Musterlosung
Ubungsblatt 9 22.12.04
1 a)
UrsprungR vonK 0
1
in K: R(t)=vt
Koordinaten der Teilhen inK 0
1 : r
0
i
=r
i
vt ; i=1;2
Bewegungsgleihungen in K 0
1 :
r
i
=r 0
i
; r
1 r
2
=r 0
1 r
0
2
) m
i
r 0
i
=F(jr 0
1 r
0
2 j)
DieBewegungsgleihungensinddieselbenwieinK.K 0
1
istalsoauheinInertialsystem(das heit:
furF=0 bewegen sihdieTeilhen gleihformigin K alsauh inK 0
1 ).
b)
Koordinaten der Teilhen in K 0
2 : r
0
i
=r
i vt
1
2 at
2
Bewegungsgleihungen in K 0
2 :
r
i
=r 0
i
+a ; r
1 r
2
=r 0
1 r
0
2
) m
i
r 0
i
=F(jr 0
1 r
0
2 j) m
i a
Die Bewegungsgleihungen haben im beshleunigten Bezugssystem K 0
2
eine andere Form (sind
niht kovariant),furF=0 tritt eine Sheinkraft auf. K 0
2
istalso kein Intertialsystem.
)
K 0
3
ist relativ zu K um den Winkl ' = !
0
t um die gemeinsame z-Ahse gedreht. Eine
Koordinate r ersheint inK 0
3
also um den Winkel 'gedreht:
r 0
i
=D( ')r
i
; D(')= 0
os (') sin(') 0
sin(') os (') 0
0 0 1
1
A
Bewegungsgleihung:
r
i
=D(')r 0
i
; '=!
0
t ; jr
1 r
2
j=jD(')(r 0
1 r
0
2 )j=jr
0
1 r
0
2 j
denn die reine Drehung D(')lat dieLange des Vektors konstant.
_
r
i
= _
D(')r 0
i
+D(') _
r 0
i
r
i
=
D(')r 0
i
+D(')r 0
i +2
_
D(')r_ 0
i
m
i
D(')r 0
i
= m
i
D(')r 0
i 2m
i _
D(')r_ 0
i
F(jr 0
1 r
0
2 j)
) m
i
r 0
= m
i
D( ')
D(')r 0
2m
i
D( ') _
D(')r_ 0
D( ')F(jr 0
r 0
j)
Dies reihtshon aus, alleFragen zu beantworten. DerAnshaulihkeithalbergehenwir nohins
Detail:
_
D(')= !
0 0
sin(') os (') 0
os (') sin(') 0
0 0 0
1
A
;
D(')= ! 2
0 0
os(') sin(') 0
sin(') os (') 0
0 0 0
1
A
) D( ') _
D(')= !
0 0
0 1 0
1 0 0
0 0 0
1
A
; D( ')
D(')= ! 2
0 0
1 0 0
0 1 0
0 0 0 1
A
) m
i
r 0
i
=m
i
! 2
0 0
_ x 0
i
_ y 0
i
0 1
A
+2m
i
!
0 0
_ y 0
i
_ x 0
i
0 1
A
D( !
0
t)F(jr 0
1 r
0
2 j)
Oenbar keinInertialsystem:dieRotationisteinebeshleunigte Bewegung,estretenSheinkrafte
(Zentrifugalund Coriolis)auf.
x)
Es gibt unendlih viele Bezugssysteme, in denen die Bewegungsgleihungen die Form (1)
haben: alle,diedurhGalileitransformationaus I hervorgehen (inkl.I selbstnaturlih).Diessind
die Inertialsysteme.
2 a)
WirdinK dieWellenform (x) beobahtet (t seifest!),dann wird man inden Koordi-
naten vonK 0
dieForm 0
(x 0
) messen(' heit niht Ableitung ...),
0
(x 0
;t)= (x 0
+vt;t)= (x;t)
Umgekehrt giltdann, furgegebenes 0
(x 0
),
(x;t) = 0
(x vt;t)= 0
(x 0
;t)
b)
Ableitungen:
x
(x;t) =
x 0
0
(x 0
;t) ; 2
x
= 2
x 0
0
t
(x;t) =
t 0
(x 0
;t)+
x 0
0
(x 0
;t) dx
0
dt
|{z}
= v
)
2
t
=
2
t 0
+v 2
2
x 0
0
2v
t
x 0
0
Dies in dieWellengleihung einsetzen liefert
[1 v
2
2
℄ 2
x 0
1
2
2
t +
2v
2
t
x 0
0
(x 0
;t)=0
)
(x;t) =A exp (ik(x t)) ; 0
(x 0
;t)= (x 0
+vt;t)=A exp (ik(x 0
[ v℄t))
Ableitungen:
2
x 0
0
= k 2 0
; 2
t 0
= k 2
( v) 2 0
;
t
x 0
0
=k 2
( v) 0
einsetzen
) (1 v
2
2
) 1
2
( v) 2
2v
2
( v)=0 ) p
x)
Es gibt nur ein einziges Bezugssystem, in dem die Wellengleihung die gewohnte einfahe
Formhat:das,indemdasTragermedium(derFlu)ruht.D.h.,dieInertialsystemederklassishen
Mehanik (diedurhGalileitransformationenauseinanderhervorgehen) sindkeineInertialsysteme
furdieWellengleihung.WenndieWellekeineWasserwelle(z.B.)ist,sondernelektromagnetisher
Natur im Vakuum, dann mute das Vakuum eben doh ein Tragermedium enthalten (\
Ather"),
