Abbildung 1: Feynman Graphen f¨ ur J/ψ → γ

Kern- und Teilchenphysik I — SS 2005 — Prof. G. Dissertori — Serie 6

L¨ osungen

1. Zweigregel

a) Siehe Abbildung 1

γ∗ γ∗

J/ψ J/ψ

¯ c

e e

c u

¯ c c

+ −

¯ c

¯ c

¯

c c

J/ψ

¯ c

¯ u

¯

u u

d¯¯ d

d ¯d d

Π+ o

Π− Π

Abbildung 1: Feynman Graphen f¨ ur J/ψ → γ

^∗

→ Hadronen, J/ψ → γ

^∗

→ Leptonen und J/ψ → ggg → Hadronen.

b) Aufgrund der Erhaltung der Farbladung und der Parit¨at m¨ ussen beim hadronischen Zerfall drei Gluonen ausgetauscht werden. In der Zerfallswahrscheinlichkeit tritt daher ein Faktor α

³s

auf, beim elektromagnetischen Zerfall dagegen nur ein Faktor α. Deshalb kann der elektromagnetische Zerfall mit dem hadronischen konkurrieren.

c) Nach der Zweigregel sind Zerf¨alle, bei denen die urspr¨ unglichen Quarks annihilieren ge- gen¨ uber Zerf¨allen mit durchgehenden Quarklinien unterdr¨ uckt. Daher ist die Zerfallsbreite von Quarkoniumzust¨anden unterhalb der Mesonschwelle sehr klein.

d) Beim c¯ c- System liegt erst der ψ(3770)-Zustand ¨ uber der Mesonschwelle. Verglichen mit J/ψ hat er eine relativ grosse Zerfallsbreite von 24 MeV. Er zerf¨allt zu 95 % in Hadronen (Abbildung 2), wie es von der Zweigregel vorausgesagt wurde.

¯ c c

c ¯c

¯

u u

D¯o Do

ψ(3770)

Abbildung 2: Feynman Graph f¨ ur den Prozess ψ(3770) → D

⁰

D ¯

⁰

.

2. Parton-Verteilungen

a) Verwende q

^p

(x) = q

^pv

(x) + q

s^p

(x) f¨ ur q = u, ¯ u, d, d, s, ¯ ¯ s, sowie q

s^p

(x) = ¯ q

s^p

(x) und s

^pv

(x) =

¯ s

^p_v

(x) = 0:

F

2^ep

= x 2

3

2

u

^pv

(x) + 1

3

2

d

^pv

(x) + 4

3

q

^ps

(x)

!

(1) b) Isospinsymmetrie:

d

^pv

(x) = u

ⁿv

(x) (2)

u

^pv

(x) = d

ⁿv

(x) (3)

u

^p_s

(x) = d

^p_s

(x) = s

^p_s

(x) = u

ⁿ_s

(x) = d

ⁿ_s

(x) = s

ⁿ_s

(x) (4)

¯

u

^ps

(x) = ¯ d

^ps

(x) = ¯ s

^ps

(x) = ¯ u

ⁿs

(x) = ¯ d

ⁿs

(x) = ¯ s

ⁿs

(x) (5) c) Aus a) und b):

F

2^en

= x 2

3

2

d

^pv

(x) + 1

3

2

u

^pv

(x) + 4

3

q

s^p

(x)

!

(6)

d) Wenn wir die beiden Strukturfunktionen voneinander abziehen, werden wir den Beitrag der Seequarks los:

F

₂^ep

− F

₂^en

= x 1

3 (u

^p_v

(x) − d

^p_v

(x)) (7) Wie erwartet, hat die Verteilung einen Peak bei

¹₃

, jedes der Valenzquarks tr¨agt also im Mittel

¹₃

des Protonimpulses.

e) F¨ ur kleine Impulsanteile x dominieren die Seequarks. Die Seeverteilung ist f¨ ur beide Nukleo- nen dieselbe, wir erwarten also, dass F

2^en

/F

2^epx^−→→0

1. Im entgegengestzten Fall dominieren die Valenzquarks (ein einzelnes Quark tr¨agt einen Grossteil des Gesamtimpulses, f¨ ur den See bleibt nichts mehr ¨ubrig):

F

2^en

F

2^ep

−→

x→1

u

^pv

+ 4d

^pv

4u

^pv

+ d

^pv

(8)

f) Wenn wir ¨ uber die Diffenz der Quark- und Antiquarkverteilungen integrieren, so heben sich die Beitr¨age des Sees weg (es gibt gleich viele See-Antiquarks wie See-Quarks). ¨ Ubrig bleibt die Wahrscheinlichkeit, bei irgend einem Impuls ein Valenzquark zu finden, d.h. die Anzahl der Valenzquarks.

Z

1

0

[u(x) − u(x)]dx ¯ = Z

1

0

u

v

(x)dx = 2 (p), 1 (n) (9) Z

1

0

[d(x) − d(x)]dx ¯ = Z

1

0

d

v

(x)dx = 1 (p), 2 (n) (10) Z

1

0

[s(x) − ¯ s(x)]dx = Z

1

0

s

v

(x)dx = 0 (11)

3. Spin, Isospin und Multipletts

a) Wir nehmen eine Beispieltransformation (hier: Rotation um π um die 2-Achse). F¨ ur das Quark-Doublett q :

^u_d

ist

u

⁰

d

⁰

= e

^{−iπ(τ2/2)}

u

d

. (12)

Wobei τ

2

die zweite der-Isospin Pauli-Matritzen τ

1

=

0 1 1 0

, τ

2

=

0 − i i 0

, τ

3

=

1 0 0 − 1

, (13)

ist. Wenn wir verwenden, dass

e

^−iθτ2/2

= cos( θ

2 ) − iτ

2

sin( θ

2 ) (14)

so erhalten wir u

⁰

d

⁰

= − iτ

2

u d

= 0 − 1

1 0 u d

, u

⁰

= − d, d

⁰

= u. (15)

Wir f¨ uhren nun mit dem Ladungskonjugationsoperator C die Antiquarkzust¨ande ein:

¯

u = Cu, d ¯ = Cd. (16)

Wenn wir C auf Gleichung 15 anwenden, erhalten wir u ¯

⁰

d ¯

⁰

=

0 − 1 1 0

¯ u d ¯

, u ¯

⁰

= − d, ¯ d ¯

⁰

= ¯ u. (17) Wir verlangen nun f¨ ur das Antidoublett das selbe Transformationsverhalten wie f¨ ur das Doublett. Das Antiquark mit der h¨oheren Ladung soll auch den h¨oheren Isospin haben.

Versuchen wir also f¨ ur das Antidoublett ¯ q :

^d_¯u^¯

: d ¯

⁰

¯ u

⁰

!

= 0 − 1

1 0 d ¯

¯ u

(18)

dies f¨ uhrt auf

¯

u

⁰

= ¯ d, d ¯

⁰

= − u, ¯ (19)

im Widerspruch zu (17). Dieses Problem l¨asst sich mit einem Minuszeichen an der rechten Stelle umgehen ¯ q :

^−¯_u¯^d

:

− d ¯

⁰

¯ u

⁰

=

0 − 1 1 0

− d ¯

¯ u

(20) und damit

¯

u

⁰

= − d, ¯ d ¯

⁰

= ¯ u. (21)

Das Pion-Triplett l¨asst sich nun auch wie folgt schreiben:

π

⁺

= | u( − d)> ¯ π

⁻

= | ud > ¯

π

⁰

= 1

√ 2 | u¯ u > + | d( − d)> ¯

und die Vorzeichen sind dieselben wie beim ”normalen” Spin. Alternativ kann man auch schreiben ¯ q :

_−¯^d¯_u

.

b) Die Auf- und Absteigeoperatoren sind

I

^±

= I

1

± iI

2

wobei I

i

= 1

2 τ

i

(22)

I

±

| I, I

3

> = p

I (I + 1) − I

3

(I

3

± 1) | I, I

3

± 1> (23) F¨ ur zusammengesetzte Zust¨ande (z.B. aus Quark (”A”) und Antiquark (”B”) zusammen- gesetzte Mesonen) gilt (C sind die Clebsch-Gordan Koeffizienten):

| I

^A

I

^B

II

3

> = X

I3^A,I^B3

C(I

3^A

I

3^B

; II

3

) | I

^A

I

^B

I

3^A

I

3^B

> (24) I = | I

^A

− I

^B

| , | I

^A

− I

^B

| + 1, . . . , I

^A

+ I

^B

(25)

I

3

= I

3^A

+ I

3^B

(26)

I

±

= I

±^A

+ I

±^B

(27)

Wir beginnen mit dem π

⁺

.

I

⁻

| u( − d)> ¯ = I

⁻

| u > | − d >= ¯ I

−^q

| u > | − d > ¯ +I

−^q¯

| u > | − d >= ¯ −| d d > ¯ + | u¯ u> (28)

= √

2 | π

⁰

> (29)

1/ √

2 ist der entsprechende Clebsch-Gordan Koeffizient. Weiter ist:

I

−

√ 1

2 | u¯ u − d d >= ¯ 1

√ 2 | d u ¯ + 0 − 0 + d¯ u >= √

2 | d u >= ¯ √

2 | π

⁻

> (30) und schlussendlich ist

I

±

| η > = I

±

√ 1

2 | d d ¯ + u¯ u >= 1

√ 2 | u d ¯ − u d >= 0. ¯ (31)