= 5k,so dass insge- samt die L¨osungsmenge lautet
IL=
⎧⎨
⎩(x1, x2, x3)∈IR3:
⎛
⎝x1 x2 x3
⎞
⎠=
⎛
⎝−2
−2 0
⎞
⎠+k
⎛
⎝11 7 5
⎞
⎠ und k∈IR
⎫⎬
⎭.
3 Das System hat keine L¨osung: Wir betrachten das System aus 2, indem wir die letzte Gleichung ab¨andern: Die Konstante 28 wird durch 27 ersetzt. Durch elementare Umformungen erh¨alt man
⎛
⎝1−3 2 0−5 7 0 0 0
4 10
−1
⎞
⎠.
Aus der letzten Zeile folgt 0·x3=−1 . Diese Gleichung ist nicht erf¨ullbar, weil die linke Seite immer Null ergibt. Daher ist IL={}.
4 Homogenes LGS:Nach Beispiel2 k¨onnen wir sofort die L¨osungsmenge des homogenen LGS x1− 3x2 + 2x3= 0
−2x1+ x2 + 3x3= 0 2x1−16x2 + 18x3= 0 angeben, denn die elementaren Zeilenumformungen liefern
⎛
⎝1 −3 2 0 −5 7 0 0 0
0 0 0
⎞
⎠
Durch R¨uckw¨artsaufl¨osen erhalten wir aus Zeile 3 0·x3= 0 . Daher ist x3 beliebig. Wir setzenx3= 5k. In Zeile 2 eingesetzt, folgt
−5x2+ 7·5k= 0⇒x2= 7k und beides in Zeile 1 eingesetzt:
x1= +3·7k−2·5k= 11k.
Daher ist IL=
⎧⎨
⎩(x1, x2, x3) :
⎛
⎝x1 x2 x3
⎞
⎠=k
⎛
⎝11 7 5
⎞
⎠ und k∈IR
⎫⎬
⎭.
Die Beispiele1 -4 legen folgende allgemeing¨ultige Schlussfolgerung nahe, die wir im Kapitel ¨uber Matrizen und Determinanten genauer untersuchen:
L¨osungsverhalten von linearen Gleichungssystemen
(1) EininhomogenesLGS besitzt entweder genau eine L¨osung oder unend- lich viele L¨osungen oder ¨uberhaupt keine L¨osung.
(2) Einhomogenes LGS besitzt entweder genau eine L¨osung, n¨amlich die triviale Null-L¨osungx=
⎛
⎜⎝ 0
... 0
⎞
⎟⎠, oder unendlich viele L¨osungen.
(3) Falls das inhomogene LGS l¨osbar ist, setzt sich die allgemeine L¨osung zusammen aus allen homogenen L¨osungen plus einer L¨osung des inhomo- genen Systems:
ILi=ILh+xs ,
wenn ILi =L¨osungsmenge des inhomogenen LGS,ILh =L¨osungsmenge des zugeh¨origen homogenen LGS und xs eine spezielle L¨osung des inho- mogenen Systems ist.
Anwendungsbeispiel 1.22 (Chemische Reaktion).
Aus Quarz(SiO2)und Natronlauge(N a OH)entsteht Natriumsilikat(N a2SiO3) und Wasser(H2O):
x1SiO2+x2N a OH−→x3N a2SiO3+x4H2O
Gesucht sind die Anteile der Stoffe x1, x2, x3, x4, f¨ur welche die Reaktion abl¨auft. Da nur ganzzahlige Vielfache in Frage kommen, sind nat¨urliche Zahlen x1, x2, x3, x4 zu bestimmen, so dass jedes der chemischen Elemente Si, O, N a,H auf beiden Seiten der Reaktionsgleichung gleich oft auftritt. Dies f¨uhrt zu dem folgenden homogenen linearen Gleichungssystem:
Si: x1=x3 N a: x2= 2x3
O: 2x1+x2= 3x3+x4 H : x2= 2x4.
In Matrizenform lautet das LGS
⎛
⎜⎜
⎝
1 0−1 0 0 1−2 0 2 1−3−1 0 1 0−2
0 0 0 0
⎞
⎟⎟
⎠→
⎛
⎜⎜
⎝
1 0−1 0 0 1−2 0 0 0 1−1 0 0 0 0
0 0 0 0
⎞
⎟⎟
⎠
Aus der letzten Zeile folgt0·x4= 0. Daher istx4beliebig. Wir w¨ahlenx4=k.
In Zeile 3 eingesetzt, folgt x3 = k. Beide Ergebnisse in Zeile 2 bzw. Zeile 1 eingesetzt liefertx2= 2k undx1 =k. Die L¨osung mit den kleinsten Anteilen der Substanzen lautet daher (f¨ur k= 1)
SiO2+ 2N a OH −→ N a2SiO3+H2O.
Anwendungsbeispiel 1.23 (Mischen von Legierungen).
Edelstahl ist eine Legierung aus Eisen, Chrom und Nickel. Beispielsweise be- steht V2A-Stahl aus 74% Eisen, 18% Chrom und 8% Nickel. In der unten stehenden Tabelle sind vorhandene Legierungen (I - IV) angegeben, mit denen 1000 kg V2A-Stahl gemischt werden soll.
I II III IV
Eisen 70% 72% 80% 85%
Chrom 22% 20% 10% 12%
Nickel 8% 8% 10% 3%
Sindx1,x2,x3,x4 die Anteile der Legierungen I - IV in Einheiten kg, so gilt f¨ur die Summe aller Mischungsanteile in kg
x1+x2+x3+x4= 1000.
F¨ur die Einzelbestandteile Eisen, Chrom und Nickel gelten die Erhaltungsglei- chungen
0.7x1+ 0.72x2+ 0.8x3+ 0.85x4= 740 0.22x1+ 0.2x2+ 0.1x3+ 0.12x4= 180 0.08x1+ 0.08x2+ 0.1x3+ 0.03x4= 80.
Man beachte, dass bei 1000 kg Legierung mit 74% Eisen das Eisengewicht 740 kg betr¨agt, entsprechendes gilt f¨ur Chrom und Nickel. Diese vier Gleichungen liefern ein inhomogenes lineares Gleichungssystem
⎛
⎜⎜
⎝
1 1 1 1 70 72 80 85 22 20 10 12 8 8 10 3
1000 74000 18000 8000
⎞
⎟⎟
⎠→
⎛
⎜⎜
⎝
1 1 1 1 0 2 10 15 0 0−2 5 0 0 0 0
1000 4000 0 0
⎞
⎟⎟
⎠.
Wir w¨ahlen x4 = k beliebig. In Zeile 3 eingesetzt, folgt x3 = 52k. Beide Ergebnisse in Zeile 2 bzw. Zeile 1 eingesetzt liefert x2 = 2000−20k und x1=−1000 + 16.5k.Damit die L¨osung realisierbar ist, m¨ussen alle Anteilex1, x2, x3, x4 ≥ 0 sein. Wegen der Bedingung f¨ur x2 folgt 100 ≥ k und wegen der Bedingung f¨urx1folgt k≥60.6. D.h. f¨ur100≥k≥60.6 ist das Problem physikalisch l¨osbar.
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