d.h.dasMaximumdesBetrageswirdaufdemRandangenommen. | f ( z ) |≤ max | f ( z ) | , f auf D = D ∪ C stetig,wobei C = ∂ D derRandvonDist,sogiltdeshalbmax | f | keinMaximumin D .Ist F¨ureineineinemGebiet D analytische,nichtkonstanteFunktion f besitzt Maximump

Maximumprinzip

F¨ur eine in einem GebietD analytische, nicht konstante Funktion f besitzt

|f|kein Maximum inD.

Ist f aufD =D∪C stetig, wobei C =∂D der Rand von D ist, so gilt deshalb

maxz∈D |f(z)| ≤max

z∈C |f(z)|,

d.h. das Maximum des Betrages wird auf dem Rand angenommen.

Maximumprinzip 1-1

Beweis:

(i) zeige: f ist konstant =f(z) auf jedem Kreis C : t 7→w =z+re^it in D um eine Maximalstellez von |f|

Multiplikation mit e^iϕ o.B.d.A.f(z) reell und positiv (Behauptung trivial, falls |f(z)|= 0)

=⇒ Ref(w)≤ |f(w)| ≤f(z)

Annahme: f(w)6=f(z) f¨ur ein w =z +re^it ∈C

=⇒

Ref(w)<f(z) = Ref(z) Mittelwerteigenschaft Widerspruch

f(z) = 1 2π

2π

Z

0

Ref(z+re^it)dt <f(z),

da die Ungleichung Ref(w)<f(z) in einer Umgebung von w g¨ultig bleibt

Maximumprinzip 2-1

(ii) verbinde einen beliebigen Punkt in w ∈D durch eine Kurve Γ mitz und ¨uberdecke Γ mit Kreisscheiben

=⇒ f konstant entlang von Γ

=⇒ f(w) =f(z)

Maximumprinzip 2-2

Beispiel:

illustriere das Maximumprinzip f¨ur cos(z) = 1

2(e^iz+ e^−iz) auf dem Rechteck

D : x = Re z ∈(−π, π), y = Im z ∈(−1,1) berechne den Betrag

|cos(z)|² = cos(z)cos(z) = 1

4(e^ixe^−y+ e^−ixe^y)(e^−ixe^−y+ e^ixe^y)

= 1

4(e^−2y + 2 cos(2x) + e^2y)

Maximum an den Ecken des Randes:x ∈ {−π, π},y ∈ {−1,1}

Maximumprinzip 3-1