L ¨osung Aufgabe 4
(a) Wir bestimmen den ggT der beiden Polynome mithilfe des euklidischen Algorithmus.
X2+2X=X·(X−1)+3X X−1= 1
3 ·(3X)−1.
Der ggT vonX2+2XundX−1 ist deshalb ggT(X2+2X,X−1)=−1 (bis auf Multplikation mit Einheiten bestimmt). Insbesondere ist der ggT(X2+2X,X−1) eine Einheit, d.h die simultane Kongruenz ist l ¨osbar. Jetzt kann es sein, dass Sie andere Werte f ¨ur den ggT herausbekommen haben (z.B. 3), aber das macht keinen Unterschied. Wichtig ist nur, dass der ggT der beiden Polynome eine Einheit inQ[X] ist.
(b) Nun wenden wir den erweiterten euklidischen Algorithmus an:
−1=(X−1)− 1
3·(3X) (1)
=(X−1)− 1
3·((X2+2X)−X·(X−1)) (2)
=X−1−1
3 ·(X2+2X)+1
3X·(X−1) (3)
=(1
3X+1)·(X−1)+(−1
3)·(X2+2X) (4)
Der folgende Schritt ist der wichtige Schritt der in den ¨Ubungen ausgelassen wurde!!!
Damit wir eine L ¨osung der simultanen Kongruenz erhalten, brauchen wir eine Darstellung (siehe Beweis von Satz 2.4.1) der Form
1=u·(X−1)+v·(X2+2X).
Um eine solche L ¨osung zu erhalten, multplizieren wir beide Seiten von (4) mit dem Inversen der Einheit (-1) (das Inverse von -1 ist wieder -1). Somit ergibt sich
1=(−1 3X−1)
| {z }
u
·(X−1)+ (1 3)
|{z}
v
·(X2+2X).
Eine L ¨osung der simultanen Kongruenz ist damit
Z(X)=(X+8)·u·(X−1)+4·v·(X2+2X)
=−1
3 ·(X3+6X2+5X−24).
(c) Die L ¨osungsmenge der simultanen Kongruenz ergibt sich somit zu L={−1
3·(X3+6X2+5X−24)+g(X)·(X−1)·(X2+2X)|g(X)∈Q[X]}
={−1
3·(X3+6X2+5X−24)+g(X)·(X3+X2−2X)| g(X)∈Q[X]}
={(−5 3X2− 7
3X+8)+g(X)·(X3+X2−2X)| g(X)∈Q[X]}}
=(−5 3X2−7
3X+8).
