(a) Bestimmen Sie das chemische Potential µ(T) bei Temperaturen in der N¨ahe der Kondensationstemperatur: 0 &lt

Karlsruher Institut f¨ur Technologie Institut f¨ur Theorie der Kondensierten Materie Moderne Theoretische Physik III (Theorie F – Statistische Mechanik) SS 17

Prof. Dr. Alexander Mirlin Musterl¨osung: Blatt 8

PD Dr. Igor Gornyi, Janina Klier Besprechung: 16.06.2017

1. Bose-Gas in der N¨ahe der Kondensationstemperatur: (10+10=20 Punkte) Betrachten Sie ein ideales Bose-Gas bei festgehaltener Dichte n in drei r¨aumlichen Di- mensionen. Das Bose-Gas kondensiert zu einem Bose-Einstein-Kondensat bei kritischer TemperaturT_c(n).

(a) Bestimmen Sie das chemische Potential µ(T) bei Temperaturen in der N¨ahe der Kondensationstemperatur: 0 < T −T_c(n) T_c(n). Hinweis: Zeigen Sie, dass f¨ur 0<1−z 1 gilt:g_3/2(z) = X

k

z^k

k^3/2 'g_3/2(1)−2p

π(1−z).

L¨osung:

Unser Startpunkt ist die folgende Gleichung aus der Vorlesung n= g_3/2(z)

λ³_T , (1)

wobei

λ_T = s

2π~²

mk_BT, z =e^µ/kBT. (2) Wir benutzen zun¨achst

g3/2(z)≈g3/2(1)−2p

π(1−z) (3)

und l¨osen die Gleichung f¨ur das chemische Potentialµ(T). Wir werden Gl. (3) sp¨ater beweisen.

Wir f¨uhren die Notation

δT =T −T_c(n), δz = 1−z ≈ − µ

k_BT_c(n), λ_c = s

2π~²

mk_BT_c(n) (4) ein.

Wir entwickeln in der N¨ahe vonT =Tc(n) n = 1

λ³_cg_3/2(1) + 1 λ³_c

3 2

δT

T_c g_3/2(1)− 1 λ³_c 2√

πδz (5)

und benutzen die Definition der kritischen Temperatur n = 1

λ³_cg_3/2(1). (6)

Wir finden

δz = 9

16πg_3/2² (1) δT

T_c 2

. (7)

Schließlich,

µ=−9k_B 16π

(T −T_c)²

T_c g_3/2² (1). (8)

Wir beweisen nun Gl. (3). Es ist n¨utzlich zuerst die Integraldarstellung von g_3/2(z) zu zeigen. Diese lautet

g_3/2(z) =

∞

X

k=1

1 k^3/2z^k =

∞

X

k=1

1 kz^k

Z dx

√2πe^−kx2/2 =−

Z dx

√2πlnh

1−e^−x2/2zi (9)

Daraus erhalten wir f¨ur die Differenz von g_3/2(z)−g_3/2(1) folgendes g_3/2(z)−g_3/2(1) =−

Z dx

√2π ln

1 + δz e^x2/2 −1

(10) Lasst uns dieses Integral im Detail betrachen. Wenn wir versuchen es in δz zu entwickeln, erhalten wir sofort eine Divergenz f¨ur kleine x. Dies zeigt uns, dass die Antwort sich wie √

δz verh¨alt und das nicht analytische Verhalten aus Werten f¨ur kleinexentsteht. Wir k¨onnen daher den Ausdruck f¨ur unter dem Integral f¨ur kleine x entwickeln und erhalten

g_3/2(z)−g_3/2(1) =−

Z dx

√2π ln

1 + 2δz x²

=−2√

πδz (11)

(b) Die Ableitung

c⁰(T) = ∂c_V

∂T

V,N

hat bei T_c einen Sprung ∆c⁰ =c⁰(T_c+ 0)−c⁰(T_c−0). Berechnen Sie ∆c⁰. L¨osung:

Vorlesung:

T < T_c: µ= 0, S = 5k_Bk_B

2λ³_T g_5/2(1), (12)

c_V =T ∂S

∂T

V,N

= 3

2S = 15k_BV

4λ³_T g_5/2(1), (13)

T > T_c: µ=µ(n, T), U = 3 2k_BT V

λ³_Tg_5/2(z), z(n, T) = e

µ(n,T)

kB T , (14) c_V =

∂U

∂T

V,N

= 15k_BV

4λ³_T g_5/2(z)− 3V 2λ³_T

µ

Tg_3/2(z) + 3V 2λ³_T

∂µ

∂Tg_3/2(z). (15) Mit

µ(T)' −9k_B 16π

(T −T_c)²

T_c g_3/2² (1)

aus 1(a) erhalten wir f¨urT =T_c+ 0 µ

T

T→T_c ∝ (T −T_c)²

T_c² →0, (16)

∂µ

∂T T→Tc

∝ (T −T_c)

T_c →0, (17)

∂²µ

∂T² T→T_c

=−9k_B

8πT_cg_3/2² (1). (18)

Aus diesen Relationen folgt, dass wir f¨ur die Berechnung des Sprungs der W¨arme- kapazit¨at nur Terme, die die 2. Ableitung des chemischen Potentials nach der Tem- peratur enthalten, da die restlichen Terme verschwinden. Damit folgt:

∆c⁰ = 3V 2λ³_T

∂²µ

∂T²g_3/2(z) T→T_c

=− 27

16πg_3/2² (1)k_BV n

T_c . (19)

2. Strahlungsdruck: (10 Punkte)

In einen Hohlraum wird ein K¨orper eingebracht. ¨Uber Absorption und W¨armestrah- lung bei der Temperatur T stellt sich ein Gleichgewicht zwischen dem K¨orper und den Photonen ein. Jedes Photon, das auf den K¨orper auftrifft, wird von dem K¨orper ab- sorbiert (“idealer schwarzer K¨orper”) und ¨ubertr¨agt seinen Impuls ~p auf ihn. Finden Sie den mittleren Impuls pro Fl¨achenelement, der durch die absorbierten Photonen auf den K¨orper im Zeitinterval dt ubertragen wird. Vergleichen Sie Ihr Ergebnis mit dem¨ Strahlungsdruck P aus der Vorlesung.

L¨osung:

Die Anzahl der Photonen mit dem totalen Wert f¨ur den Impuls in (k, k+dk) und dem Winkel zwischen dem Impuls und der z-Achse in (θ, θ+dθ) ist

2×2πsinθdθk²dk 1 (2π~)³

1

e^βck−1 (20)

F¨ur solch ein Photon ist die Geschwindigkeit v_z =ccosθ und der Impulsk_z ist kcosθ.

Daher ist der Impuls, der durch das Oberfl¨achenelemet dS der Wand ¨ubertragen wird, gegeben durch

δp_z =dSdt Z π/2

0

dθ Z ∞

0

dk

2×2πsinθk² 1 (2π~)³

1 e^βck−1

×ccosθ×kcosθ

= dSdtc 2π²~³

Z π/2

0

sinθcos²θdθ Z ∞

0

dkk³ 1

e^βck−1 = dSdt 2π²~³c× 1

3 ×k_B⁴T⁴ c⁴

Z ∞

0

dk k³ e^k−1

= dSdt 2π²~³ × 1

3 ×k⁴_BT⁴ c⁴

π⁴

15 =dSdt× 1 2× π²

45

(k_BT)⁴

(~c)³ . (21) Hier benutzen wir das Integral aus Aufgabe 3(a).

Wir bemerken, dass dies genau die H¨alfte der Antwort ist, die wir aus dem Ausdruck des Strahlungdruckes erwarten w¨urden

P = π² 45

(k_BT)⁴

(~c)³ . (22)

Der Grund ist, dass ein schwarzer K¨orper nicht nur Photonen absorbiert sondern auch emittiert. Daher kommt die zweite H¨alfte das Strahlungsdruckes.

3. Phononen: (7+7+6=20 Punkte) (a) In dem Debye-Modell wird das Spektrum der akustischen Zweige ω_kσ = ck bei einer gewissen endlichen Frequenz ω_D abgebrochen. Berechnen Sie die W¨armeka- pazit¨at der Phononen f¨ur das Debye-Modell in drei r¨aumlichen Dimensionen (Po- larization σ = 1,2,3) bei tiefen Temperaturen, T Θ_D, wobei Θ_D = ~ω_D/k_B Debye-Temperatur ist. Hinweis: R∞

0 dxx³/(e^x−1) = π⁴/15.

L¨osung:

Wir betrachten die Innere Energie. Die Grundzustandsenergie ist U₀ =X

~k,σ

~ω_~k,σ 2 . Es gilt dann also

U −U₀ = X

~k,σ

~ck

e^β~ck −1 = V (2π)³

X

σ

Z

d³k ~c|k|

e^β~ck −1

= V

(2π)³ X

σ

(k_BT)⁴ (~c)³

Z ∞

0

d³x x e^x−1

= V

(2π)³3(kBT)⁴ (~c)³ 4π

Z ∞

0

dx x³ e^x−1

= V

(2π)³3(k_BT)⁴ (~c)³ 4ππ⁴

15 = π² 10

V

(~c)³ (k_BT)⁴ Damit finden wir schließlich f¨ur die spezifische W¨arme

c_V = 2

5V π²k_B k_BT

~c 3

∝ T³ .

(b) Zeigen Sie, dass im Limes hoher Temperaturen T Θ_D die klassischen Resultate f¨ur die innere Energie (Gleichverteilungssatz) und die W¨armekapazit¨at (Dulong- Petit-Gesetz) gelten.

L¨osung:

Die Zustandssumme der unterscheidbaren Oszillatoren (µ= 0) lautet:

Z =X

α

e^−βEα =Y

λ

∞

X

nλ=0

e^{−β~ωλ(nλ+1/2)}

!

=Y

λ

e^−β~ωλ12 1−e^−β~ωλ

! ,

wobeiλ ={~k, σ}.

Innere Energie:

U = −1 Z

∂Z

∂β =− ∂

∂β ln(Z) = − ∂

∂β X

λ

−β~ω_λ

2 −ln 1−e^−β~ωλ

.

Hochtemperaturlimes k_BT ~ω_D ⇒ e^β~ωλ ≈1 +β~ω_λ:

U =X

λ

~ω_λ 1

2 +kBT

~ω_λ

=X

λ

k_BT 1 + 1

2

~ωλ

k_BT

= 3N k_BTh

1 +O ~ωλ

k_BT

| {z }

1

i ,

wobei N die Anzahl von Atomen ist. In f¨uhrender Ordnung ist dies genau der Gleichverteilungssatz, der besagt, dass jeder Freiheitsgrad, der quadratisch in der Hamilton-Funktion auftritt mit (1/2)N k_BT zur inneren Energie beitr¨agt.

Die W¨armekapazit¨at erh¨alt man durch Ableiten nachT und wir finden c_V = 3N k_B. (Dulong-Petit-Gesetz).

(c) Betrachten Sie nun einen Kristall inDr¨aumlichen Dimensionen. Bestimmen Sie das f¨uhrende Temperaturverhalten der W¨armekapazit¨at der Phononen im Limes tiefer Temperaturen T →0. Die explizite Berechnung des T-unabh¨angigen Koeffizienten ist nicht gefordert.

L¨osung:

Im Grenzfall von T → 0 kommt der Hauptanteil der W¨armekapazit¨at der Pho- nonen von akustischen Phononen (der Anteil der optischen Phononen ist expo- nentiell unterdr¨uckt). In D r¨aumlichen Dimensionen gibt es D akustische Moden (σ= 1, . . . , D). Diese tragen alle zum Tieftemperaturverhalten vonc_V bei.

Das thermodynamische Potential (mit ˆk =~k/|k|) lautet:

Ω =−k_BT lnZ_G =−k_BTln Y

λ

Z_λ

!

=−k_BT X

λ

ln

e^−β~ωλ/2 1−e^−β~ωλ

=k_BT X

σ

V

Z d^Dk (2π)^D lnh

1−e^{−βcσ(ˆk)|k|}i + 1

2 X

σ

V

Z d^Dk

(2π)^Dc_σ(ˆk)|k|

| {z }

Ω0=konst(T)

=

|{z}

˜k=β|k|

(k_BT)^D+1X

σ

V Z ∞

0

k˜^D−1d˜k (2π)^D

Z

dˆklnh

1−e^{−cσ(ˆk)˜k}i

+ Ω₀. (23)

Daraus folgt:

c_V =−T∂²Ω

∂T² ∝T^D. (24)