Vorlesung Einf¨uhrung in die Mathematische Optimierung (Wintersemester 2019/20)

Vorlesung Einf¨ uhrung

in die

Mathematische Optimierung (Wintersemester 2019/20)

Einleitung

Volker Kaibel

Otto-von-Guericke Universit¨at Magdeburg

(Version vom 17. Oktober 2019)

Kommunikationsnetzwerke. . .

Daten

◮ uij: Maximale Bitrate ¨uber Link(i,j)

◮ cij: Kosten ¨Ubertragung ein Bit ¨uber(i,j)

◮ b^kℓ: (Konstante) Bitrate von k nach ℓ

. . . Kommunikationsnetzwerke

Ziel

Route Daten unter minimalen Kosten.

Modellierung: Variablen

x_ij^kℓ: Datenrate f¨ur die Verbindung vonk nach ℓauf Link (i,j) K¨onnen zulassen (weil Bitraten groß sind):x_ij^kℓ ∈R

Lineares Optimierungsmodell

Minimiere !

(i,j) Link

!

k

!

ℓ

cijx_ij^kℓ unter den Nebenbedingungen

!

j:(j,i) Link

x_ji^kℓ− !

j:(i,j) Link

x_ij^kℓ =

"

#$

#%

−b^kℓ (i =k) b^kℓ (i =ℓ)

0 sonst

∀i,k,ℓ

!

k

!

ℓ

x_ij^kℓ ≤ uij ∀(i,j) x_ij^kℓ ≥ 0 ∀(i,j),k,ℓ

(Kontinuierliche) Lineare Optimierung

Optimierung von

◮ linearen Zielfunktionen unter (endlich vielen)

◮ linearen Nebenbedingungen (=,≤,≥) in (endlich vielen)

◮ kontinuierlichen Variablen.

Variante

Zus¨atzliche Daten

fij: Fixkosten f¨ur Verwendung von Link(i,j) Zus¨atzliche Variablen

yij ∈{0,1}:1, falls Link(i,j)verwendet, sonst0

Gemischt ganzzahliges Modell

Minimiere !

(i,j) Link

!

k

!

ℓ

cijx_ij^kℓ+ !

(i,j) Link

fijyij

unter den Nebenbedingungen

!

j:(j,i) Link

x_ji^kℓ− !

j:(i,j) Link

x_ij^kℓ =

"

#$

#%

−b^kℓ (i =k) b^kℓ (i =ℓ)

0 sonst

∀i,k,ℓ

!

k

!

ℓ

x_ij^kℓ ≤ uijyij ∀(i,j) x_ij^kℓ ≥ 0 ∀(i,j),k,ℓ

yij ∈ {0,1} ∀(i,j)

(Gemischt) Ganzzahlige Lineare Optimierung

Optimierung von

◮ linearen Zielfunktionen unter (endlich vielen)

◮ linearen Nebenbedingungen (=,≤,≥) in (endlich vielen)

◮ Variablen, von denen einige nur ganzzahlige Werte annehmen d¨urfen.

(Kontinuierliche) Lineare Optimierung

Ganzzahlige Lineare Optimierung. . .

. . . Ganzzahlige Lineare Optimierung

◮ M¨achtig (z.B. 0/1-Entscheidungsvariablen)

◮ Baut auf (kontinuierlicher) LP auf

◮ Einblick am Ende dieser VL

◮ Vertiefung:

◮ WiSem 20/21: VLKombinatorische Optimierung

◮ SoSem 21: VLGanzzahlige Optimierung

(Kontinuierliche) Lineare Optimierung

◮ Sehr gutes strukturelles Verst¨andnis (Zertifikate, Dualit¨at)

◮ Theoretisch effizient l¨osbar (polynomial)

◮ Praktisch effizient l¨osbar

◮ Hintergrund: Konvexit¨at

Konvexe Optimierung

Portfolio-Optimierung

Daten

◮ n Anlagem¨oglichkeiten (Anlage)

◮ Zu investierendes Kapital: K = 1

◮ Ri: Rendite Anlagei (Zufallsvariable)

Variablen

xi: Anteil des in Anlagei investierten Kapitals

Gesamtrendite (Zufallsvariable) G(x,R) =&n

i=1Rixi

Optimierungsmodell

◮ Ziel: Maximale erwartete Rendite unter der Nebenbedingung, dass die Wahrscheinlichkeit, einen Anteil von b zu verlieren, h¨ochstensα ist.

◮ Maximiere

E[G(x,R)]

unter den Nebenbedingungen

!n i=1

xi = 1 P[G(x,R)≥ −b] ≥ 1−α

x ≥ O

Optimierungsmodell (umformuliert)

Maximiere

〈r,x〉 unter den Nebenbedingungen

〈 ,x〉 = 1 zα

√x^TCx− 〈r,x〉 −b ≤ 0

x ≥ O

◮ zα:(1−α)-Quantil Standardnormalverteilung

◮ C: Kovarianzmatrix (positiv definit) der normalverteiltenRi

◮ ri: Erwartungswerte derRi

Konvexe Optimierung

Minimierung von

◮ konvexen Zielfunktionen

¨ uber

◮ konvexen (abgeschlossenen) MengenX ⊆Rⁿ

◮ Hier: Differenzierbare Zielfunktionen

◮ Oft: X ={x ∈X0|gi(x)≤0 f¨uri = 1, . . . ,m} mit einfacher konvexer Menge X0,gi konvex

Inhalt

◮ Optimierung ohne Nebenbedingungen

◮ Konvexe Mengen und Kegel

◮ Optimalit¨atsbedingungen f¨ur konvexe Optimierungsprobleme

◮ Dualit¨at und Konische Optimierung

◮ Polynomiale Verfahren f¨ur konvexe Optimierung

◮ Die Geometrie der Linearen Optimierung

◮ Der Simplex-Algorithmus

◮ Ganzzahlige und Kombinatorische Optimierung

Literatur. . .

◮ R. J. Vanderbei Linear Programming Springer, 2001.

◮ J. Matousek und B. G¨artner

Using and Understanding Linear Programming Springer, 2006.

◮ V. Chvatal

Linear Programming Freeman, 1983.

◮ D. Bertsimas and J. N. Tsitsiklis Introduction to Linear Optimization Athena, 1997

. . . Literatur

◮ G. B. Dantzig

Linear Programming and Extensions Princeton University Press, 1998 (1963).

◮ A. Ruszcynski

Nonlinear Optimization

Princeton University Press, 2006

◮ A. Schrijver

Theory of Linear and Integer Programming Wiley, 1986.

◮ M. Gr¨otschel, L. Lov`asz, A. Schrijver

Geometric Algorithms and Combinatorial Optimization.

Springer, 1988.

Materialien

◮ www.math.uni-magdeburg.de/~kaibel/

◮ L^ATEX-Folien: Vor VL im Netz

◮ Empfehlung: Zur VL mitbringen (Notizen)

◮ Handschriftliche Folien: Nach VL im Netz

Organisatorisches

◮ Vorlesung

◮ Donnerstag 13:15-14:45 G03-214

◮ Freitag 13:15-14:45 G03-214

◮ Ubungen¨

◮ Verantwortlich: Jonas Frede

◮ Donnerstag, 11:15-13:45 (G05-307)

◮ Leistungsnachweis

◮ Klausur (¨Ubung letzte VL-Woche, 30.1.2020)

◮ Teilnahmenvoraussetzungen

◮ Ubungspunkte, Vorrechnen¨

◮ Details in ¨Ubungen

◮ Modulpr¨ufung

◮ September 2020 (Februar/M¨arz 2020)

◮ In der Regel: Gemeinsam mit Numerik