Handout: Der ggT und das kgV
Carina Hilger 03.05.2018
1 Der größte gemeinsame Teiler (ggT)
Definition. Seiena, b∈N. Dann definiert man
ggT(a, b) := max{g∈N|g|a∧g|b} den größten gemeinsamen Teiler vonaund b.
Zwei Zahlen a, b∈Nheißen teilerfremd, falls ggT(a, b) = 1.
Unter der Division vonaund bmit Rest verstehen wir folgende Darstellung.
Satz 1. Für alle a, b∈N\ {0} gibt es q, r∈Nmit a=qb+r und 0≤r < b.
Lemma 1. Seien a, b ∈ N mit a = qb+r mit q, r ∈ N und 0 ≤ r < b. Dann gilt:
ggT(a, b) =ggT(b, r).
Definition. Füra∈Nsei Ta:={b∈N|b|a} die Teilermenge vona.
Satz 2. Für a, b∈N gilt TggT(a,b)=Ta∩Tb.
Allgemein gilt füra1, a2, . . . , an∈N istTa1∩Ta2 ∩. . .∩Tan =TggT(a1,a2,...an).
1.1 Der Euklidische Algorithmus
Füra, b∈Nwird die folgende Kette von Divisionen mit Rest als euklidischer Algorithmus bezeichnet:
Setzea=r0, b=r1.
a=v0·b+r2mit0< r2< b b=v1·r2+r3 mit0< r3 < r2 r2 =v2·r3+r4 mit0< r4 < r3
...
rn−3 =vn−2·rn−2+rn−1 mit0< rn−1 < rn−2
rn−2 =vn−1·rn−1+rnmit0< rn< rn−1
rn−1 =vn·rn.
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Dabei istn dadurch bestimmt, dassrn der letzte von 0 verschiedene Rest in der Divisi- onskette ist. Ein solchesnexistiert, denn die Folge der Reste nimmt streng monoton ab:
b > r2 > r3 > . . . > rn−1 > rn.
Satz 3. Der letzte von 0 verschiedene Restrn im euklidischen Algorithmus für a, b∈N ist der größte gemeinsame Teiler vona und b.
1.2 Der erweiterte Euklidische Algorithmus
Lemma 2. (Lemma von Bézout) Für alle a, b∈N\ {0} gibt es u, v∈Zmit ggT(a, b) =ua+vb.
Satz 4. Sinda1, . . . an∈N alle teilerfremd zum ∈Z, dann ist auch ihr Produkt teiler- fremd zu m.
2 Das kleinste gemeinsame Vielfache (kgV)
Definition. Seiena, b∈N. Dann definiert man kgV(a, b) := min{k∈N|a|k∧b|k}
das kleinste gemeinsame Vielfache von aundb.
Definition. Füra∈Nsei Va:={b∈N|a|b} die Vielfachenmenge vona.
Satz 5. Für a, b∈N gilt VkgV(a,b) =Va∩Vb.
Allgemein gilt füra1, a2, . . . , an∈N istVa1 ∩Va2 ∩. . .∩Van =VkgV(a1,a2,...,an).
3 Primfaktorzerlegung
Lemma 3. Seien a, b∈N\ {0,1}und a=Q
p∈Ppep und
b=Q
p∈Ppfp
die Primfaktorzerlegung vonaund b. Dann gilt:
(a)ggT(a, b) =Q
p∈Ppmin{ep,fp} (b)kgV(a, b) =Q
p∈Ppmax{ep,fp}.
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