Prof.Dr. W.Koepf
Dipl.-Math. T.Sprenger Ubungen zur Vorlesung
Ubungsblatt 02 Grundlagen der Algebra & Computeralgebra 29.10.2008
Aufgabe 1: (Carmichaelzahlen)
Eine Zahl n heit Carmichaelzahl, wenn Sie zusammengesetzt ist, aber an a mod n fur alle a 2 Zn gilt. Ein n 2 N4 ist genau dann eine Carmichelzahl, wenn
1. n = p1 pk mit lauter paarweise verschiedenen Primzahlen pj 2 P 2. pj 1 j n 1 fur alle j = 1; : : : ; k
gilt.
(a) Sei k 2 N. Betrachten Sie
n = (6 k + 1)(12 k + 1)(18 k + 1): (1)
Zeigen Sie: Ist jeder der drei Faktoren prim, so ist n eine Carmichaelzahl.
(b) Verwenden Sie die Gleichung (1) und ein Computeralgebrasystem Ihrer Wahl, um eine Car- michaelzahl mit mindestens 120 Dezimalstellen zu nden.
(6 Punkte)
Aufgabe 2: (Eindeutige Primfaktorzerlegung in K[x]) Bestimmen Sie die eindeutige Primfaktorzerlegung von
a(x) = x5+ x4+ 1 in dem Polynomring (Z=2Z) [x].
Hinweis: Fuhren Sie Probedivisionen durch!
(4 Punkte)
Aufgabe 3: (Euklidischer Algorithmus in K[x])
Wenden Sie den erweiterten euklidischen Algorithmus auf
b(x) = x4+ 3x3+ 3x2+ 6x + 2 2 Q[x] und c(x) = x5+ 2x3 x2 2 2 Q[x]
an und bestimmen Sie damit Polynome g(x); s(x); t(x) 2 Q[x] mit g(x) = s(t)b(x) + t(x)c(x):
(6 Punkte)
Bemerkung: Aufgabe 2 und 3 sollen per Hand ohne Computeralgebrasystem bearbeitet werden!
Abgabetermin: bis spatestens Mittwoch, 05.11.2008, 10.15 Uhr in der Ubung.
