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Academic year: 2021

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Technische Universit¨ at Chemnitz Chemnitz, 20. 07. 2001

Fakult¨ at f¨ ur Mathematik

Mathematik I f¨ ur Wirtschaftsinformatiker und -ingenieure

W i e d e r h o l u n g s k l a u s u r

Zugelassene Hilfsmittel: alle schriftlichen Unterlagen, nichtprogrammierbare Taschen- rechner (ohne Grafikdisplay)

1. (7 Punkte)

Bestimmen Sie in R die L¨ osungsmengen der folgenden Ungleichungen!

(a) |2x + 4| ≤ x + 5 (b) x

2

+ 6x + 8 ≥ 0 2. (6 Punkte)

(a) Berechnen Sie die Betr¨ age von folgenden vier komplexen Zahlen:

z

1

= 1.2 − 0.5 · i , z

2

= i · z

1

, z

3

= z

21

, z

4

= cos 35

o

+ i · sin 35

o

. (b) Deuten Sie anschaulich die f¨ ur alle φ

1

, φ

2

∈ R g¨ ultige Gleichung

e

i·φ1

· e

i·φ2

= e

i·(φ1+φ2)

. 3. (10 Punkte)

In R

3

sei die Ebene

E = {(x

1

, x

2

, x

3

) ∈ R

3

: 2x

1

− 6x

2

+ 9x

3

= −33}

gegeben.

(a) Bringen Sie die Ebene E auf die Hessesche Normalform.

(b) Berechnen Sie den Abstand von E zu folgenden Punkten:

P

1

= (0, 0, 0) , P

2

= (−1, 2, −4) , P

3

= (3, 2, −3) .

(c) Geben Sie eine Parameterform der Schnittgeraden von E mit der x

2

x

3

-Ebene an.

4. (12 Punkte)

F¨ uhren Sie f¨ ur die Kurve 3x

2

− 6xy + 11y

2

= 12

die Hauptachsentransformation durch!

Um welche Art von Kurve handelt es sich? b.w.

1

(2)

5. (12 Punkte)

In einem landwirtschaftlichen Betrieb werden K¨ uhe und Schafe gehalten. F¨ ur 25 K¨ uhe und 100 Schafe sind St¨ alle vorhanden. Weiterhin sind 36 Morgen Weideland verf¨ ugbar.

F¨ ur eine Kuh werden 1 Morgen, f¨ ur ein Schaf 0.2 Morgen ben¨ otigt. Zur Versorgung des Viehs k¨ onnen j¨ ahrlich bis zu 5000 Arbeitsstunden geleistet werden. Auf eine Kuh entfallen j¨ ahrlich 150 Arbeitsstunden, auf ein Schaf 25 Arbeitsstunden. Der j¨ ahrlich erzielte Reingewinn betr¨ agt pro Kuh 300 DM und pro Schaf 54 DM. Die Anzahlen x

1

und x

2

der gehaltenen K¨ uhe bzw. Schafe sind mittels Simplex-Algorithmus so zu bestimmen, dass der ebenfalls zu ermittelnde Gesamtgewinn m¨ oglichst groß wird.

2

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