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Einf¨ uhrung in die Mathematische Optimierung – Blatt 7

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Academic year: 2022

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Prof. Dr. Volker Kaibel M.Sc. Jonas Frede

Wintersemester 2019/2020

Einf¨ uhrung in die Mathematische Optimierung – Blatt 7

www.math.uni-magdeburg.de/institute/imo/teaching/wise19/emo/

Abgabe in der ¨Ubung am 12.12.2019 oder vorher in G02-207a

Aufgabe 1 (4 Punkte)

Beweise Satz 3.16 aus der Vorlesung:

SeienA(1), . . . , A(p)∈Sk+, b∈Rk und C∈Rk×k, und gebe es eine positiv definite symmetri- sche Matrix X(s)∈Sk mit ⟨A(i), X(s)⟩ =bi f¨ur alle i∈ [p].

Eine Matrix X∈Sk+ mit ⟨A(i), X⟩ =bi f¨ur allei∈ [p]ist genau dann Optimall¨osung von min{⟨C, X⟩ ∶ ⟨A(i), X⟩ =bi f¨ur alle i∈ [p], X ∈Sk+},

wenn es einen Vektor µ∈Rp gibt mit Y ∶=C−∑p

i=1

µiA(i)∈Sk+ und ⟨X, Y⟩ =0.

Aufgabe 2 (1+1+1+1 Punkte)

Bestimme die dualen Probleme f¨ur die folgenden linearen Optimierungsprobleme:

1. max{⟨c, x⟩ ∶Ax≤b} 2. max{⟨c, x⟩ ∶Ax≤b, x≥O}

3. max{⟨c, x⟩ ∶Ax=b, x≥O}

4. min{⟨c, x⟩ ∶Ax=b, x≥O}

Aufgabe 3 (3 Punkte)

Dualisiere das folgende lineare Optimierungsproblem:

max 5x1 + 3x2 − 2x3 − 6x4 + 2x5

s.t. x1 − 2x2 + 2x3 + 7x5 = 2

− x1 − 7x3 + 3x4 ≥ −4

+ 4x2 − 5x4 = −7

3x1 − 3x2 + 2x3 − 4x5 ≤ 5 x1, x3∈R+, x2 ∈R, x4, x5∈R

Bitte wenden!

S. 1/2

(2)

Einf¨uhrung in die Mathematische Optimierung – Blatt 7 S. 2/2

Aufgabe 4 (3 Punkte)

Betrachte die Vektoren a1= (1,1,0) und a2 = (0,1,1)und die LPs

min{⟨c, x⟩ ∣Ax=b, x≥O} und (std-LP) max{⟨b, y⟩ ∣Ay≤c} . (std-LP-dual) Finde einen Vektora3∈R3, sodass f¨urA= (a1, a2, a3) folgendes m¨oglich ist:

(a) Es gibt b, c∈R3, sodass (std-LP) unbeschr¨ankt und (std-LP-dual) unzul¨assig sind.

(b) Es gibt b, c∈R3, sodass (std-LP) unzul¨assig und (std-LP-dual) unbeschr¨ankt sind.

(c) Es gibt b, c∈R3, sodass (std-LP) unzul¨assig und (std-LP-dual) unzul¨assig sind.

Aufgabe 5 (2+4 Punkte)

Sei (V, E) ein vollst¨andiger bipartiter Graph, d.h. ein Graph mit Knotenmenge V = U ∪W, U∩W = ∅ und Kantenmenge E = {{u, w} ∶u∈U, w∈W}. F¨ur v ∈V sei N(v) = {v∈V ∶ {v, v} ∈E}die Menge aller zuv benachbarten Knoten (also N(u) =W f¨uru∈U und N(w) =U f¨urw∈W). Seienc∈RE und b∈RV+.

1. Dualisiere das lineare Optimierungsproblem min⎧⎪⎪

⎨⎪⎪⎩∑

e∈E

cexe∶ ∑

v∈N(v)

x{v,v}=bv f¨ur alle v∈V, x∈RE+

⎫⎪⎪⎬⎪⎪

. (1)

Das duale Problem soll in ¨ahnlichem Stil formuliert sein wie das primale.

2. Zeige, dass (1) genau dann zul¨assig ist, wenn ∑u∈Ubu= ∑w∈Wbw ist.

Hinweis:F¨ur den Fall der Unzul¨assigkeit benutzt man am besten ein Farkas-Lemma und zeigt, dass man einen Vektoryvon Multiplizierern findet, dessen Komponenten f¨ur ein α>0 s¨amtlich aus {−α, α} sind.

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