= 1, = F F = + 1 F 1 n n + 1 2 n n − 1 F F F

Hans Walser, [20191211]

P a sca l und F ibona cci 1 Worum geht es?

Verallgemeinerte Fibonacci-Folgen auf der Basis von Potenzen der Pascal-Matrix.

2 Erinnerungen

Wenn wir im Pascal-Dreieck der Binomialkoeffizienten die Schrägzeilensummen bilden gemäß Abbildung 1 erhalten wir die Fibonacci-Zahlen.

Abb. 1: Schrägzeilensummen

Die Fibonacci-Zahlen F_n haben mit den Startwerten F₁=1,F₂=1 die Rekursion:

F_n+1=F_n+F_n−1 (1)

1 1

2 3

5 8

13 21

34 55

89

Weiter gilt der Grenzwert:

n→∞lim

F_n+1

F_n =¹⁺₂⁵ ≈1.618 (2)

Der Grenzwert ist der Goldene Schnitt (Walser 2013). Er ist die positive Lösung der quadratischen Gleichung:

x² =x+1 (3)

3 Pascal-Matrix

Das Pascal-Dreieck kann auch in eine Dreiecksmatrix eingekastelt werden (Abb. 2).

Abb. 2: Pascal-M atrix

1 1 2 3 5 8 13 21 34 55 89

Die Schrägzeilen erscheinen jetzt als Diagonalen.

4 Quadrat der Pascal-Matrix

Wir multiplizieren die Pascal-Matrix mit sich selbst im Sinne der Matrizenmultiplikati- on. Das Resultat ist wieder eine Dreiecksmatrix (Abb. 3).

Abb. 3: Quadrat der Pascal-M atrix Die Folge der Schrägzeilensummen ist:

1 2 5 12 29 70 169 408 985 2378

Die Folge hat mit den Startwerten a₁=1,a₂=2 die Rekursion:

a_n+1=2a_n+a_n−1 (4)

Weiter ist:

nlim→∞

a_n+1

a_n =1+ 2≈2.414 (5)

Dies ist die positive Lösung der quadratischen Gleichung:

x² =2x+1 (6)

5 Dritte Potenz der Pascal-Matrix

Für die dritte Potenz der Pascal-Matrix erhalten wir (Abb. 4):

Abb. 4: Dritte Potenz der Pascal-M atrix

Die Folge der Schrägzeilensummen ist:

1 3 10 33 109 360 1189 3927 12970 42837

Die Folge hat mit den Startwerten a₁=1,a₂=3 die Rekursion:

a_n+1=3a_n+a_n−1 (7)

Weiter ist:

n→∞lim

a_n+1

a_n = ³⁺₂¹³≈3.303 (8)

Dies ist die positive Lösung der quadratischen Gleichung:

x² =3x+1 (9)

6 Allgemein

Für die n-te Potenz der Pascal-Matrix ergibt sich die Schrägzeilen-Summenfolge mit den Startwerten a₁=1,a₂ =n und der Rekursion:

a_n+1=na_n+a_n−1 (10)

Weiter ist:

n→∞lim

a_n+1

a_n = ⁿ⁺ ₂ⁿ²⁺⁴ (11)

Dies ist die positive Lösung der quadratischen Gleichung:

x² =nx+1 (12)

7 Inverse

Für die Inverse der Pascal-Matrix erhalten wir (Abb. 5):

Abb. 5: Inverse der Pascal-M atrix

Dies ist die Pascal-Matrix mit alternierenden Vorzeichen. Die Schrägzeilensummen haben daher bei gleichen Beträgen ebenfalls alternierende Vorzeichen. Analoges gilt für weitere Potenzen mit negativen Exponenten.

Lite ra tur

Walser, H. (2013): Der Goldene Schnitt. 6., bearbeitete und erweiterte Auflage. Mit einem Beitrag von Hans Wußing über populärwissenschaftliche Mathema- tikliteratur aus Leipzig. Leipzig: EAGLE, Edition am Gutenbergplatz. ISBN 978-3-937219-85-1.