Ubungen zur Algebraischen Zahlentheorie II ¨
Sommersemester 2011
Universit¨at Heidelberg
Mathematisches Institut Blatt 13
Dr. A. Holschbach Abgabe bis Montag, den 18.07.2011, um 14.00 Uhr
Aufgabe 1. Sei G eine endliche Gruppe, H eine Untergruppe. Sei i : Hab → Gab die von der nat¨urlichen Inklusion H ,→ G induzierte Abbildung. Zeigen Sie, dass folgendes Diagramm kommutiert:
H−2(H,Z)
Kor
∼ //Hab
i
H−2(G,Z) ∼ //Gab.
wobei als horizontale Abbildungen die kanonischen Isomorphismen aus Korollar 4.12 ver- wendet werden.
Hinweis. Benutzen Sie den Beweis von 4.12 und die Definition von Kor−1 (sic).
Aufgabe 2.Sei Geine endliche Gruppe und N ein Normalteiler von G. Zeigen Sie: Ist A ein kohomologisch trivialer G-Modul, so istAN ein kohomologisch trivialer G/N-Modul.
Hinweis. Benutzen Sie die Inflation-Restriktion-Folge und Dimensionsverschiebung.
Aufgabe 3. Seien A1, A2, . . . , A6 abelsche Gruppen und A1 f1 //A2
f2
A6
f6
>>
A3
f3
~~
A5
f5
``
A4
f4
oo
ein exaktes Sechseck. Zeigen Sie: Gibt es in diesem Sechseck keine zwei benachbarten Ai mit unendlich vielen Elementen, so sind alle Ai endlich, und es gilt
#A1·#A3·#A5 = #A2 ·#A4·#A6.
Hinweis.Sei mi = # im(fi),i= 1, . . . ,6. Zeigen Sie #Ai =mimi−1 (mitm0 =m6 und den
¨ublichen Multiplikationsregeln f¨ur∞) und folgern Sie daraus die Behauptung.
bitte wenden!
Ziel der folgenden beiden Aufgaben ist es zu zeigen, dass f¨ur jede endliche Galoiserweiterung L|K mit Galoisgruppe G der G-Modul L G-induziert ist. Genauer zeigen wir folgenden Satz von der Normalbasis:
Es gibt ein γ ∈L so, dass (σγ)γ∈G eine Basis von L|K bildet.
Aufgabe 4 behandelt den Fall, dass K unendlich viele Elemente enth¨alt, und Aufgabe 5 den Fall, dass G zyklisch ist. Da eine Galoiserweiterung endlicher K¨orper immer zyklisch ist, sind damit also alle F¨alle abgedeckt.
Aufgabe 4. SeiK ein unendlicher K¨orper, und seiL|K eine Galoiserweiterung vom Grad n∈N mit Galoisgruppe G.
(a) Sei γ ∈ L. Angenommen, es gibt eine nichttriviale Relation P
σ∈Gaσσγ = 0 mit aσ ∈K. Wenden Sie f¨ur τ−1 f¨ur jedes τ ∈G auf diese Gleichung an und folgern Sie, dass die quadratische Matrix (τ−1σγ)τ,σ ∈Mn(L) nicht invertierbar ist.
(b) Sei β ∈ L mit L = K(β) und f ∈ K[X] das Minimalpolynom von β uber¨ K. Wir setzen
g(X) = f(X)
X−β ∈L[X] und M(X) = (τ−1σg(x))τ,σ ∈Mn(L[X]).
Zeigen Sie, dass detM(X)∈ L[X] nicht verschwindet, indem Sie M(β) betrachten.
Folgern Sie, dass einα∈K existiert mit detM(α)6= 0. Sei nunγ =g(α). Zeigen Sie mit Hilfe von (a), dass (σγ)σ∈G eine Normalbasis zuL|K ist.
Aufgabe 5*.SeiL|K eine zyklische K¨orpererweiterung vom Gradn∈Nmit Galoisgruppe G, und sei σ ein Erzeuger vonG.
(a) Fassen Sie σ als Endomorphismus des K-Vektorraums L auf und benutzen Sie die lineare Unabh¨angigkeit der Charaktere id, σ, . . . , σn−1 :L× →L×, um zu zeigen, dass das Minimalpolynom von σ gleich Xn−1 ist. Folgern Sie ¨uber den Grad, dass das charakteristische Polynom und das Minimalpolynom vonσ ¨ubereinstimmen.
(b) Folgern Sie mit Hilfe Ihres Vorwissens aus der Linearen Algebra (Stichwort: Frobenius- Normalform), dass ein γ ∈ L existiert, so dass γ, σγ, . . . , σn−1γ eine Basis von L|K bilden.
