jedes FEH eindenkg

86

korollw

: 1st

he

^{71 ein}

abgesohlossenw

^{Unterranm lines} Hilbertraums

, dann Kann

jedes FEH eindenkg

ⁱⁿ

f= f.

⁺

^fz

^unit

^if

^{, Eh ,}

^{he ht} zvlegt

^{warden .}

Zudeu

gilt

^{ht " = h.}

(

^In dem Fall scweibt man 7th

Oht

wind

spricht

^{von der} " inueren ortho ^-

gonalen ^Summe

^.

)

Beweis

^:

^Sei

^{M : :}

f

^-

^h

^{und winkle}

f.

^{eh so} , class

f- f

, Element minimum Norm

8=11 f- f.

^{11 in M ist . wir woken}

_zeigen

, class

fzi= f- f

, in

htist

.

Es

gilt

^{: K teh KEER : 111,112: 11}

^{f- f.}

^{112 I 11}

^f-

^{( +}

f.

^{et )112}

..

11h

^{. et} 112=11

f.

¹¹

't

_e2114112^- Ze

Reeh

,t ^>

Dies

istwurmoglich

^{, weun}

^Reefz

^{, t ' = 0}

^tteh

^{und da wit teh anih itch ,}

impliziert

^{dies : <}

^f

^{, it >:O tteh} , also

f. ^Eht

^.

Zur

Eindenkgkeit

^{: 1st}

^f= I

⁺

[

^unit

f.

^eh ,

f. ^tht

_, ^{dann ist}

0 ^{. 11}

f.

⁺

f.

^-

E- Ill

^'

^11h

^.

^[ ; ^little

^{, -}

^Ili

^{, also}

f.

⁼

f

^{, ^}

f

,

if

, .

Pythagoras

Nochz .z .: h=

htt

. Sci

fe hit

unit

f= f.

⁺

f.

_,

f.

^th ,

fzeht

^.

^Da

he

htt

,

gilt ^f

^{, e}

^htnhtt

^{, also}

^f

^{, :O und damit}

htt=h

.

A

Ben

^{. : 1st : H→h}

R

^die

_Projeklion anf

^{h und 11 :7l→H die}

ldentitntsabbildung (

^{It : t}

⁾

^,

dann ist die Aussage des

korollws

_, class _Pn, ⁼ 1- Pn .

Denn

µ ^: 14 ⁼ Putt (^H-

R

)4 ⁼

Putt Put

.

87

korollw

^: Sei 71 ein

Hilbert

raum und Me H . Dann

gilt

^{span 1h) .}

Mti

.

Beweis

^{: Mit}

^Mt

⁼

( _spat

^M

) gilt )t

^{anih M 't -}

^{( span}

^IM)

⁾

"

= span (^M) .

1

Satz

:

( Dwstekungssatt

^{von Riesz}

^/

^{Freshet . Riesz}

⁾

Sei H ein IK^. Hilbwtraum und F ^: 71 → 1k

stetiguud

^linear

(

^{d. h. ein}

stetiges

^,

^{lineares Funklional} )

^.

Dann uistiert

genan

^{ein of EH , so dass}

V.

ten Flt

^{: ) :<}

fits

^.

Beweis

^: Sei h ^:-.

{

^{TEH / Flt ) = 0}

}

^{: F- '}

⁽

^to}

⁾

^.

^Da

^{h ein}

abgeschlossener

Unterraum ist und ht H

falls fe

^{F 't 0} ,

gibt

^{es ein}

^ht

^unit

FC ^{= 1. Fer alle}

HEH

^ist

FCHF

^daun

f)

4^{- eh und damit}

<

f.

µ ^{> . <}

f

, t.tt Flt )

f

^{s = Flt ) 11}

f

^{112 . Setze nun}

fi=f/HfH

^'.

fist eindentig

^{, da}

^f

^{ten :}

^if

^-

^T.lu

^{> = 0}

fir ⁴

^:=

^{f- T} implizivt

,

class

^111.

^TH

^{=O und damit}

^{f= f}

^{. A}

D. ^h. inberdas

Skalwprodnkt

^sind

genanalle steligen

^linemen Fuuktionale

gegebeu

^.

Def

^{.: . Eiue Families}

{ t.CH ]

_{. ,} ^{mit nicht}

wotwendigerweise

abzinhlbwer

lndkmenge

^A

^heipt

orthonormal

,

weuu

tap

^{c.A : <}

^th ,tp

^{> =}

Sap

^.

• Eine orthonormale

Basis (

ONB

)

von 71 ist eine orthonormale Families

{ ^th

^EH

}*a

,

fer

^die

gilt

^:

(

^{VXEA :<}

)=t tat

^>:O

⁴⁼⁰

^.

• Die Dimension cines Hilbwtraums ^ist die kwdinalitat liner

(

and damit

jedr )

ONB ^.

• Ein Hilbvtraum

hupt sepwabel

^{weun line}

^abzinhlbwe

^{ONB existivt .}

88

Bem ^{.: •} Mit

Hilfe

^{von " Zorn 's} Lemma ^" Kann

jedeorthonormale

^{Familie zu liner ONB}

vjanztwudln

^.

(

d. h. insbesondue

, class imnnveiue ONB eeistivt

)

• Zwei Hilbvtroiume ^{sind "}

isomorph

^"

⁽

^d.h.es

gibt

^{line linear}

^bijektive

^Isometric

zw . ihueu

) _genan

^dauu wenu die

Dimension

^en

inbereinstrmmen

.

Bsp

^{.: °}

Ed

und L21N ) sind

separable

Hilbertraume . Als ONB Kohnen wir waihlen :

µ,

: : (7. o.O,^...)

, 4, :-. (0,1.0

,

... )_, ^--.

° L2(IR^") ist ebeu

falls sepwabel

^{. Zur} koustrnktion einer ONB belrachte

, ,

Gauplsche Welhnpakete

^"

Gnu

^{):= e- "' ' "}

' tikx

, k.ca ^" .

Mikels Gram ^{. Schmidt}

leapt

^{sick dwans line} orthonormale Families

{ Exe

^{MR ")}

}×←µ

konstrnieren .

Sci nun

FEIHR

^{") unit e}

Ex ,f

^{>:O Kx} . Dann

gilt

^{anch 0 : efr,}

^,f

^{> .-}

F( gf

^)lk)

V. KEQ ^" _, wobei

gc

^{×) :-. (}

^2Ij÷

^{e- "}

×"²

.

Wegeu g.

ftl

^{' ist}

gf

^{EL' und damit R}

"

⇒ kt '

Flgl

^)(k)

_stekg

^.

^Dies impliziert

F (

gf

^{) Lk ) :O KKER " .}

Mit

Hglllz

^±

Hgllaollfll

^,

gilt

^anch

gfet

^{und da F}

^{bijekliv anf}

^L'

ist

, muss demnach

gf

^{:O also}

^f

^{:O sein .}

Dies bedentrt cinch

, dass dim ( LYIR ^")

)

⁼ dim

(

^{14N )}

)

, d. h. die beiden Raiume Sind

isomorph

^.

•

Bsp

^.

fir

^{eineu nicht -}

^sepwablen

^{Hilbwtraum ist du Raum AP' der "}

fast period

^'schen

Funklionen ^". Der ^Raum _span

( ^t

^{× ' → e}

:t×]×

.,p

) EGR

^{billet unit dem}

Skalwprodnkt

<

t.fi/ctTgLtIdteineuPrihilbwtraum.dessenVeruokstandiguugAP2ist fig

^{> .'= him} .

T→ a

Da

f

^xts

either orthonormale

^{line Famine ist} , Kann dim (AP^') ^nicht abzaihlbwsein .