≈ 0.8898912458 5 4 3 f + f + f − f − 1 = 0 f

Hans Walser, [20200608 B e r ü h r s p i r a l e n 1 Worum geht es?

Spiralen, deren Außenkontur nach einem Umlauf die Innenkontur berührt.

2 Beispiel mit gleichseitigen Dreiecken

Abb. 1: Beispiel m it Dreiecken

Der Längen-Verkleinerungsfaktor f von einem Dreieck zum nächsten ist die reelle Lö- sung der Gleichung:

f⁵+ f⁴+ f³− f −1=0 (1)

Die numerische Lösung ist f ≈0.8898912458.

Hans Walser: Berührspiralen 2 / 4 3 Beispiele mit regelmäßigen Fünfecken

Abb. 2: Regelm äßige Fünfecke

Im Beispiel der Abbildung 2 wurde mit dem Goldenen Schnitt (Walser 2013) gefuhr- werkt. Mit

Φ=¹⁺₂⁵ ≈1.618 (2)

ist der Längen-Verkleinerungsfaktor f:

f = _Φ¹ (3)

Hans Walser: Berührspiralen 3 / 4

Abb. 3: Regelm äßige Fünfecke

Im Beispiel der Abbildung 3 ist der Längen-Verkleinerungsfaktor f die größere der bei- den reellen Lösungen der Gleichung:

Φ1 + f +Φf²+Φf³+ f⁴− f⁶− Φf⁷− Φf⁸− f⁹− f¹⁰=0 (4)

Numerisch: f ≈0.941927303657959.

Hans Walser: Berührspiralen 4 / 4 4 Beispiel mit Halbkreisen

Abb. 4: Beispiel m it Halbkreisen

Im Beispiel der Abbildung 4 ist der Längen-Verkleinerungsfaktor f die reelle Lösung der Gleichung:

12 f³+ f²−1=0 (5)

Numerisch: f ≈0.8392867553.

L i t e r a t u r

Walser, H. (2013): Der Goldene Schnitt. 6., bearbeitete und erweiterte Auflage. Mit einem Beitrag von Hans Wußing über populärwissenschaftliche Mathema- tikliteratur aus Leipzig. Leipzig: EAGLE, Edition am Gutenbergplatz. ISBN 978-3-937219-85-1.

W e b s i t e s

Hans Walser: Hexenspirale

www.walser-h-m.ch/hans/Miniaturen/H/Hexenspirale2/Hexenspirale2.htm