Übungen zur Algebraischen Zahlentheorie I

Übungen zur Algebraischen Zahlentheorie I

- 4. Blatt -

Prof. Dr. K. Wingberg WS 2009/2010

J. Bartels abzugeben bis Donnerstag, den 12. November 2009 um 9:15 Uhr

. in den Kästen neben dem Seifertraum

http://www.mathi.uni-heidelberg.de/∼bartels/Vorlesung

Name: /name/ Matrikelnummer: /nr/

Übungsleiter: /uebleiter/

2. Name: /namezwei/ 2. Matrikelnummer: /nrzwei/

Man achte auf eine saubere Darstellung und eine ordentliche Schrift.

Bitte keine maschinell erstellten Lösungen abgeben.

Aufgabe 1 2 3 4 P

Punkte

1 . Aufgabe (6 Punkte):

Es seiKein Zahlkörper. Zeigen Sie, daÿ die konvexe zentralsymmetrische Menge X ={(zτ)∈K

R|X

τ

|zτ|< t}

das Volumenvol(X) = 2^rπ^{s t}_n!ⁿ hat.

2 . Aufgabe (6 Punkte):

Es seiKein Zahlkörper unda⊂ OK ein ganzes Ideal6= 0. Füra6= 0 ausa gilt dann

|N_K/

Q(a)| ≤M(OK :a) =MN(a), wobei M = _n^n!n(_π⁴)^sp

|dK| ist. Folgern Sie daraus, daÿ jede Idealklasse aus ClK über ein ganzes Idealbverfügt, für dessen Norm

N(b)≤ 4

π s

n!

nⁿ

p|dK|gilt.

i

3 . Aufgabe (6 Punkte):

Berechnen Sie die Primfaktorzerlegung von(3)im Ganzheitsring vonQ(√³ 17). 4 . Aufgabe (6 Punkte):

Es seiK=Q(√

D)der quadratische Zahlkörper mit DiskriminanteD <0 undD≡0,1(mod4).

a) Zeigen Sie, daÿ jede Idealklasse ein Ideal

J =aZ+b+√ D

2 Zmit|b| ≤a≤c:= b²−D 4a

enthält und daÿ manb≥0annehmen kann, für den Fall, daÿ eines der obigen≤ ein = ist.

b) Zeigen Sie, daÿ N(J) = a ≤ p

|D|/3 gilt und vergleichen Sie diesen Wert mit der oberen Schranke für die Norm aus der 2. Aufgabe.

ii