c = 1 ist Lipschitz-Konstante f¨ur D=Rn (ii) α >1: f ist Lipschitz-stetig auf beschr¨ankten Mengen D Mittelwertsatz

Lipschitz-Stetigkeit

Eine Funktion f ist Lipschitz-stetig auf einer Menge D, wenn eine Lipschitz-Konstante c existiert, so dass

||f(x)−f(y)|| ≤c||x−y||

f¨ur alle x,y∈D.

Ist f stetig differenzierbar undD konvex, so kann die Lipschitz-Konstante mit Hilfe der Norm der Jacobi-Matrix abgesch¨atzt werden:

c ≤sup

x∈D

||f⁰(x)

| {z }

J

||

mit kJk= max_kzk=1kJzk.

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Beispiel

Stetigkeit der radialen Funktion

f(x) =r^α, r =|x|= q

x₁²+· · ·+x_n²

0 1 1

1 0

2

0 -1 -1

0 1 1

1 0

2

0 -1 -1

0 1 1

1 0

2

0 -1 -1

α= 1 α= 2 α= 0.5

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(i) α= 1:

f ist global Lipschitz-stetig, denn

|r−r⁰|=||x| − |x⁰|| ≤ |x−x⁰|, d.h. c = 1 ist Lipschitz-Konstante f¨ur D=Rⁿ

(ii) α >1:

f ist Lipschitz-stetig auf beschr¨ankten Mengen D Mittelwertsatz =⇒

|r^α−(r⁰)^α|=αs^α−1|r−r⁰| mit s zwischenr und r⁰

Lipschitz-Konstantec = maxx∈Dα|x|^α−1 (iii) 0< α <1:

f ist stetig aber nicht Lipschitz-stetig in einer Umgebung von (0,0), denn

|r^α−0^α| ≤c|r−0|

ist f¨urr →0 nicht erf¨ullbar (iv) α <0:

f ist unstetig bei 0, denn limr→0r^α=∞

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