Technische Universit¨at Chemnitz

Technische Universit¨ at Chemnitz Prof. Martini

Fakult¨ at f¨ ur Mathematik Anna Trauth

Erg¨ anzungskurs Elementarmathematik f¨ ur Bachelor WS2011/2012 Klausurvorbereitung Teil II

Matrizen und Gleichungssysteme

1. An 100 Gewinner eines Gewinnspieles soll je ein Preis versandt werden. Daf¨ ur sollen die Preise A, B, C und D beschafft werden. Diese kosten 10 pro Preis A, 20 pro Preis B, 50 pro Preis C und 100 pro Preis D. An Versandkosten fallen pro Preis A und B jeweils 3, pro Preis C 6 und pro Preis D 9 an. Insgesamt stehen 2180 f¨ ur den Einkauf der Preise und 360 f¨ ur den Versand zur Verf¨ ugung, die unbedingt vollst¨ andig verbraucht werden sollen. Wieviele der einzelnen Preise m¨ ussen beschafft werden? Ermitteln Sie alle m¨ oglichen L¨ osungen!

Wieviele verschiedene L¨ osungen gibt es?

2. Seien A, B, C, D, F und X reelle quadratische Matrizen gleicher Ordnung, X sei symme- trisch. L¨ osen Sie die Gleichung F (XA + X + B + X

+ (CX )

) = D nach X auf, wobei die dabei erforderlichen Invertierungen m¨ oglich sein sollen!

3. In einer M¨ obelfabrik werden aus Holz, Metall und Stoff Tische, B¨ anke und St¨ uhle produ- ziert, die einzeln bzw. als Sitzgruppe verkauft werden. F¨ ur einen Tisch werden 12 Einheiten Holz und 3 Einheiten Metall, f¨ ur eine Bank 6 Einheiten Holz, 2 Einheiten Metall und 5 Einheiten Stoff, f¨ ur einen Stuhl 2 Einheiten Holz, 1 Einheit Metall und 2 Einheiten Stoff ben¨ otigt. Eine Sitzgruppe A besteht aus einem Tisch und vier St¨ uhlen, eine Sitzgruppe B aus einem Tisch, einer Bank und drei St¨ uhlen.

a) Geben Sie die Verflechtungsmatrizen f¨ ur den Zusammenhang von Ausgangsmaterial und Einzelprodukten und f¨ ur den Zusammenhang von Einzelprodukten und Sitzgruppen an und bestimmen Sie aus diesen mit Matrixmultiplikation die Verflechtungsmatrix f¨ ur den Zusammenhang von Ausgangsmaterial und Sitzgruppen!

b) Ein Kunde bestellt 40 Sitzgruppen A, 60 Sitzgruppen B und zus¨ atzlich 10 B¨ anke. Er- mitteln Sie unter der Verwendung der Verflechtungsmatrix aus a), welche Mengen der Ausgangsmaterialien ben¨ otigt werden!

F¨ ur die Herstellung von y

Sitzgruppen A, y

Sitzgruppen B sowie zus¨ atzlich x

Tischen, x

B¨ anken und x

St¨ uhlen sollen 22 Einheiten Holz, 8 Einheiten Metall und 10 Einheiten Stoff vollst¨ andig verbraucht werden.

c) Stellen Sie ein mathematisches Modell auf!

d) L¨ osen Sie das Gleichungssystem f¨ ur x

, x

, x

, y

und y

mit dem Gau¨ salgorithmus zun¨ achst ohne R¨ ucksicht auf Ganzzahligkeits- und Nichtnegativit¨ atsforderungen! Stellen Sie die L¨ osung dabei so dar, dass y

und y

frei gew¨ ahlt werden k¨ onnen.

e) Nun soll gesichert werden, dass weder die Anzahl der herzustellenden Sitzgruppen noch die der zus¨ atzlich herzustellenden Einzelprodukte negativ wird. Wie sind y

und y

in der L¨ osung von d) zu w¨ ahlen, damit das gesichert wird?

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4. L¨ osen Sie das lineare Gleichungssystem

x

+ 2x

+ 3x

+ 4x

= 3 2x

+ 6x

+ 3x

+ 7x

= 13

x

+ 6x

+ 5x

= −4

−x

− 8x

+ 6x

− x

= −24

Welchen Rang hat die Koeffizientenmatrix, wie h¨ angt dieser mit der Zahl der freien Va- riablen (frei w¨ ahlbaren Parameter in der allgemeinen L¨ osung) zusammen? F¨ uhren Sie f¨ ur die ermittelte allgemeine L¨ osung auch die Probe aus!

5. Gegeben seien die Matrizen BA =





1 2 3 0 1 4 2 3 a



 und BB =

a 0 0 0 1 0

.

• Bestimmen Sie die Determinante und den Rang der Matrix BA in Abh¨ angigkeit vom Parameter a !

• F¨ ur welche a existiert die Inverse zur Matrix BA? Berechnen Sie diese im Falle ihrer Existenz!

• L¨ osen Sie im Falle a = 3 das Gleichungssystem BA~ x = (5 6 5)

!

• Berechnen Sie die Matrix AB

und geben Sie ihren Rang in Abh¨ angigkeit von a an!

6. Ein Bauteil hat eine viereckige ¨ Offnung mit den Eckpunkten A = (1, 2, 3), B = (3, 3, 4), C = (4, 1, 5), D = (2, 0, 4), Koordinateneinheit sei dabei Meter. Die ¨ Offnung werde von einer Fl¨ ussigkeit mit der Geschwindigkeit ~ x = (2 0 1)

durchflossen.

a) Zeigen Sie, dass die ¨ Offnung die Form eines Parallelogramms hat!

b) Wieviel Liter der Fl¨ ussigkeit fließen in 10 Sekunden durch die ¨ Offnung?

7. Wenden Sie den Gaußschen Algorithmus auf das lineare Gleichungssystem x

+ x

− x

+ 2x

= −8

x

+ 2x

+ x

− x

= 13 2x

+ 3x

+ x

= 5 x

− 3x

+ 5x

= λ

F¨ ur welche Werte des Parameters λ ist das Gleichungssystem l¨ osbar? Geben Sie im Falle der L¨ osbarkeit die allgemeine L¨ osung des Gleichungssystems an!

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