4.2 Wellen
Wellengleichung (s. letzte Vorlesung)
Die homogene, partielle DGL 2. Ordnung beschreibt die Auslenkung in y-Richtung für Oszillatoren mit Masse m und Abstand DL bei Position x zur Zeit t. Die Gesamtmasse ist M, die Gesamtlänge ist L, die sog. Massenbelegung ist damit r = M/L. Die Seilspannung T hat die Einheit 1 N. Der Parameter v kann als Ausbreitungsgeschwindigkeit interpretiert werden (s. weiter unten).
Eingespannte Saite
Anfangsbedingung Lösung mit Produktansatz
Produktansatz eingesetzt:
Für alle x und t gilt
Mit den Randbedingungen ist
r T M T L m T L x v
v y t
y D
22 2 2 2 2
0
) ( )
0 , (
) ( )
0 , (
0 ) , ( ) , 0 (
0 0
x y x
y
x y x
y
t L y t y
) ( ) ( ) ,
( x t A x B t
y
0 0
2
2
A v A B A B
B v B A A
B y A
B y
B A y B
A y
ikx ikx
k
t i t
i
e d e
d x A v A
A A v A
e c e
c t B B
B B B
x g t f x
g t f
2 2 1
2 2
2
2 1
2 2
2
) ( 0
) ( 0
const.
) ( ) ( 0
) ( ) (
2
Zur Zeit t = 0 sei die Saite in der Ruhelage, d.h. y 0 (x) = 0
Dies ist eine sog. stehende Welle, die als Überlagerung zweier laufender Wellen in entgegengesetzter Richtungen interpretiert werden kann. Laufende Wellen in positiver x-Richtung werden allgemein oder
beschrieben, d.h. für einen festen Zeitpunkt t ergibt sich eine periodische Funktion des Orts und an einem bestimmten Ort x wird eine harmonische Schwingung beobachtet.
Mit der Definition (s.o.)
Frequenz der Schwingung
Höhere Saitenspannung und/oder kürzerer Saite → höherer Ton.
n = 1 Grundfrequenz n > 1 Obertöne
Wellenlänge (Länge entlang x für eine Sinusschwingung) Die Größe k wird als Wellenzahl bezeichnet
t k x t k x
t x
k t
x
y cos cos 2
) 1 sin(
) sin(
) , (
T n L L
n k T
v f
k v v
k
r
r
2 1 2
1 2
1 2
2 2 2
f v k
2
2 k
t k x y x t ei
t k x t
x
y ( , ) cos ( , )
Beispiele für Wellen
- Longitudinale oder transversale Auslenkung von Oszillatoren (gekoppelte Pendel, Atome, Saiten, Flächen ...)
- Auslenkung von Grenzflächen z.B. Oberfläche von Wasser, seismische Wellen
- Schallwellen (longitudinale Dichte- und Druckschwankungen in Gasen, Flüssigkeiten und Festkörpern) - Plasmawellen (Dichteunterschiede von Elektronen und Ionen)
- Signale auf Drähten
- Elektromagnetische Wellen: Radiowellen, Infrarot, sichtb. Licht, Ultraviolett, Röntgen-, Gammastrahlung - Wahrscheinlichkeitswellen für Teilchen (s. Quantenmechanik)
Transversale Wellen sind linear oder zirkular "polarisiert" (die Schwingung hat eine Richtung) Grundgrößen
Frequenz f und Kreisfrequenz Wellenlänge und Wellenzahl k
Phasengeschwindigkeit v und Gruppengeschwindigkeit v G
Im Allgemeinen müssen diese Geschwindigkeiten nicht konstant sein, sondern können von der Wellenlänge abhängen (Dispersion z.B. von Licht in Glas, Meereswellen, ...).
Die Beziehung zwischen und k wird Dispersionsrelation genannt. Wenn sie nicht linear ist (keine Ursprungsgerade), muss man unterscheiden:
- Phasengeschwindigkeit: Geschwindigkeit eines Merkmals der Oszillation z.B. eines Wellenbergs.
- Gruppengeschwindigkeit: Geschwindigkeit eines Merkmals der Einhüllenden, z.B. des Maximums eines "Wellenpakets" (z.B. das Muster einer Schwebung oder eine pulsförmige Welle).
dk v d
f k v
k
f
G
2
2
Beispiel:
Welle ohne Dispersion (schwarz), z.B. Licht im Vakuum Welle mit Dispersion (blau), z.B. Radiowelle in einem Rohr (Wellenleiter). Die Phasengeschwindigkeit (Steigung der roten Ursprungsgeraden) kann größer sein als die Vakuum- Lichtgeschwindigkeit c, transportiert aber keine Information, während die Gruppengeschwindigkeit (Steigung der Tangente) kleiner als c ist.
Weitere Details siehe Physik II und III.
Experimente:
Transversale Wellen mit einer Spiralfeder:
Schwingungsknoten am feste Ende Schwingungsbauch am losen Ende
Stehende Wellen auf einseitig eingespanntem Stab:
Im Schattenwurf erkennt man die Schwingungsbäuche und –knoten.
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