Prof. Dr. Volker Kaibel M.Sc. Jonas Frede
Wintersemester 2019/2020
Einf¨ uhrung in die Mathematische Optimierung – Blatt 8
www.math.uni-magdeburg.de/institute/imo/teaching/wise19/emo/
Abgabe in der ¨Ubung am 19.12.2019 oder vorher in G02-207a
Aufgabe 1 (4 Punkte)
Beweise das “Farkas-Lemma zur Charakterisierung der g¨ultigen Ungleichungen”: SeiP = P≤(A, b)f¨urA∈Rm×n, b∈Rm ein nicht-leeres Polyeder. Die f¨urP g¨ultigen Ungleichungen (Ungleichungen die von allen x ∈ P erf¨ullt werden) sind genau die der Form (λ⊺A)x ≤ λ⊺b+λ0 f¨urλ∈Rm+, λ0 ∈R+.
Hinweis: F¨ur die schwierigere Richtung kann man ein Ungleichungssystem aufstellen, welches die obige Darstellbarkeit modelliert. Falls dann keine Darstellung existiert, helfen die gewonnenen Farkas-Multiplizierer, einen Widerspruch zu konstruieren.
Aufgabe 2 (4 Punkte)
Seien c= (7,6,5,−2,3) ∈R5, b= (4,3,5,1) ∈R4 und
A=
⎛⎜⎜
⎜⎝
1 3 5 −2 2 4 2 −2 1 1 2 4 4 −2 5 3 1 2 −1 −2
⎞⎟⎟
⎟⎠
gegeben. Wir wollen ¨uberpr¨ufen, obx∗ = (0,43,23,53,0) eine Optimall¨osung von
max{⟨c, x⟩ ∶Ax≤b, x≥O5}ist. Betrachte dazu eine potenzielle L¨osungy∗des dualen LPs und wende auf x∗ und y∗ den Satz vom komplement¨aren Schlupf an.
Aufgabe 3 (3+3 Punkte)
Wir betrachten das folgende sogenannte s-t-Fluss-Problem: Ein gerichteter GraphD mit Knotenmenge V und Bogenmenge A sei gegeben, sowie eine Quelles∈V und eine Senke t ∈ V. Es seien w ∈ RA+ Kapazit¨aten auf den B¨ogen. Ein Fluss ist ein x ∈ RA+ mit der Eigenschaft
(v,w)∈A∑ x(v,w)= ∑
(u,v)∈Ax(u,v) f¨ur allev ∈V ∖ {s, t} Flusserhaltung
0≤xa≤wa f¨ur allea∈A Kapazit¨atsbeschr¨ankung Der Wert eines Flusses x ist ∑
(s,u)∈Ax(s,u). Seien nun c ∈ RA+ Kosten f¨ur die B¨ogen. Die Kosten eines (s, t)-Flusses x sind alsa∈A∑ caxa definiert.
(a) Modelliere das Problem, einen (s, t)-Fluss vom Wert 1 zu finden, dessen Kosten minimal sind, durch ein lineares Problem.
(b) Stelle das duale Problem auf.
In beiden F¨allen sollen f¨ur das entsprechende LP nicht einfach Symbole f¨ur Matri- zen/Vektoren, sondern einzelne (Un-)Gleichungen (quantifiziert mit “f¨ur alle . . . ”) an- gegeben werden.
Bitte wenden!
S. 1/2
Einf¨uhrung in die Mathematische Optimierung – Blatt 8 S. 2/2
Aufgabe 4 (3+3 Punkte)
Sein≥1 eine nat¨urliche Zahl unda, b∈Rnmita1, . . . , anpaarweise verschieden. Betrachte das folgende LP.
min⟨b, x⟩ − ⟨b, y⟩
∑n
k=1xk+k=1∑n yk=1
∑n
k=1xk=k=1∑n yk
⟨a, x⟩ = ⟨a, y⟩ x, y≥0.
(a) Stelle das duale LP auf.
(b) Beweise, dass der mit -1 multiplizierte Optimalwert gleich min{ max
k=1,...,n∣bk−µak−β∣ ∶µ, β∈R}
ist, also der kleinste vertikale Maximalabstand einer Geraden zu den n Punkten (ak, bk).
