Prof. Dr. Volker Kaibel M.Sc. Jonas Frede
Wintersemester 2019/2020
Einf¨ uhrung in die Mathematische Optimierung – Blatt 7
www.math.uni-magdeburg.de/institute/imo/teaching/wise19/emo/
Abgabe in der ¨Ubung am 12.12.2019 oder vorher in G02-207a
Aufgabe 1 (4 Punkte)
Beweise Satz 3.16 aus der Vorlesung:
SeienA(1), . . . , A(p)∈Sk+, b∈Rk und C∈Rk×k, und gebe es eine positiv definite symmetri- sche Matrix X(s)∈Sk mit ⟨A(i), X(s)⟩ =bi f¨ur alle i∈ [p].
Eine Matrix X⋆∈Sk+ mit ⟨A(i), X⋆⟩ =bi f¨ur allei∈ [p]ist genau dann Optimall¨osung von min{⟨C, X⟩ ∶ ⟨A(i), X⟩ =bi f¨ur alle i∈ [p], X ∈Sk+},
wenn es einen Vektor µ∈Rp gibt mit Y ∶=C−∑p
i=1
µiA(i)∈Sk+ und ⟨X⋆, Y⟩ =0.
Aufgabe 2 (1+1+1+1 Punkte)
Bestimme die dualen Probleme f¨ur die folgenden linearen Optimierungsprobleme:
1. max{⟨c, x⟩ ∶Ax≤b} 2. max{⟨c, x⟩ ∶Ax≤b, x≥O}
3. max{⟨c, x⟩ ∶Ax=b, x≥O}
4. min{⟨c, x⟩ ∶Ax=b, x≥O}
Aufgabe 3 (3 Punkte)
Dualisiere das folgende lineare Optimierungsproblem:
max 5x1 + 3x2 − 2x3 − 6x4 + 2x5
s.t. x1 − 2x2 + 2x3 + 7x5 = 2
− x1 − 7x3 + 3x4 ≥ −4
+ 4x2 − 5x4 = −7
3x1 − 3x2 + 2x3 − 4x5 ≤ 5 x1, x3∈R+, x2 ∈R−, x4, x5∈R
Bitte wenden!
S. 1/2
Einf¨uhrung in die Mathematische Optimierung – Blatt 7 S. 2/2
Aufgabe 4 (3 Punkte)
Betrachte die Vektoren a1= (1,1,0) und a2 = (0,1,1)und die LPs
min{⟨c, x⟩ ∣Ax=b, x≥O} und (std-LP) max{⟨b, y⟩ ∣A⊺y≤c} . (std-LP-dual) Finde einen Vektora3∈R3, sodass f¨urA= (a1, a2, a3) folgendes m¨oglich ist:
(a) Es gibt b, c∈R3, sodass (std-LP) unbeschr¨ankt und (std-LP-dual) unzul¨assig sind.
(b) Es gibt b, c∈R3, sodass (std-LP) unzul¨assig und (std-LP-dual) unbeschr¨ankt sind.
(c) Es gibt b, c∈R3, sodass (std-LP) unzul¨assig und (std-LP-dual) unzul¨assig sind.
Aufgabe 5 (2+4 Punkte)
Sei (V, E) ein vollst¨andiger bipartiter Graph, d.h. ein Graph mit Knotenmenge V = U ∪W, U∩W = ∅ und Kantenmenge E = {{u, w} ∶u∈U, w∈W}. F¨ur v ∈V sei N(v) = {v′∈V ∶ {v, v′} ∈E}die Menge aller zuv benachbarten Knoten (also N(u) =W f¨uru∈U und N(w) =U f¨urw∈W). Seienc∈RE und b∈RV+.
1. Dualisiere das lineare Optimierungsproblem min⎧⎪⎪
⎨⎪⎪⎩∑
e∈E
cexe∶ ∑
v′∈N(v)
x{v,v′}=bv f¨ur alle v∈V, x∈RE+
⎫⎪⎪⎬⎪⎪
⎭
. (1)
Das duale Problem soll in ¨ahnlichem Stil formuliert sein wie das primale.
2. Zeige, dass (1) genau dann zul¨assig ist, wenn ∑u∈Ubu= ∑w∈Wbw ist.
Hinweis:F¨ur den Fall der Unzul¨assigkeit benutzt man am besten ein Farkas-Lemma und zeigt, dass man einen Vektoryvon Multiplizierern findet, dessen Komponenten f¨ur ein α>0 s¨amtlich aus {−α, α} sind.