Einf¨ uhrung in die Mathematische Optimierung – Blatt 6

Prof. Dr. Volker Kaibel M.Sc. Jonas Frede

Wintersemester 2019/2020

Einf¨ uhrung in die Mathematische Optimierung – Blatt 6

www.math.uni-magdeburg.de/institute/imo/teaching/wise19/emo/

Abgabe in der ¨Ubung am 05.12.2019 oder vorher in G02-207a

Aufgabe 1 (4 Punkte)

Wir betrachten das folgende konvexe Optimierungsproblem:

min x²+y²+z²

s.t. (x−5)²+ (y−5)²+z² ≤ 10

−x+y = 4

Konstruiere dazu das Tripel (X₀,(g_i)_i∈[m],(h_i)_i∈[p]) und zeige die Regularit¨at.

Rate eine Optimall¨osung (sie ist ganzzahlig) und beweise die Optimalit¨at mit Hilfe der Karush-Kuhn-Tucker Bedingungen.

Aufgabe 2 (5 Punkte)

Eine wichtige Klasse von konvexen Optimierungsproblemen zwischen der linearen und der semidefiniten Optimierung wird von den Problemen gebildet, bei welchen die Zielfunktion f und die Nebenbedingungsfunktionen g_i affin sind, und die Menge X₀ das kartesische Produkt von Lorentz-Kegeln (second-order cone) der Form

L^q∶=

⎧⎪

⎪⎪

⎨

⎪⎪

⎪⎩

x∈R^q∶x_q ≥

¿ Á Á À

q−1

∑

i=1

x²_i

⎫⎪

⎪⎪

⎬

⎪⎪

⎪⎭

mit q≥1 ist (second-order programs (SOPs)).

Zeige, dass die Klasse der SDPs die SOPs als Sonderfall enth¨alt, indem Du

x∈L^q ⇐⇒

⎛

⎜⎜

⎜

⎝

x_q . . . x₂ x₁

⋮ ⋱ x₂ x_q

x₁ x_q

⎞

⎟⎟

⎟

⎠

∈S^q+

nachweist (leere Eintr¨age haben den Wert 0).

Aufgabe 3 (4 Punkte)

Zeige, wie ein konvex-quadratisches Minimierungsproblem, bei dem die Zielfunktion und die Nebenbedingungen konvexe quadratische Funktionen sind, als SOP formuliert werden kann. Dazu gen¨ugt es, folgendes zu zeigen:

Ist durch g(x) =x^⊺Bx+ ⟨c, x⟩ +δ (mit B ∈Sⁿ+, c∈Rⁿ, δ ∈R) eine konvexe quadratische Funktion g∶Rⁿ→R definiert, so gilt f¨ur B=D^⊺D mit D∈R^rang(B)×n und alle x∈Rⁿ:

g(x) ≤0 ⇐⇒ (2Dx,1+ ⟨c, x⟩ +δ,1− ⟨c, x⟩ −δ) ∈L^rang(B)+2

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Einf¨uhrung in die Mathematische Optimierung – Blatt 6 S. 2/2

Aufgabe 4 (4+2 Punkte)

Die aus Aufgabe 3 des letzten ¨Ubungsblattes bekannte Formulierung f¨ur Projektionen von Polyedern bildet u.a. die Grundlage f¨ur einen Algorithmus, der testet, ob ein gegebenes Polyeder P =P^≤(A, b) ⊆Rⁿ leer ist. Dazu konstruieren wir die Projektion auf die ersten n−1 Variablen, welche genau dann leer ist, wenn P = ∅ ist. Da das Problem f¨ur n =1 trivial ist, ergibt sich ein einfaches rekursives Verfahren.

Seien (x, y) ∈ Rⁿ⁻¹ ×R die Variablen und P_x die genannte Projektion (d.h. das Bild der Projektionsabbildung). Finde eine endliche Beschreibung des Polyeders P_x (durch Ungleichungen), indem Du ein endliches Erzeugendensystem f¨ur denProjektionskegel (der Kegel K aus Aufgabe 3 des letzten ¨Ubungsblattes) aufstellst.

Zeige außerdem, wie man aus einer L¨osung ̃x∈P_x eine L¨osung (̃x,y) ∈̃ P konstruiert.

Hinweis: Das Verfahren nennt man Fourier-Motzkin-Elimination.