Vorlesung Einf¨uhrung in die Mathematische Optimierung (Wintersemester 2019/20)

Vorlesung Einf¨ uhrung

in die

Mathematische Optimierung (Wintersemester 2019/20)

Kapitel 5: Die Geometrie der Linearen Optimierung

Volker Kaibel

Otto-von-Guericke Universit¨at Magdeburg

(Version vom 20. Dezember 2019)

Gliederung

Das Dekompositionstheorem f¨ur Polyeder

Affine H¨ullen und Dimension von Polyedern

Seiten von Polyedern

Irredundante Darstellungen von Polyedern

Homogenisierung von Polyedern

Theoreme von Weyl/Minkowski

Satz 5.1 (Dekompositionssatz f¨ur Polyeder)

Eine MengeP ⊆Rⁿ ist genau dann ein Polyeder, wenn man sie als P = convV + cconeU

mit endlichen MengenV,U ⊆Rⁿ darstellen kann; ein

PolyederP ⊆Rⁿ ist genau dann rational (d.h. durch ein lineares Ungleichungssystem mit rationalen Koeffizienten definierbar), wenn manU und V in der Darstellung als MengenU,V ⊆Qⁿ rationaler Vektoren w¨ahlen kann.

Bezeichnungen

◮ P ={x ∈Rⁿ|Ax ≤b}:Außere Darstellung¨

◮ P = convV + cconeU:Innere Darstellung

Kodierungsl¨angen

Bemerkung 5.2

SindAund b rational, so kann man rationale U und V so w¨ahlen, dass die Kodierungsl¨ange jeder Komponente eines Vektors in V ∪U polynomial in der maximalen Kodierungsl¨ange eines Eintrags in(A,b) beschr¨ankt ist (|V ∪U|l¨asst sich aber i.a. nicht polynomial in der Kodierungsl¨ange von(A,b) beschr¨anken).

Bemerkung 5.3

SindV und U rational, so kann man rationaleA undb so w¨ahlen, dass die Kodierungsl¨ange jeden Eintrags in(A,b) polynomial in der maximalen Kodierungsl¨ange einer Komponente eines Vektors ausV ∪U beschr¨ankt ist (die Anzahl der Ungleichungen inAx ≤b l¨asst sich aber i.a. nicht polynomial in der Kodierungsl¨ange von V ∪U beschr¨anken).

Lineare Optimierung und innere Darstellungen

Bemerkung 5.4

SindV,U ⊆Rⁿ endliche Mengen und c ∈Rⁿ, so ist das Optimierungsproblem

max{〈c,x〉|x∈P} mit P = convV + cconeU (1) genau dann unzul¨assig, wennV =∅ist. Andernfalls ist (1)genau dann unbeschr¨ankt, wenn〈c,u〉>0 f¨ur einu ∈U ist, und falls kein solchesu existiert, ist jedesv^! ∈V aus der endlichen MengeV mit 〈c,v^!〉= max{〈c,v〉|v ∈V} eine Optimall¨osung von(1).

Konsequenzen

Polynomiale Zertifikate

◮ Ist ein lineares Optimierungsproblem mit rationalen Daten weder unzul¨assig noch unbeschr¨ankt, so hat es eine (rationale) Optimall¨osung, deren Kodierungsl¨ange polynomial in der Kodierungsl¨ange der Problems beschr¨ankt ist.

◮ Außerdem kann man (via starker Dualit¨at) die Optimalit¨at einer solchen Optimall¨osung in polynomialer Zeit beweisen.

◮ Das Entscheidungsproblem

”IstAx ≤b l¨osbar“ (f¨ur rationale A,b) ist inNP∩coNP (gute Charakterisierung).

Charakteristischer Kegel / Rezessionskegel

Definition 5.5

Konvexe H¨ullen vonendlichen Punktmengen heißenPolytope.

Bemerkung 5.6

Polyeder sind also genau die Minkowski-Summen eines Polytops und eines polyedrischen Kegels.

Definition 5.7

Dercharakteristische Kegel (Rezessionskegel) eines Polyeders P ⊆Rⁿ istchar(P) ={y ∈Rⁿ|x+y ∈P f¨ur alle x ∈P}.

Charakterisierung des charakteristischern Kegels

Satz 5.8

F¨ur jedes nicht-leere Polyeder∅∕=P = P^≤(A,b) =Q+K (mit A∈R^m×n,b∈R^m, einem PolytopQ ⊆Rⁿ und einem

polyedrischen KegelK ⊆Rⁿ) gelten:

1. char(P) =K

2. char(P) = P^≤(A,Om)

3. char(P) ={y ∈Rⁿ|x^!+ ccone{y}⊆P} f¨ur alle x^! ∈P

Beispiel

Polytope

Bemerkung 5.9

F¨ur nicht leere PolyederP ⊆Rⁿ sind folgende Aussagen paarweise

¨aquivalent:

1. P ist ein beschr¨anktes Polyeder.

2. char(P) ={On} 3. P ist ein Polytop.

Der Linealit¨atsraum

Definition 5.10

1. DerLinealit¨atsraum eines konvexen KegelsK ⊆Rⁿ ist lineal(K) ={y ∈K|−y ∈K}=K ∩(−K),

der gr¨oßte inK enthaltene lineare Unterraum vonRⁿ. 2. DerLinealit¨atsraum eines PolyedersP ⊆Rⁿ ist

lineal(P) = lineal(char(P)).

3. Ein Polyeder P ⊆Rⁿist spitz, wenn sein Linealit¨atsraum lineal(P) ={On} trivial ist. (Spitze Polyeder sind nicht leer (n≥1).)

Satz 5.11

F¨ur Polyeder∅∕=P = P^≤(A,b) (mit A∈R^m×n,b ∈R^m) gelten:

1. lineal(P) = kerA

2. lineal(P) ={y ∈Rⁿ|x^!+ lin{y}⊆P} f¨ur alle x^! ∈P

Beispiele

Beispiele

Affine H¨ulle und Dimension

Satz 5.12

F¨ur jedes nicht leere Polyeder∅∕=P = P^≤(A,b)(mit A∈R^m×n, b∈R^m) ist

affP ={x∈Rⁿ|A_Eq(P),!x=b_Eq(P)}. Insbesondere ist dieDimensionvon P

dimP = dim affP =n−rang(AEq(P),!).

Dabei ist. . .

Eq(P) = Eq_Ax≤b(P) ={i ∈[m]|〈Ai,!,x〉=bi f¨ur alle x ∈P}

Beispiele

Seiten

Definition 5.13

DieSeitendes Polyeders P ⊆Rⁿsind ∅,P und alle Teilmengen F ⊆P mitF =P∩H⁼(a,β) f¨urP enthaltende Halbr¨aume H^≤(a,β)⊇P (mit a∈Rⁿ,β ∈R). Die Ungleichung〈a,x〉 ≤β definiert die SeiteF.

Bemerkung 5.14

1. ∅und P sind dietrivialen Seiten von P.

2. Seiten von Polyedern sind Polyeder.

3. Die Menge der Optimall¨osungen eines (weder unzul¨assigen noch unbeschr¨ankten) linearen Optimierungsproblems

γ = max{〈c,x〉|Ax ≤b,x ∈Rⁿ}

ist genau die durch〈c,x〉 ≤γ definierte Seite vonP^≤(A,b).

Implizierte Ungleichungen

Satz 5.15

Eine Ungleichung〈a,x〉 ≤β (mit a∈Rⁿ,β ∈R) ist genau dann g¨ultig f¨ur ein nicht-leeres Polyeder∅∕= P^≤(A,b) mitA∈R^m×n, b∈R^m (Ax ≤b impliziert 〈a,x〉 ≤β), wenn esy ∈R^m+ gibt mit

y^TA=a und 〈y,b〉 ≤β.

Außere Darstellung von Seiten ¨

Satz 5.16

SeiP = P^≤(A,b) mit A∈R^m×n,b∈R^m.

1. Die Seiten von P sind genau die Mengen {x∈P|AI,!x =bI} f¨ur alle I ⊆[m]und die leere Seite.

2. F¨ur jede nicht-leere Seite F von P gilt

F ={x ∈P|A_Eq(F),!x =b_Eq(F)}. Die Dimension von F ist dimF =n−rang(A_Eq(F),!).

3. Der Schnitt zweier Seiten von P ist eine Seite von P. 4. Seiten von Seiten vonP sind Seiten vonP.

5. Die nicht-trivialen Seiten von P haben Dimensionen zwischen dim lineal(P) unddimP−1 (einschließlich).

Dabei ist. . .

Eq(F) = Eq_Ax≤b(F) ={i ∈[m]|〈Ai,!,x〉=bi f¨ur alle x ∈F}

Innere Darstellung von Seiten

Satz 5.17

SeienP = convV + cconeU mit endlichen MengenV,U ⊆Rⁿ undF eine von〈a,x〉 ≤β definierte Seite von P.

1. F = conv{v ∈V |〈a,v〉=β}+ ccone{u ∈U|〈a,u〉= 0} 2. Falls F ∕=∅:

◮ char(F) = char(P)∩H⁼(a,0)

(die von〈a,x〉 ≤0definierte Seite vonchar(P))

◮ lineal(F) = lineal(P)

Bemerkung 5.18

Jedes Polyeder hat endlich viele Seiten.

Irredundante ¨außere Darstellungen

Definition 5.19

Eineirredundante ¨außere Darstellungeines PolyedersP ⊆Rⁿ ist ein SystemA⁽¹⁾x=b⁽¹⁾,A⁽²⁾x ≤b⁽²⁾ (mitA⁽¹⁾ ∈R^m1×n, b⁽¹⁾ ∈R^m1,A⁽²⁾∈R^m2×n,b⁽²⁾ ∈R^m2) mit

P ={x∈Rⁿ|A⁽¹⁾x =b⁽¹⁾,A⁽²⁾x ≤b⁽²⁾},

so dass jedes echte Untersystem vonA⁽¹⁾x =b⁽¹⁾,A⁽²⁾x≤b⁽²⁾ ein gr¨oßeres Polyeder alsP definiert und f¨ur keini ∈[m2]die

Gleichung〈A⁽²⁾i,!,x〉=bi g¨ultig f¨ur P ist.

Facetten

Definition 5.20

Die inklusionsmaximalen unter den nicht-trivialen Seiten eines Polyeders sind seineFacetten.

Satz 5.21

Eine nicht-triviale SeiteF eines PolyedersP ist genau dann eine Facette vonP, wenndimF = dimP−1 ist.

Charakterisierung irredundanter ¨außerer Darstellungen

Satz 5.22

IstP ∕=∅ ein nicht-leeres Polyeder, so ist ein System A⁽¹⁾x=b⁽¹⁾,A⁽²⁾x≤b⁽²⁾

genau dann eine irredundante ¨außere Darstellung vonP, wenn 1. affP ={x ∈Rⁿ|A⁽¹⁾x=b⁽¹⁾} ist,

2. die Matrix A⁽¹⁾ vollen Zeilenrang hat,

3. jede Ungleichung in A⁽²⁾x ≤b⁽²⁾ eine Facette von P definiert 4. und jede Facette vonP von genau einer Ungleichung aus

A⁽²⁾x ≤b⁽²⁾ definiert wird.

Irredundante innere Darstellungen

Definition 5.23

Eineirredundante innere Darstellung eines PolyedersP ⊆Rⁿ besteht aus endlichen MengenV,U ⊆Rⁿ mit

P = convV + cconeU+ lineal(P), so dass f¨ur alle echten TeilmengenV˜ ⊊V und U˜⊊U

P ⊋conv ˜V + cconeU + lineal(P) und

P ⊋convV + ccone ˜U + lineal(P) ist.

Minimale Seiten von Polyedern

Definition 5.24

Die inklusionsminimalen unter den nicht-leeren Seiten eines Polyeders sind seineminimalen Seiten.

Satz 5.25

F¨ur eine nicht-leere SeiteF ∕=∅eines PolyedersP = P^≤(A,b) (mitA∈R^m×n,b∈R^m) sind folgende Aussagen paarweise

¨aquivalent (mitEq(F) = Eq_Ax≤b(F)):

1. F ist eine minimale Seite vonP. 2. F ={x∈Rⁿ|A_Eq(F),!x=b_Eq(F)} 3. F ={x^!}+ lineal(P)f¨ur alle x^! ∈F 4. dimF = dim lineal(P)

Beispiele

Echte minimale Seiten von polyederischen Kegeln

Definition 5.26

Die inklusionsminimalen unter den vom Linealit¨atsraum

verschiedenen Seiten eines polyederischen Kegels sind seineechten minimalen Seiten.

Satz 5.27

F¨ur eine nicht-leere SeiteG ∕=∅eines polyedrischen

KegelsK = P^≤(A,O^m) (mitA∈R^m×n) sind folgende Aussagen paarweise ¨aquivalent (mitEq(G) = Eq_Ax≤Om(G)):

1. G ist eine echte minimale Seite vonK.

2. G ={x ∈Rⁿ|A_Eq(G),!x =OEq(G),〈Ai,!,x〉 ≤0} f¨ur alle i ∈[m]\Eq(G)

3. G = ccone{x^!}+ lineal(K) f¨ur alle x^!∈G\lineal(K) 4. dimG = dim lineal(K) + 1

Ecken und Extremalstrahlen

Definition 5.28

1. Die (0-dimensionalen) minimalen Seiten {v} (oder auchv selbst) eines (spitzen) Polyeders sind seine Ecken.

2. Die (1-dimensionalen) echten minimalen Seiten eines (spitzen) polyederischen Kegels sind seine Extremalstrahlen. Die von O verschiedenen Vektoren in einem Extremalstrahl sind seine Erzeuger.

Satz 5.29

Ein Punktv ∈P in einem Polyeder P ist genau dann eine Ecke vonP, wennv ∕∈conv (P \ {v}) ist, d.h., wenn v ein

ExtremalpunktvonP ist.

Charakterisierung irredundanter innerer Darstellungen

Satz 5.30

F¨ur ein nicht-leeres PolyederP und zwei endliche Mengen V ⊆P undU ⊆char(P) ist

P = convV + cconeU + lineal(P)

genau dann eine irredundante innere Darstellung vonP, wenn 1. V aus jeder minimalen Seite vonP genau einen Punkt und 2. U aus jeder echten minimalen Seite von char(P) genau einen

nicht in lineal(P) liegenden Vektor enthalten.

Folgerungen f¨ur spitze Polyeder

Korollar 5.31

F¨ur spitze PolyederP und endliche Mengen V ⊆P und

U ⊆char(P) ist also genau dannP = convV + cconeU, wennV alle Ecken undU Erzeuger aller Extremalstrahlen vonchar(P) enth¨alt.

Korollar 5.32

Ein lineares Optimierungsproblem ¨uber einem spitzen Polyeder ist unbeschr¨ankt oder nimmt sein Optimum in einer Ecke des Polyeders an.

Korollar 5.33

Eine spitzes Polyeder ist genau dann rational, wenn es nur rationale Ecken hat und sein charakteristischer Kegel nur rational erzeugte Extremalstrahlen besitzt.