Der größte gemeinsame Teiler und das kleinste gemeinsame Vielfache

Der größte gemeinsame Teiler und das kleinste gemeinsame Vielfache

Proseminar Modul 4c, Gruppe 3: Primzahlen, Dr. Regula Krapf

Carina Hilger

Inhaltsverzeichnis

1 Der größte gemeinsame Teiler (ggT) 2

1.1 Division mit Rest nach Euklid . . . 2 1.2 Der Euklidische Algorithmus . . . 4 1.3 Der erweiterte Euklidische Algorithmus . . . 5

2 Das kleinste gemeinsame Vielfache (kgV) 7

3 Primfaktorzerlegung 10

4 Literaturverzeichnis 13

Die folgende Ausarbeitung beschäftigt sich mit dem ggT und kgV zweier natürlicher Zah- len, sowie deren Ermittlung mittels Primfaktorzerlegung. Definitionen und Sätze wurden aus dem Buch Zahlentheorie von Harald Scheid und Andreas Frommer [1] und dem Skript Elementarmathematik vin Regula Krapf [2] entnommen.

1 Der größte gemeinsame Teiler (ggT)

Wir beschäftigen uns zunächst mit dem größten gemeinsamen Teiler von zwei natürlichen Zahlenaundb. Er ist die größte gemeinsame Zahl, durch die sich zwei Zahlen ohne Rest teilen lassen.

Definition. Seiena, b∈N. Dann definiert man

ggT(a, b) := max{g∈N|g|a∧g|b} den größten gemeinsamen Teiler vonaund b.

Zwei Zahlen a, b∈Nheißen teilerfremd, falls ggT(a, b) = 1.

Definition 1 besagt, dass füra, b∈N 0gilt

g=ggT(a, b)⇔g|a∧g|b∧ ∀c∈N: (c|a∧c|b⇒c≤g).

1.1 Division mit Rest nach Euklid

Unter der Division vonaund bmit Rest verstehen wir folgende Darstellung.

Satz 1. Für alle a, b∈N\ {0} gibt es q, r∈Nmit a=qb+r und 0≤r < b.

Die Zahlenq=b^a_bc undr =a−qbsind dabei durchaund beindeutig bestimmt.

Nun gilt genau dann c|aund c |b, wenn c|b und c|r gilt, gemäß Lemma 1. Also ist ggT(a, b) =ggT(r, b). Istr = 0, dann istggT(a, b) =b. Ist r6= 0, so wiederholen wir die obige Umformung mit vertauschten Rollen:

Lemma 1. Seien a, b ∈ N mit a = qb+r mit q, r ∈ N und 0 ≤ r < b. Dann gilt:

ggT(a, b) =ggT(b, r).

Beweis. Für einen Teilerc von b giltc|a⇔c|qb+r ⇔c|r. Also ist jeder Teiler von aund bauch ein Teiler vonbund r.

Lemma 2. Seien a, b∈N. Für jedes c∈Ngilt:

Fallsc|aund c|b, so folgt c|ggT(a, b).

Beweis. Wir beweisen per Widerspruch.

Annahme:b∈Nsei minimal, sodass a, c∈Nexistieren mit c|a, c|bund c-ggT(a, b).

Nach Lemma 1 sei a=qb+r mit r < b.

nach⇒

Lemma 1ggT(a, b) =ggT(b, r) und c|a undc|b⇒c|r=a−qb.

Nun gilt aber nach Annahmec|b, c|r und c-ggT(b, r).

⇒b≤r

⇒c|ggT(a, b).

Dieses Lemma definiert auchggT(0,0): Da 0 die einzige durch alle Zahlen ausNteilbare Zahl ist, giltggT(0,0) = 0.

Beispiel 1. Wir berechnen ggT(24,32).Es gilt:

Teiler von 24: 1, 2, 3, 4, 6, 8, 12, 24 Teiler von 32: 1, 2, 4, 8, 16, 32 Somit giltggT(24,32) = 8.

Die Bildung des ggT zweier Zahlen ist eine assoziative Verknüpfung, d.h. es gilt ggT(ggT(a, b), c) =ggT(a, ggT(b, c)).

Definition. Füra∈Nsei T_a:={b∈N|b|a} die Teilermenge vona.

Satz 2. Für a, b∈N gilt T_ggT(a,b)=T_a∩T_b. Beweis. "⊆": Seic∈T_ggT(a,b) ⇒c|ggT(a, b).

• Füra:

ggT(a, b)|a⇒c|a⇒c∈T_a.

• Fürb:

ggT(a, b)|b⇒c|b⇒c∈T_b.

"⊇": Seic∈T_a∩T_b ⇒c∈T_a und c∈T_b.

⇒c|aundc|b

⇒c|ggT(a, b) nach Lemma 2

⇒c∈T_ggT(a,b).

Aus Satz 2 folgt:

T_{ggT(ggT(a,b),c)} = T_ggT(a,b) ∩T_c = (T_a ∩T_b)∩T_c = T_a ∩(T_b ∩T_c) = T_a∩T_ggT(b,c) = T_ggT(a,ggT(b,c)).

Verallgemeinert können wir für allea, b, c∈Ndefinieren:

ggT(a, b, c) :=ggT(ggT(a, b), c)(=ggT(a, ggT(b, c))) und

Ta∩Tb∩Tc=T_ggT(a,b,c). Daraus ergibt sich: Genau dann ist d=ggT(a, b, c),wenn (1)d|aund d|b undd|c;

(2) aust|aundt|bund t|c folgtt|d.

Wegen der Assoziativität können wir rekursivggT(a₁, . . . , a_n) für a₁. . .;a_n∈Ndefinie- ren, gemäß der vorangehenden Definition:

ggT(a1, . . . , an+1) :=ggT(ggT(a1, . . . , an), an+1).

Allgemein gilt füra1, a2, . . . , an∈N istTa1∩Ta2 ∩. . .∩Tan =T_{ggT(a1,a2,...an)}. Daraus folgt: Genau dann istd=ggT(a₁, a₂, . . . , a_n), wenn

(1)d|a1 und d|a2 und . . .und d|an;

(2) aust|a₁ undt|a₂ und . . .und t|a_n folgtt|d.

1.2 Der Euklidische Algorithmus

Man bezeichnet den euklidischen Algorithmus auch als Wechselwegnahme, da man ab- wechselnd ein Vielfaches der einen Zahl von der anderen Zahl wegnimmt.

Füra, b∈Nwird die folgende Kette von Divisionen mit Rest als euklidischer Algorithmus bezeichnet:

Setzea=r0, b=r1.

a=v₁·b+r₂mit0< r₂< b b=v₂·r₂+r₃ mit0< r₃ < r₂ r₂ =v₃·r₃+r₄ mit0< r₄ < r₃

...

rn−3 =vn−2·rn−2+rn−1 mit0< rn−1 < rn−2

rn−2 =vn−1·rn−1+r_nmit0< r_n< rn−1

rn−1 =v_n·r_n.

Dabei ist n dadurch bestimmt, dass rn der letzte von 0 verschiedene Rest in der Divi- sionskette ist. Ein solches n existiert, denn die Folge der Reste nimmt streng monoton ab:

b > r₂ > r₃ > . . . > rn−1 > r_n.

Satz 3. Der letzte von 0 verschiedene Restrn im euklidischen Algorithmus für a, b∈N ist der größte gemeinsame Teiler vona und b.

Beweis. Mit den Bezeichnungen im euklidischen Algorithmus gilt wegen Lemma 1 ggT(a, b) =ggT(b, r1) =ggT(r1, r2) =. . .=ggT(rn−1, rn) =rn.

Beispiel 2. Es sollggT(156,66)berechnet werden:

156 = 2·66 + 24 66 = 2·24 + 18 24 = 1·18 + 6 18 = 3·6

Es ergibt sich also ggT(156,66) = 6.

1.3 Der erweiterte Euklidische Algorithmus

Lemma 3. (Lemma von Bézout) Für alle a, b∈N\ {0} gibt es u, v∈Zmit ggT(a, b) =ua+vb.

Beweis. Durch vollständige Induktion.

Behauptung: Für alle j∈ {0, . . . n}gibt es s_j, t_j ∈Zmit r_j =s_j ·a+t_j ·b.

Induktionsanfang:

r₀ =a= 1

|{z}s0

·a+ 0

|{z}t0

·b r1 =b= 0

|{z}s1

·a+ 1

|{z}t1

·b

Induktionsannahme: Wir nehmen an, die Behauptung gelte für allek≤j.

D.h., für allek≤j gibt ess_k, t_k∈Zmit r_k=s_k·a+t_k·b.

Induktionsschluss: Wir müssen zeigen: Es gibtsj+1, tj+1 ∈Zmitrj+1 =sj+1·a+tj+1·b.

Es gilt rj−1 =v_j·r_j +r_j+1

⇒rj+1 =rj−1−vj·rj

IA= (sj−1·a+tj−1·b)−v_j(s_j·a+t_j·b)

= (sj−1−v_j·s_j)

| {z }

=:sj+1

·a+ (tj−1−v_j·t_j)

| {z }

=:tj+1

·b

Damit ist die Induktionsbehauptung bewiesen. Es folgtggT(a, b) =r_n= s_n

|{z}=:u

·a+ t_n

|{z}:=v

·b.

Beispiel 3. Wir haben vorhin den ggT(156,66) berechnet. Daraus ergibt sich

6 = 24−18

= 24−(66−2·24)

= 3·24−66

= 3·(156−2·66)−66

= 3·156−7·66

⇒ggT(156,66) =u·156 +v·66 mit u= 3 undv=−7.

Die DarstellungggT(a, b) =ua+vbmitu, v∈Zwird auch Vielfachensummendarstellung genannt.

Seienx, y∈Z dann istggT(a, b) =ua+vbundggT(ggT(a, b), c) =x·ggT(a, b) +yc.

Daraus folgt:

ggT(a, b, c) =ggT(ggT(a, b), c) =x(ua+vb) +yc= (xu)a+ (xv)b+yc.

Verallgemeinert gilt:

Füra1, a2, . . . , an∈Nexistieren v1, v2, . . . , vn∈Z, sodass gilt ggT(a₁, a₂, . . . , a_n) =v₁a₁+v₂a₂+. . .+v_na_n.

Satz 4. Sinda₁, . . . a_n∈N alle teilerfremd zum ∈Z, dann ist auch ihr Produkt teiler- fremd zu m.

Beweis. Sei ggT(a₁, m) = ggT(a₂, m) =. . . = ggT(a_n, m) = 1. Dann gibt es u₁, . . . u_n undv1, . . . vn(ui, vi ∈Z) mit

1 =u1a1+v1m 1 =u2a2+v2m

...

1 =u_na_n+v_nm.

Nach Multiplikation dieser Gleichungen folgt 1 = (u₁u₂. . . u_n)(a₁a₂. . . a_n) +vmmit v∈Z. Ein gemeinsamer Teiler kann daher nur 1 sein.

2 Das kleinste gemeinsame Vielfache (kgV)

In diesem Kapitel beschäftigen wir uns mit dem kleinsten gemeinsamen Vielfachen zweier natürlicher Zahlen a und b. Es ist das kleinste positive Zahl, welche sowohl Vielfaches von aals auch vonb ist.

Definition. Seiena, b∈N. Dann definiert man kgV(a, b) := min{k∈N|a|k∧b|k}

das kleinste gemeinsame Vielfache von aundb.

Die Definition besagt, dass füra, b∈N\ {0}gilt

k=kgV(a, b)⇔a|k∧b|k∧ ∀c∈N: (a|c∧b|c⇒k≤c).

Lemma 4. Genau dann gilta|cund b|c, wennkgV(a, b)|c.

Beweis. "⇐": Es gelte kgV(a, b)|c.

• Füra:

a|kgV(a, b) undkgV(a, b)|c

⇒a|c (wegen der Transitivität der Teilbarkeitsrelation).

• Fürb:

b|kgV(a, b) und kgV(a, b)|c

⇒b|c (wegen der Transitivität der Teilbarkeitsrelation).

"⇒": Es gelte a|cund b|c.

Seik=kgV(a, b) undc=q·k+r mit q, r∈Nund 0≤r < k.

Beweis per Widerspruch:

Annahme:r 6= 0

⇒r=c−qk

• Füra:

a|c unda|qk ⇒a|c−qk =r.

• Fürb:

b|cund b|qk ⇒b|c−qk =r

⇒k≤r

Also gilt r= 0⇒k|c.

Beispiel 4. Wir berechnen kgV(24,32).

Vielfache von 24: 24, 48, 72, 96, 120, . . . Vielfache von 32: 32, 64, 96, . . .

Somit folgtkgV(24,32) = 96.

Satz 5. Für a, b∈N gilt kgV(a, b) = _ggT^a·b_(a,b). Beweis. Man setze

c:= a·b ggT(a, b). Wegen

a

ggT(a, b), b

ggT(a, b) ∈N gilta|c undb|c.

Nach dem Lemma von Bézout gilt ggT(a, b) = ua+vb mit u, v ∈Z. Für ein beliebiges d∈Va∩V_b giltc|d, denn die Zahl

d

c = d·ggT(a, b)

a·b = d·(ua+vb)

a·b =u·d

b +v·d a ist ganz.

Folglich istc≤dund damitc das kleinste gemeinsame Vielfache vona undb.

Die Bildung des kgV zweier Zahlen ist eine assoziative Verknüpfung, d.h. es gilt kgV(kgV(a, b), c) =kgV(a, kgV(b, c)).

Definition. Füra∈Nsei V_a:={b∈N|a|b} die Vielfachenmenge vona.

Satz 6. Für a, b∈N gilt V_kgV(a,b) =V_a∩V_b. Beweis. "⊆": Seic∈V_kgV(a,b)⇒kgV(a, b)|c.

• Füra:

a|kgV(a, b)⇒a|c⇒c∈V_a.

• Fürb:

b|kgV(a, b)⇒b|c⇒c∈V_b.

"⊇": Seic∈Va∩Vb ⇒c∈Va und c∈Vb.

⇒a|c undb|c

⇒kgV(a, b)|cnach Lemma 4

⇒c∈V_kgV(a,b).

Aus Satz 6 folgt

V_kgV(a,b),c) = V_kgV(a,b) ∩Vc = (Va ∩V_b) ∩Vc = Va ∩(V_b ∩Vc) = Va ∩ V_kgV(b,c) = V_{kgV(a,kgV(b,c))}.

Allgemein gilt füra1, a2, . . . , an∈Nist Va1 ∩Va2 ∩. . .∩Van =V_{kgV(a1,a2,...,an)}. Also ist genau dannv=kgV(a₁, a₂, . . . , a_n), wenn gilt:

(1)a1|vund a2|v und . . .und an|v;

(2) ausa₁|cund a₂ |cund . . . unda_n|cfolgt v|c.

3 Primfaktorzerlegung

Definition. Eine natürliche Zahl p ∈ N mit p ≥ 2 heißt Primzahl, falls 1 und p die einzigen Teiler von psind. Wir bezeichnen mitP die Menge aller Primzahlen.

Eine Primfaktorzerlegung einer natürlichen Zahl n∈Nmit n≥2 ist ein Produkt n=Q

p∈Pp^ep,

wobeie_p∈Nfür fast alle p∈P unde_p= 0.

Lemma 5. Seien a, b∈N\ {0,1}und a=Q

p∈Pp^ep und b=Q

p∈Pp^fp die Primfaktorzerlegungen vonaund b. Dann gilt a|b⇔ep ≤fp für allep∈P.

Beweis. Wir beweisen beide Richtungen einzeln:

"⇒": Es gelte a|b. Somit gibt es eink∈N mitak =b. SeiQ

p∈Pp^gp die Primfaktorzer- legung vonk. Dann gilt

Y

p∈P

p^fp=b=ak =Y

p∈P

p^gp·Y

p∈P

p^ep =Y

p∈P

p^gp+ep.

Aus der Eindeutigkeit der Primfaktorzerlegung folgt fp =gp+ep ≥epfür allep∈P.

"⇐": Seiep≤fp für allep∈P. Dann gibt es für jedesp∈Peine natürliche Zahlgp ∈N mit fp=ep+gp.Setze k=Q

p∈Pp^gp.Daraus folgt b=Y

p∈P

p^fp=Y

p∈P

p^ep+gp =Y

p∈P

p^ep·Y

p∈P

p^gp=ak mit k=Q

p∈Pp^gp.

Also folgt, dassaein Teiler von bist.

Mit Hilfe des Hauptsatzes der Arithmetik können wir nun aus der Primfaktorzerlegung von aund vonbdie Primfaktorzerlegung von ggT(a, b)und kgV(a, b) bestimmen:

Lemma 6. Seien a, b∈N\ {0,1}und a=Q

p∈Pp^ep und

b=Q

p∈Pp^fp

die Primfaktorzerlegung vonaund b. Dann gilt:

(a)ggT(a, b) =Q

p∈Pp^min{ep,fp} (b)kgV(a, b) =Q

p∈Pp^max{ep,fp}. Beweis. (a):

Seig=ggT(a, b) und g⁰ =Q

p∈Pp^min{ep,fp}. Nach Definition des ggT gilt g|aundg|b. Sei

g=Y

p∈P

p^gp

die Primfaktorzerlegung von g. Aus dem vorherigen Lemma folgt, dass g_p ≤ e_p und g_p≤f_p für alle p∈P. Somit gilt g_p≤min{e_p, f_p} für jedesp∈P und damitg|g⁰. Es folgt auch, dass g⁰ |aund g⁰ |bund damit nach Lemma 2 auch

g⁰ |ggT(a, b) =g.

Nun gilt g|g⁰ undg⁰|g, alsog=g⁰. (b):

Sei also k=kgV(a, b)und k⁰ =Q

p∈Pp^max{ep,fp}. Nach Definition des kgV gilt a|kund b|k. Sei

k=Y

p∈P

p^kp

die Primfaktorzerlegung vonk. Es folgt aus Lemma 6, dass k_p ≥e_p und k_p ≥f_p für alle p∈P. Somit gilt kp≥max{e_p, fp} für jedesp∈P und damitk⁰ |k.

Es folgt auch, dass a|k⁰ undb|k⁰ und damit nach Lemma 3 auchk=kgV(a, b)|k⁰. Nun gilt k⁰|k undk|k⁰, also k=k⁰.

Beispiel 5. Seia= 120 undb= 150.

Wir möchten ggT und kgV dieser beiden Zahlen ermitteln. Dazu zerlegen wir sie in ihre Primfaktoren.

120 = 2·2·2·3·5 = 2³·3·5 150 = 2·3·5·5 = 2·3·5²

⇒ggT(120,150) = 2·3·5 = 30 kgV(120,150) = 2³·3·5² = 600.

4 Literaturverzeichnis

[1] Scheid, Harald; Frommer, Andreas: Zahlentheorie, 4. Auflage. Elsevier: München, 2007.

[2] Krapf, Regula; Skript Elementarmathematik, Wintersemester 2017/2018.