Lipschitz-Truncation LarsDiening

LMU Munich • Lars Diening

Lipschitz-Truncation

Lars Diening Lipschitz-Truncation 1/10

Lipschitz-Truncation

Lipschitz-Truncation

Approximiere eine Sobolev-Funktion durch Lipschitz-Funktionen.

Nebenbedingung: ¨ Andere hierbei die Funktion nur auf einer kleinen Menge.

Gl¨ attung (mittels Faltung) ¨ andert die Funktion global!

Methode geht auf Acerbi-Fusco 1984 zur¨ uck.

Die Maximalfunktion – Eine Kurz¨ ubersicht

Maximalfunktion: (Mf )(x) = sup

B3x

− Z

B

|f | dy .

Mf ist unterhalbstetig, d.h. {Mf > λ} ist offen.

Majorante: |f | ≤ Mf

Beschr¨ ankt: kMf k

. kf k

f¨ ur p > 1 Falsch f¨ ur p = 1:

1

f := χ

∈ L

⇒ Mf (x) &

6∈ L

( R ).

2

f (x) := χ

e) 1

x(logx)²

∈ L

(0,

) ⇒ Mf (x) &

6∈ L

(0,

).

L

-Ersatz: sup

λ|{Mf > λ}|

. kf k

.

Lars Diening Lipschitz-Truncation 3/10

Lipschitz-Truncation – Gradienten abschneiden

F¨ ur w ∈ W

(Ω) haben wir

|w(x ) − w(y)| . |x − y | M (∇w)(x) + M(∇w)(y ) ,

• w ist Lipschitz außerhalb der kleinen, offenen schlechten Menge Bad

:= {M(∇w) > λ}.

• Schneide die schlechte Menge heraus und

setze w fort zu w

∈ W

(Ω) mit k∇w

k

. λ.

Lipschitz-Truncation – Gradienten abschneiden

F¨ ur w ∈ W

(Ω) haben wir

|w(x ) − w(y)| . |x − y | M (∇w)(x) + M(∇w)(y ) ,

• w ist Lipschitz außerhalb der kleinen, offenen schlechten Menge Bad

:= {M(∇w) > λ}.

• Schneide die schlechte Menge heraus und

setze w fort zu w

∈ W

(Ω) mit k∇w

k

. λ.

Lars Diening Lipschitz-Truncation 4/10

Lipschitz-Truncation – moderne Version

w ∈ W

ist Lipschitz außerhalb von Bad

:= {M (∇w) > λ}.

Whitney- ¨ Uberdeckung Bad

= S

i

Q

mit Zerlegung der Eins ϕ

. Dann gilt −

Z

Qi

|∇w| dx . λ.

Definiere w

:=

( w auf guter Menge,

P

i

ϕ

hwi

auf Bad

.

bad set

Es gilt w = w

+ X

i

ϕ

(w − hwi

), da P

i

ϕ

= 1 auf Bad

.

Grundeigenschaften

Wohl definiert Wir haben w

∈ W

Nutze, dass w = w

+ X

i

ϕ

(w − hwi

). Summe konvergiert in W

. Hierf¨ ur brauchen wir Poincar´ e: kw − hwi

k

. r

k∇wk

. Stabilit¨ at

kw

k

. kwk

und k∇w

k

. k∇wk

f¨ ur 1 ≤ p ≤ ∞.

Hierf¨ ur brauchen wir Jensen: ( R

Q

|f | dx)

≤ R

|f |

dx . Lipschitz Eigenschaft

M (∇w

) . λ. Insbesondere, k∇w

k

. λ.

Nutze Whitney W¨ urfel:

R

Q_i

|∇w| dx . λ.

Lars Diening Lipschitz-Truncation 6/10

Zusammenfassung

Theorem

F¨ ur w ∈ W

und λ > 0 gilt

1

w

∈ W

und k∇w

k . λ.

2

kw

k

. kwk

f¨ ur 1 ≤ p ≤ ∞.

3

k∇w

k

. k∇wk

f¨ ur 1 ≤ p ≤ ∞.

4

{w 6= w

} ⊂ {M (∇w) > λ} ist klein.

5

w

→ w in W

f¨ ur λ → ∞.

Calder´ on-Zygmund Zerlegung

Calder´ on-Zygmund Zerlegung Man kann f ∈ L

zerlegen in

f = g + X

i

ϕ

(f − hf i

) mit g ∈ L

.

Lipschitz-Truncation

Wir k¨ onnen w ∈ W

zerlegen in w = w

+ X

i

ϕ

(w − hwi

) mit w

∈ W

.

Lars Diening Lipschitz-Truncation 8/10

Zus¨ atzliche Kleinheit

Weak-type Absch¨ atzung: λ

|{M (∇w) > λ}| ≤ c k∇wk

. F¨ ur p > 1 gilt: X

j

(2

)

|{M (∇w) > 2

}| ≈ kM(∇w)k

≤ c k∇wk

. Meiste Summanden sind klein.

Kleinheit:

F¨ ur p > 1 existiert λ ∈ [2

, 2

] mit kχ

λ}

∇w

k

p

≤ c λ

|{M (∇w) > λ}| ≤ c 2

k∇wk

.

Nullrandwerte

Theorem

Lipschitz-Truncation kann Nullrandwerte erhalten!

Zur Erinnerung: w = w

+ X

i

ϕ

(w − hwi

).

weg von ∂Ω: w

:= hwi

nahe bei ∂Ω: w

:= 0

Brauchen Voraussetzungen an Ω f¨ ur Poincar´ e: fettes Komplement.

Lars Diening Lipschitz-Truncation 10/10