Periodische Wellen : Spezielle Lösungen der Wellengleichung

(1)

Periodische Wellen : Spezielle Lösungen der Wellengleichung

Die Gleichung für ebene Wellen ohne Dispersion lautet:

2 2

2 2 2

( , ) 1 ( , ) v

f z t f z t

t z

∂ = ⋅ ∂

∂ ∂

Ausbreitung entlang der z-Achse

Flächen konstanter Phase sind parallel zur xy-Ebene

Lösungen dieser Wellengleichung lassen sich in folgender Form finden:

( , ) r ( v ) _l ( v ) f z t = f z − ⋅ + t f z + ⋅ t

Linkslaufende Welle Rechtslaufende Welle

Die Argumente z und t kommen nur in den Kombinationen z -v·t resp. z + v·t vor.

Die Geschwindigkeit v ist die Phasengeschwindigkeit.

Man zeigt leicht, daß die Kombinationen und zu Lösungen der Wellengleichung führen:

^r

( z v ) t

η = − η

_l

= + ( z v ) t

(2)

r r r r

( , ) ( v ) ( ) f z t = f z − t = f η

r r r

r r

r

r r

( , ) ( ) ( )

t v

f z t d f df

t d d

η η η

η η

∂ = ⋅ ∂ = − ⋅

∂ ∂

2 2

r

2 r

r

2 2

r

( , ) ( )

f z t v d f

t d

η η

∂ = ⋅

∂

r r r

r r

r

r r

( , ) ( ) ( )

z

f z t df d f

z d d

η η η

η η

∂ ∂

= ⋅ =

∂ ∂

2 2

r r r

2 2

r

( , ) ( )

f z t d f

z d

η η

∂ =

∂

2 2

2 r r

2 2

( , ) ( , )

v f z t

f z t d

d z t

∂ = ⋅

∂

Analog löst die Wellengleichung. Als Lösungen kommen beliebige, stetig differenzierbare Funktionen und in Frage.

( v ) f z

l

+ t

l

( )

l

f η ( )

r r

f η

v ⋅ t

( )

r r

f η

z

v ⋅ t

z

l

( )

l

f η

(3)

Wichtiger Spezialfall: Periodische Wellen

Fourier-Synthese:

Aus ort- und zeit-periodischen Lösungen lassen sich alle Lösungen durch Linearkombinationen aufbauen.

Man betrachtet also Funktionen der Form: cos( ( v ) ) ( v )

sin( ( v ) ) k z t f z t

k z t

⎧ ⋅ ±

± = ⎨ ⎩ ⋅ ±

Die zeitliche Periode dieser Funktionen ist:

k ⋅ ⋅ = v T 2 π 2

v T k

ω = π = ⋅

Die räumliche Periode dieser Funktionen ist:

k ⋅ = λ 2 π 2 k λ = π

cos( k z ⋅ ± ω t ) sin( k z ⋅ ± ω t )

cos(2 z )

π ^{⋅ ±} λ ω t

sin(2 z )

π ^{⋅ ±} λ ω t

Dies sind die Basisfunktionen für die Fouriersynthese von beliebigen

Wellenfunktionen.

(4)

Die Formulierung mit komplexen Funktionen erleichtert die Arbeit :

( )

exp( ( ^{i k z} ^{⋅ +} ^ω ^t )) ⁼ e

^{i k z}^{⋅ +}

^ω

^t

( )

exp( ( i k z ⋅ − ω t )) = e

^{i k z}^{⋅ −}

^ω

^t

Linkslaufende Welle

Rechtslaufende Welle

Physikalische relevante, reelle Wellen erhält man z.B. durch den Realteil (oder Imaginärteil):

( )

0 0

1

( , ) ( e

^{i k z} ^t

) cos( ^{k z} ^t ) E z t = ℜ E ⋅

^{⋅ −} ^ω

= E ⋅ ⋅ − ω

( )

0 0

2

( , ) ( e

^{i k z} ^t

) sin( ^{k z} ^t ) E z t = ℑ E ⋅

^{⋅ −} ^ω

= E ⋅ ⋅ − ω

z

2 k

λ

=

π

t

T 2

π

=

ω

(5)

Allgemeine Lösungen der Wellengleichung zu beliebigen Anfangsbedingungen lassen sich durch eine Fourier-Synthese aufbauen:

( )

( , ) ( , ) e

^{i kz} ^t

f z t

^{+∞ +∞}

A k ω

⁺^ω

dkd ω

−∞ −∞

= ∫ ∫ ⋅

Fourier- Transformierte

In dieser Vorlesung: Betrachtung von ganz wenigen, einfachen Spezialfällen

Periodische Wellen : Spezielle Lösungen der Wellengleichung