4. Ubung zur Vorlesung Theoretishe Physik A
Universitat Karlsruhe WS 2004/05
Prof.Dr. Gerd Shon| Dr. MatthiasEshrig
www-tfp.physik.uni-karlsruhe.de/Lehre/
Vorrehnen:Freitag,19.11.2004
Aufgabe 15 (4Punkte)
DieTaylorreihenentwiklung:
GegebenseidieReihenentwiklungeinerFunktion
f(x)=a
0 +a
1 x+a
2 x
2
+a
3 x
3
+= 1
X
n=0 a
n x
n
(1)
ZeigenSie,dassdanndieBeziehung
f (n)
(0)=n!a
n
(2)
gilt, wobei f (n)
(0) die n-te Ableitung der Funktion f(x) an der Stelle x =
0 bezeihnet. Wir haben damit gezeigt, dass die Reihenentwiklung dieser
Funktion auhals
f(x)=f(0)+f 0
(0)x+ f
00
(0)
2!
x 2
+ f
000
(0)
3!
x 3
+= 1
X
n=0 f
(n)
(0)
n!
x n
(3)
geshriebenwerdenkann.
Aufgabe 16 (4Punkte)
Fourier-Reihen:
Jede periodishe Funktion f(t) mit Periode T kann als Fourier-Reihe ent-
wikeltwerden:
f(t)= a
0
2 +
1
X
n=1 [a
n
os(!nt)+b
n
sin(!nt)℄; (4)
wobei!=2=T.DieKoeÆzientenlassensihbestimmen aus
a
n
= 2
T Z
T
0
dtf(t) os(!nt); b
n
= 2
T Z
T
0
dtf(t) sin(!nt): (5)
BerehnenSiedieEntwiklungenderfolgendenFunktionenmit Periode2:
a) Sagezahnfunktion:f(t)=tfur <t<.(2Punkte)
b) Rehtekfunktion:f(t)=
f
o
fur 0<t<;
f
o
fur <t<2:
(2Punkte)
Aufgabe 17 (9Punkte)
Fallshirmspringer:
EinFallshirmspringerwirdannahernddurhdieGleihung
m dv
dt
= mg vjvj;
dz
dt
=v (6)
mit den Anfangsbedingungenz(t = 0) = z
0
und v(t = 0) = 0beshrieben.
Behandeln Sie diesesProblem analog zu dem in der Vorlesung behandelten
menSiedieFunktionenv(t)undz(t).(4Punkte)
b) BetrahtenSiedieGrenzfallet undt wobei = q
m
g ist.
(2Punkte)
) Skizzieren Sie die Funktionen v(t) und z(t), wobei das asymptotishe
Verhalten der Funktionen sowiedie harkteristisheZeit korrektwie-
dergegebenseinsollten.(3Punkte)
Hinweis:VerwendenSiedasRestultatausAufgabe4d,sowie
Z
dx 1
a 2
x 2
= 1
2a ln
a+x
a x
(jxj<a) (7)
BenutzenSiezurBetrahtungderGrenzfalledieErgebnisseausAufgabe2.
Aufgabe 18 (8Punkte)
Raketenbeshleunigung:
WirbetrahteneineRakete, derentotale MasseM(t)=m
0 +m
g
(t)sih aus
der(zeitlihkonstanten)Massem
0
derRaketeundderzeitabhangigenMasse
m
g
(t)des Treibstogaseszusammensetzt.Die Raketestoteinen Stromvon
heiemGasmit einerzeitlihkonstantenRelativgeshwindigkeit(d.h.relativ
zur Rakete selbst) von v
r
nah hinten aus, mit einer Rate von dmg
dt (< 0).
Der Ruksto des Gases auf die Rakete
ubt auf diese eine Shubkraft aus.
Im Weltall (fern aller groeren Himmelskorper) konnen alle anderenKrafte
vernahlassigtwerden.DieBewegungsgleihungderRaketelautet:
M(t) dv(t)
dt
= v
r dm
g (t)
dt
: (8)
a) NehmenSie an,dassm
g
=m
g0
(1 t=) (fur0t<),(d.h.dassdas
GasmiteinerkonstantenRateausgestoenwird).BringenSieGleihung
(8)indieForm
dv(t)
dt
= v
r
0
t
; (9)
undndenSie 0
.(1Punkt)
b) BerehnenSiev(t)(durhSeparationderVariablen) mitAnfangsbedin-
gungv(0)=0.(1 Punkt)
) Furt bleibtdieGeshwindigkeitkonstant,dakeinGaszurBeshleu-
nigungmehrvorhandenist.BerehnenSiedie Endgeshwindigkeitv
e
!
(1Punkt)
d) ZeigenSiedurh Integrationvonv(t), dassderzurukgelegtenAbstand
x(t) (Anfangsbedingung: x(0)=0) durh folgendenAusdrukgebeben
wird:
x(t)= 0
v
r h
(1 t=
0
)ln(1 t=
0
)+t=
0 i
: (10)
(2Punkte)
e) BerehnenSie dasVerhaltenvonv(t)undx(t) furkleineZeiten, indem
SiedieErgebnissevon 18b)und18d)urf t=
0
1entwikeln. Benutzen
Sie dazudie Gleihung (3) ausAufgabe15 mit x =t=
0
. (Hinweis: fur
v(t)undx(t) mussenSiebiszurOrdnungt=
0
,bzw.(t=
0
) 2
entwikeln.)
ErlauternSiedasErgebnis!(3Punkte)
