Die Lineare Funktion
Eine besondere Gerade
Einführungsbeispiel:
Tom zahlt bei seinem Handyvertrag für jede angefangene Gesprächsminute 0,25€.
Erstelle eine passende Wertetabelle!
Wertetabelle:
Minuten 0 10 20 30 40 50 60 70
Kosten
in Euro 0 2,50 5,0 7,50 10 15 17,50
Zwischen den Kosten und den Gesprächsminuten besteht ein funktionaler Zusammenhang.
Es handelt sich um eine direkte Proportionalität.
12,50
Minuten entsprechen den x-Werten Kosten entspricht den y-Werten
Jeder direkt proportionaler Zusammenhang zwischen zwei Größen y und x kann durch eine spezielle lineare Funktion mit der Gleichung y = f(x) = mx beschrieben werden.
Zeichne den Graph der Handykosten in ein KS!
Die Zahl m wird Steigung genannt.
Merke:
1) Steigung immer als Bruch angeben
2) „Oben“ nach oben 3) „Unten“ nach rechts
bzw. links
4 0,25 1
m
Steigungsdreiecke kann man in beliebiger Größe Und an beliebiger Stelle zeichnen und entlang der Geraden verschieben.
Übung:
Zeichne folgende Geraden in ein KS!
2 x f(x) 1
:
f
1
4 x f(x) 3
:
f
2
5 x f(x) 2
:
f
3
5 x f(x) 6
:
f
4
Tipp:
Ist die Steigung 2 kannst du sie immer als schreiben.
1 2
x 3 f(x)
:
f
5
x f(x) :
f
6
Link zu GeoGebra
Die Steigung m
2 x f(x) 1
:
f
1
Ist dabei die Steigung m > 0, so wachsen die
Funktionswerte an. D. h. die
Gerade steigt
.Ist dabei die Steigung m < 0, so fallen die
Funktionswerte . D. h. die
Gerade fällt
.5 x f(x) 2
:
f
3
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Einführungsbeispiel:
Tom hat eine Alternative zu seinem Handyvertrag.
5€ Grundgebühr und 0,10€ für die Gesprächsminute.
Erstelle eine passende Wertetabelle und zeichne den neuen Graphen in das KS!
Wertetabelle:
Minuten 0 10 20 30 40 50 60 70
Kosten
in Euro 5 6,0 7,0 8,0 9,0 11,0 12,0
Die Gerade hat nun eine Steigung von 1/10 und ist gegenüber dem Koordinatenursprung um 5 nach oben verschoben.
Diese Verschiebung nennt man
t = Y-Achsenabschnitt
10,0
Kannst du Tom anhand der beiden Graphen beraten welchen Vertrag er jetzt nun nehmen soll?
Die Funktion y = mx + t
t der y-Achsenabschnitt wird auch als absolutes Glied bezeichnet und gibt an, wo die Gerade die y-Achse schneidet .
Bei gleicher Steigung m und unter- schiedlichen t sind die Geraden zueinander
parallel. parallel.
Das Zeichnen der linearen Funktion y = mx + t
Es gibt zwei Möglichkeiten den Graph einer linearen Funktion in ein Koordinatensystem zu zeichnen:
1) Mit Hilfe einer Wertetabelle
2) Unter Verwendung des y-Achsenabschnittes t und der Steigung m
Zeichne die Funktion
2 1
3
x
y
Hausaufgabe
Lese dir im Buch Seite 34 – 36 das Wissen über die lineare Funktion aufmerksam durch und übertrage die Definition auf S. 36 im gelben Kasten in dein Heft.
Zeichne die vier Geraden auf S. 36 im grauen Kasten in ein gemeinsames Koordinatensystem.
Beispiel 1+2 mit y-Achsenabschnitt und Steigung Beispiel 3+4 mit Wertetabelle
