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(1)II Grenzprozesse schon bei. sind zentraler. Def. O. Eine meist. kurz. FOLGEN. 17. Babyloniern z.B der. Gegenstand. Analysis. fln für die für die Folge. an. Eine Folge. IN. E. Folgenglieder. und. wenn. an. beschränkt. I cEIRV nc.IN. ein AEG. es. wenn. HE 07 NEIN tu N. an. n. a. N. heißt dann. und. wenn. VKER Notation. oder. NEN Vn. km v. an. dann sind. a. viele. an in einer bel an c. a. E. Lines. oder. Ucla. Lim. oder. a. oo. Wenn. a. an. dass. so. von. v. an. a. an. u. kein Grenzwert existiert. bzw. gegen. gibt. wird abgekürzt notiert als. bestimmt divergent. HE 0. oder. neu. laut Ec. Grenzwert. an. divergent. Bem. a. ER KNEW. wenn. konvergent. n. Man schreibt. heißt. an. reell. f. ist eine Abbildung. Folge an. Flächenbestimmung verwendet. zur. uneigentlich konvergent. wenn. reell ist und. an. N. an. an. bzw. K. km. n so. bzw an. alle bis auf euch. fast alle. Kleinen. ZEE. Umgebung von. tz al. k. an. E. a. ff a. Dh NEIN. für fast alle. an.

(2) Bsp. 18. 0. o. C1. ist divergent. Fibonacci Folge. YT. O. Satz. Eindeutigkeit des Wenn. Beweis. a. o. EE mit 1 1. a. an. dann ist. max. at. t Ian al. Ian la. Dann ist. a. la. Wähle E. a a. E. I. Un. a. Jede. IE la anttlan all. konvergente Folge ist. Für bel. Damit. E. is. 0 liegen. I und NEIN. so dass. T. n. 2E. Ila. a. I. N. g. D. D. beschränkt. nur. laut. max. a. N. für. Beweis. a. Widerspruchsbeweis. Angenommen. Satz. 1. Grenzwertes. und. a. ER. für alle für alle. 1. o. an. a. endl viele an außerhalb an. Ucla. flatte. von. Ucla. c. eine Schranke D. II. 1. Satz. Rechnen mit Grenzwerten. Wenn an. sa.ba b. i. an. bin. atb. ii. an. bin. a. iii. ab. konvergieren. b. falls. b to. dann. gilt.

(3) Beweis. Für E 0 wähle A BEIN. i. Dann. für. Ian al. E z. kn A. Ibn b. E. Un B. ist. alle. antbu. taub. ii. N. n. i. Ian alt Ibn b. atb. anton aber. tabu. ab 2E'c. Ian allbult lat Ibn b. jedem E 0 ein NEIN 5 d. Zu zeigen Wähle. E. In 0. iii. für alle. folgt dann. N'EIN so dass 1b. II. Dann ist. II. E s. o. Ähnlich und. zeigt. wenn. man. laut. n. b. E. Relan. laut. tat. IbnI. ffa. NEIN. N. but kn E. p. aber. gilt. Reha dann. gilt. Waer. at oo. oo. also. O. a. 0. ZE'C E. N. Ibl Ibl E D. Ib but I BI Ibn. Vorsicht bei uneigentl konvergenten Folgen zwar. gilt. Iii. aus. 1b but Ibbul E. Bem. E. Beschränktheit der Folgen finden wir. Wegen Konvergenz. iii. Ec. Ec. E. zu. E. A B. max. ab. 19. so dass. ka 0 Ka EE. sind nicht definiert. Im Lan lat. Im la Ibl.

(4) Satz. Sind. Ibn. an. als auch. an. gilt Beweis. 20. Einschließungskriterium. an. Ibn al. reelle Folgen. cm cm. Ebu Ecu Ibu. E. dann an. It. I. 2. Def. Beweis. al. für. so. dass E E. alle n. N. E. und dazu. N. Eine reelle Folge heißt. nun. D. monoton wachsend. KEIN. wenn. monoton. anta Eau. an. monoton. gegen. suptan. u. bzw fallend. Eine beschränkte reelle Folge konvergiert monoton wachsend ist. wenn. sie. wenn. sie monoton. für. bzw. bzw. an. ants. In dem Fall ist also die Funktion wachsend. Satz. a. Monotone Folgen. fallend. Ben. now. a. a. an. E. Wähle. ff. konvergiert auch bin gegen. an t. on an. dass sowohl. konvergieren und. a. gegen. so. bzw. gegen. inff. an. fallend ist. monoton wachsende Folgen. Das supfan VE 07 NEIN Wegen. kleinste obere S. an. an E ants ES. Schranke ist. gilt. E. gilt. also. für. alle. n. N. s. an E. II.

(5) 21. II. 3. Cauchy Folgen. Def. Eine Folge. heißt. an. Cauchy Folge. Ian. KE 0 7 NEIN V n.ms N. wenn. E. am. Cauchy KonvergenzKriterium. Satz. Für. an. ist. an. Beweis. E E. gilt an. Cauchy Folge. Es genügt reelle Folgen in. zu. konvergiert. betrachten. durch Aufteilen. Real und Imaginärteil. Da s. an. beschränkt ist existiert. ist monoton fallend und. beschränkt. dh. Damit ist Ian. es s. gilt. su. an. su. I. su. am. sun. supfamIm s. inffsu. It Isn. snp am an. s. E. tu. N. E. 2. men. Ian. am. I. E. I. alt 1. au. E. Bem. O. In der Annahme dass die Suprema. al. am. E B. E 2 existieren. haben wir. die. Vollständigkeit von IR verwendet. Das. Cauchy Kriterium erlaubt Konvergenz zu zeigen ohne. Grenzwert. kennen zu müssen. den. n.

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