Ubungen zur Algebraischen Zahlentheorie I ¨

Ubungen zur Algebraischen Zahlentheorie I ¨

Wintersemester 2010/11

Universit¨at Heidelberg Mathematisches Institut

Prof. A. Schmidt Blatt 5

Dr. A. Holschbach Abgabetermin: Mittwoch, 17.11.2010, 16.15 Uhr

Aufgabe 1. Sind die algebraischen Zahlen ³⁺²

√6 2−√

6 und ¹⁺³

√10+√³ 10²

3 ganz ¨uberZ?

Aufgabe 2. Zeigen Sie, dass {1,√³ 2,√³

2²} eine Ganzheitsbasis von K :=Q(√³

2) ist, und bestimmen Sie die Diskriminante dK von K.

Aufgabe 3. Sei K ein Zahlk¨orper, und sei α₁, . . . , α_n eine in O_K gelegene Basis von K

¨

uberQ. Zeigen Sie:d(α₁, . . . , α_n) undd_K unterscheiden sich multiplikativ um ein Quadrat;

istd(α₁, . . . , α_n) quadratfrei, so bildenα₁, . . . , α_n eine Ganzheitsbasis von O_K.

Aufgabe 4. Sei K ein quadratischer Zahlk¨orper mit Diskriminante d_K und p 6= 2 eine Primzahl. Zeigen Sie: (p) :=pO_K ist genau dann ein Primideal in O_K, wenn ^d_p^K

= −1 gilt.

Zusatzaufgabe:Zeigen Sie, dass die Diskriminanted_K eines Zahlk¨orpers K stets kongru- ent 0 oder 1 modulo 4 ist.

Hinweis: Sei α₁, . . . , α_n eine Ganzheitsbasis von O_K ¨uber Z. Man schreibe mit der Leib- nizformel

det σ_i(α_j)i,j=1,...,n

= X

τ∈S_n

sgn(τ)

n

Y

i=1

σ_iα_τ(i) =P −N

mit P = X

τ∈An

n

Y

i=1

σ_iα_τ(i) und N = X

τ∈Sn\An

n

Y

i=1

σ_iα_τ(i)

und zeige, dassP+N sowieP N inQliegen und ganze Zahlen sind. Mitd_K = (P−N)² = (P +N)²−4P N erh¨alt man dann die Aussage.